6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
【课标要求】　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．　
【导学】
学习目标一　平面向量数乘运算的坐标表示
　师问：已知向量a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？
生答：
例1 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
总结：向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行计算，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
跟踪训练1　(1)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝(　　)
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(5，6) D．(2，0)
(2)已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则＝(　　)
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(1，1) D．(－1，－1)
学习目标二　平面向量共线的坐标表示
　师问：已知a，b两个向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？
生答：
例2(1)已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　)
A．－9 B．9
C．3 D．－3
(2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，向量＝(1，1)，＝(2，－3)，＝(－6，29)，试判断A，B，C三点是否共线，写出理由．
总结：(1)利用向量共线定理，由推出
(2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2－x2y1＝0＝(x1，y1)，＝(x2，y2))直接判断与平行．
跟踪训练2　已知向量a＝(2，1)，b＝(3，2)，若＝2a+3b，a＋mb且A，B，C三点共线，求实数m的值．
学习目标三　定比分点坐标公式及应用
师问：直线l上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使＝，λ叫做点P分有向线段所成的比，当λ＝1时，点P位于何位置？你能求出点P的坐标吗？
生答：
例3 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1， y1 )，B(x2，y2 )，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标．
总结：(1)解决向量中的分点问题，关键是找出分得的两向量的关系，再根据向量相等建立坐标之间的相等关系，把向量问题实数化，但要注意分点的位置情况．
(2)本例求得的G点的坐标即是△ABC重心的坐标．
跟踪训练3　已知点P1(1，3)，P2(4，－6)，P是直线P1P2上的一点，且，那么点P的坐标为________．
【导练】
1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝(　　)
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，则a与b(　　)
A．平行且同向 B．平行且反向
C．垂直 D．不垂直也不平行
3．已知A(－3，1)，B(x，－1)，C(2，3)三点共线，则x的值为(　　)
A．－7 B．－8
C．－9 D．－10
4．若＝(3，－6)，B(－2，3)，则线段AB靠近B的三等分点P的坐标为________．
【导思】
已知O为坐标原点，＝-2，若P1(1，2)，P2(2，－1)，则与共线的单位向量为(　　)
A．(3，－4)
B．(3，－4)或(－3，4)
C．或
D．
6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
导　学
学习目标一　生答：λa＝(λx，λy)．
例1　解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a，
∴解得
∴实数m的值为－1，n的值为－1.
跟踪训练1　解析：(1)b＝2a＋b－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．故选A.
(2)＝)＝(－2，－2)＝(－1，－1)．故选D.
答案：(1)A　(2)D
学习目标二　生答：向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)共线的充要条件是 x1y2－x2y1＝0.
例2　解析：(1)因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.故选B.
(2)因为＝＝(2，－3)－(1，1)＝(1，－4)，
＝＝(－6，29)－(1，1)＝(－7，28)，
所以1×28－(－4)×(－7)＝0，所以∥.
又直线AB和AC有公共点A，故A，B，C三点共线．
答案：(1)B　(2)见解析
跟踪训练2　解析：＝2a＋3b＝(13，8)，＝a＋mb＝(2＋3m，1＋2m)，
由于A，B，C三点共线，所以∥，即13×(1＋2m)－8×(2＋3m)＝0，解得m＝.
学习目标三　生答：线段P1P2的中点．当λ＝1时，点P的坐标为.
例3　解析：∵D是AB的中点，
∴点D的坐标为()，
∵＝2，∴＝2.
设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得
x＝＝，
y＝＝，
即点G的坐标为()．
跟踪训练3　解析：设点P的坐标为P(x，y)，
因为|P1P|＝|，所以＝2，
即x＝＝3，y＝＝－3，解得
所以点P的坐标为P(3，－3)．
答案：(3，－3)
导　练
1．解析：因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．故选D.
答案：D
2．解析：根据题意可知，b＝－2a，即a，b平行且反向．故选B.
答案：B
3．解析：因为A(－3，1)，B(x，－1)，C(2，3)，所以＝(5，2)，＝(x－2，－4)．因为A(－3，1)，B(x，－1)，C(2，3)三点共线，所以∥，即2(x－2)＝－4×5，解得x＝－8.故选B.
答案：B
4．解析：令P(x，y)，则＝(－2－x，3－y)，而＝3，所以(3，－6)＝3·(－2－x，3－y)，即解得所以P(－3，5)．
答案：(－3，5)
导　思
解析：由P1P＝得＝0，即＝＝＝，＝＝2(2，－1)－(1，2)＝(3，－4)，||＝＝5，与同向的单位向量为＝(，－)，反向的单位向量为(－)．故选C.
答案：C