6.4.1～6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

6．4　平面向量的应用
6．4.1～6.4.2　平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
【课标要求】　1.用向量方法解决简单的几何问题、简单的力学问题及其他实际问题.2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用．
【导学】
学习目标一　平面几何中的向量方法
　师问：把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中，你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗？
生答：
例1 已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，试用向量方法证明AC⊥BC.
总结：(1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的线性运算或性质计算；
(2)坐标法：建立适当的平面直角坐标系，把相关向量坐标化，将长度、垂直、平行等问题转化为代数问题．
跟踪训练1　四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
学习目标二　平面向量在物理中的应用
师问：小明在拉单杠时感觉两臂的夹角越大，拉起来越费力，这是为什么？
生答：
例2 在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
用向量方法解决物理问题的步骤
跟踪训练2　质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离，求物体所受各力对物体所做的功．(g＝9.8 N/kg)
【导练】
1．在△ABC中，若＝0，则△ABC的形状是(　　)
A．∠C为钝角的三角形
B．∠B为直角的直角三角形
C．锐角三角形
D．∠A为直角的直角三角形
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝(　　)
A．(－2，－2) B．(2，－2)
C．(－1，2) D．(－2，2)
3．某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风向相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为(　　)
A．a－v B．v－a
C．a＋v D．v
4．在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，若＝6，则AP＝________．
【导思】
(多选)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　)
A．若＋＋＝0，则点O是△ABC的重心
B.若·＝·＝0，则点O是△ABC的内心
C．若·＝·＝0，则点O是△ABC的外心
D．若O为△ABC外心，且2，则B为△ABC的垂心
6．4　平面向量的应用
6．4.1～6.4.2　平面几何中的向量方法
向量在物理中的应用举例
导　学
学习目标一　生答：矩形两对角线的平方和等于四边的平方和．
例1　证明：
如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°.
设CD＝DA＝AB＝a，
由题意知，＝＝，
∴·＝()·()
＝·＋···
＝0＋a2＋0－2a2＋0＋a2＝0，
∴⊥，即AC⊥BC.
跟踪训练1　证明：
在正方形ABCD中，建立如图所示的平面直角坐标系．
设正方形的边长为1，则D(0，0)，C(1，0)，B(1，1)，A(0，1)，
由P是对角线DB上一点(不包括端点)，令＝λ(0<λ<1)，
而＝(1，1)，则＝(λ，λ)，即P(λ，λ)，由四边形PFCE是矩形，得E(1，λ)，F(λ，0)，
因此＝(λ，λ－1)，＝(1－λ，λ)，
则||＝＝，||＝＝，
于是||＝||，
所以PA＝EF.
学习目标二　生答：根据向量加法的几何意义，当两臂的夹角为0时，两臂的拉力分别为物体重力的一半，所以两臂的夹角越小越省力．
例2　
解析：如图，两根绳子的拉力之和＝，
且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°，
从而||＝||·cos 30°＝150(N)，
||＝||·sin 30°＝150(N)，
所以||＝||＝150(N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N．
跟踪训练2　解析：木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，
如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；
支持力FN与位移方向垂直，不做功，
所以WN＝FN·s＝0；
重力G对物体所做的功为
WG＝G·s＝|G||s|cos (90°＋θ)＝2.0×9.8×2.0×cos 120°＝－19.6(J)．
导　练
1．解析：在△ABC中，·＝·()＝·＝0，∴⊥，∴∠A＝，则△ABC为直角三角形，故选D.
答案：D
2．解析：因为F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)，所以F1＋F2＋F3＝(－2，－1)＋(－3，2)＋(7，－3)＝(2，－2)，要想使该物体保持平衡，只需F4＝－(2，－2)＝(－2，2)，故选D.
答案：D
3．解析：由题意，某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风向相同，此时风速大小为v，根据向量的运算法则，可得此人实际感到的风速为a－v.故选A.
答案：A
4．
解析：平行四边形ABCD中，AO＝OC，因为·＝6，所以·＝3，根据向量的几何意义可知·＝2＝3，解得AP＝||＝.
答案：
导　思
解析：对于A，在AB，AC上分别取点D，E，使得＝＝，则||＝||＝1，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，则四边形ADFE是菱形，且＝＝，所以AF平分∠BAC，因为||＋||＋||＝0即a＋b＋c＝0，所以a·＋b·()＋c·()＝0，即(a＋b＋c)＋b＋c＝0，所以＝＝＝，所以A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上，同理可得O在其他两角的平分线上，所以O为△ABC的内心，错误；
对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得＝＝，如图，则||＝||＝1，且＝，因为·＝0，即⊥，又||＝||＝1知，AO平分∠BAC，同理，可得BO平分∠ABC，故O为△ABC的内心，正确；
对于C，取AB，BC的中点分别为M，N，如图，因为()·＝()·＝0，所以2·＝2·＝0，即OM⊥AB，ON⊥BC，所以O是△ABC的外心，正确；
对于D，因为2＝，所以＝－，即O为AC中点，又O为△ABC外心，所以∠B＝90°，则B为△ABC的垂心，正确．故选BCD.
答案：BCD