6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
【课标要求】　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
　
【导学】
学习目标一　平面向量数量积的坐标表示
　师问：若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？
生答：
例1 (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋b)·(a－2b)＝(　　)
A．－6 B．－1
C．2 D．－2
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，＝4，则＝__________．
总结：(1)牢记向量数量积的坐标运算和有关的运算法则及运算性质．
(2)解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系．
跟踪训练1　(1)已知点P(2，0)，Q(1，1)，向量＝(λ，2)，若＝0，则实数λ＝(　　)
A． B．
C．2 D．1
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则＝________．
学习目标二　平面向量的模
　师问：若向量a＝(x，y)，怎样用a的坐标表示|a|？若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，又如何用坐标表示|a|
生答：
例2 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4，0)，B(1，m)(m>0)，＝5
(1)求m的值；
(2)C，M是坐标平面上的点，＝(－1，－1)，＝x＋(2－x)(0总结：求模问题一般转化为求模的平方，即求＝2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．
跟踪训练2　(1)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(4，0)，|b|＝2，则|a＋2b|＝(　　)
A． B．
C．D．
(2)已知平面向量a＝(2，2)，b＝(1，m)，且|2a－b|＝|a＋b|，则m＝________．
学习目标三　平面向量的夹角与垂直
　师问：(1)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为θ，则如何用a，b的坐标表示cos θ？
(2)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)相互垂直，则它们的坐标满足怎样的等量关系？反过来也成立吗？
生答：
例3 (1)已知向量a＝(2，1)，点A(2，－1)，若向量⊥a，且，求点B的坐标．
(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(4，－3)，若a－2b与λa＋b的夹角为钝角，求λ的取值范围．
总结：(1)利用cos θ＝直接求出cos θ，应注意角θ的取值范围是0 °≤θ≤180 °，并需要注意当cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180 °；当cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0 °.
(2)涉及向量，垂直问题时，一般借助⊥ ·＝x1x2＋y1y2＝0来解决．
跟踪训练3　已知a＝(1，2)，b＝(1，－1)．
(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；
(2)若2a－b与ka＋b垂直，求k的值．
【导练】
1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝(　　)
A．3　　　B．－3　　　C．　　D．
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，m)，若a⊥b，则m＝(　　)
A．－1 B．1 C． D．
3．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|＝(　　)
A． B． C．D．
4．若向量a＝(1，2)与b＝的夹角为锐角，则t的取值范围为________．
【导思】
(多选)已知向量a＝，b＝(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是(　　)
A．若a⊥b，则cos θ＝
B．若b在a上的投影向量的模为，则向量a与b的夹角为
C．存在θ，使得|a＋b|＝|a|－|b|
D．a·b的最大值为
6．3.5　平面向量数量积的坐标表示
导　学
学习目标一　生答：a·b＝x1x2＋y1y2.
例1　解析：(1)因为a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，所以a＋b＝(3，－2)，a－2b＝(0，1)，所以(a＋b)·(a－2b)＝3×0－2＝－2.故选D.
(2)在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，过B作CD的垂线，垂足为F，|FC|＝＝，|BF|＝＝，以CD的中点O为原点，OC为x轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，依题意可得D，C，A，B，由＝4，得E，所以＝，＝，得·＝－＝－.
答案：(1)D　(2)－
跟踪训练1　解析：(1)由P(2，0)，Q(1，1)，可得＝(－1，1)，又＝(λ，2)，所以·＝－λ＋2＝0，所以λ＝2.故选C.
(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)．因为＝2，则F，可得＝(2，1)，＝，所以·＝2×＋1×2＝.
答案：(1)C　(2)
学习目标二　生答：|a|＝，
|a|＝.
例2　解析：(1)因为A(4，0)，B(1，m)，所以＝(－3，m)，
故||2＝9＋m2＝25 m＝±4.因为m>0，所以m＝4.
(2)＝＝(0，3)，
＝x＋(2－x)＝x·(4，0)＋(2－x)·(0，3)＝(4x，6－3x)，
　2＝16x2＋(6－3x)2＝25x2－36x＋36＝25(x－)2＋，
因为0跟踪训练2　解析：(1)因为a＝(4，0)，则|a|＝4，又向量a与b的夹角为60°，|b|＝2，所以a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 60°＝4，所以|a＋2b|＝＝＝＝4.故选B.
(2)由题意可得2a－b＝(3，4－m)，a＋b＝(3，2＋m)，因为|2a－b|＝|a＋b|，则＝，解得m＝1.
答案：(1)B　(2)1
学习目标三　生答：(1)cos θ＝.
(2)x1x2＋y1y2＝0，反过来也成立．
例3　解析：(1)设B(m，n)，则＝(m－2，n＋1)，
因为向量⊥a，所以2(m－2)＋(n＋1)＝0，
又||＝，所以(m－2)2＋(n＋1)2＝5，
解得或所以B的坐标为(3，－3)或(1，1)．
(2)因为a＝(2，1)，b＝(4，－3)，
所以a－2b＝(－6，7)，λa＋b＝(2λ＋4，λ－3)，
因为a－2b与λa＋b的夹角为钝角，
所以(a－2b)·(λa＋b)<0，即－6(2λ＋4)＋7(λ－3)<0，解得λ>－9.
又a，b不反向共线，所以－6(λ－3)≠7(2λ＋4)，λ<0，解得λ≠－.
综上，λ>－9且λ≠－，故λ的取值范围为(－9，－，＋∞)．
跟踪训练3　解析：(1)∵a＝(1，2)，b＝(1，－1)，
∴2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3),
则(2a＋b)·(a－b)＝3×0＋3×3＝9，
∴cos θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)∵a＝(1，2)，b＝(1，－1)，
∴2a－b＝(1，5)，ka＋b＝(k＋1，2k－1).
∵向量2a－b与ka＋b垂直，
∴1×(k＋1)＋5×(2k－1)＝0,
解得k＝.
导　练
1．解析：a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.故选A.
答案：A
2．解析：因为a⊥b，所以(－1)×2＋2m＝0，解得m＝1.故选B.
答案：B
3．解析：由题意，∵a＝(1，2)，b＝(－2，y)，a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴|3a＋b|＝|(3，6)＋(－2，－4)|＝|(1，2)|＝＝.故选A.
答案：A
4．解析：根据题意，向量a＝(1，2)与b＝(t－1，t)的夹角为锐角，则a·b>0且a，b不共线，即解得t>且t≠4，则t的取值范围为
答案：
导　思
解析：若 a⊥b ，则 a·b＝cos θ＋sin θ＝0 ，则tan θ＝－<0，可知<θ<π，再由cos 2θ＋sin 2θ＝1，解得cos θ＝－，故A正确；若 b 在 a 上的投影向量的模为 ，且 |b|＝1 ，则|b|cos 〈a，b〉＝± 〈a，b〉＝ 或，故 B不正确；若 (a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(|a|－|b|)2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，若 |a＋b|＝|a|－|b| ，则 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝－|a||b| ，即 cos 〈a，b〉＝－1 ，此时〈a，b〉＝π，但b＝(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，sin θ≥0，所以〈a，b〉＝π不成立，故C不正确；a·b＝cos θ＋sin θ＝sin (θ＋φ) ，因为 0≤θ≤π，0<φ< ，则当 θ＋φ＝ 时， a·b 的最大值为 ，故 D正确．故选AD.
答案：AD