第六章 平面向量及其应用 章末复习课（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

第六章　平面向量及其应用 章末复习课
知识网络·形成体系
考点聚焦·分类突破
考点一　平面向量的线性运算
1．进行向量的线性运算常见的方法有两种：定义法和坐标法
(1)在定义运算中，要会根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，利用三角形法则或平行四边形法则，结合平面向量的基本定理求解．
(2)若条件是给出坐标的向量，则直接进行运算．若向量在含有垂直关系的几何图形中给出，则可以建立坐标系利用坐标进行向量的运算，从而转化为实数的运算求解．
2．通过对平面向量线性运算的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．
例1 (1)已知向量a＝(x，y)，若向量(12m，5m)(m>0)与a反向，且向量a在向量(3，0)上的投影向量为(－12，0)，则x－y＝(　　)
A．7　　　B．－17　　　C．17　　　D．－7
(2)(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则(　　)
A.
B．
C．
D．
跟踪训练1　(1)设向量a＝(1，1)，b＝(－1，3)，c＝(2，1)，且(a－λb)∥c，则λ＝(　　)
A．3 B．－ C． D．
(2)在△ABC中，，若，则＝________．
考点二　平面向量的数量积运算
1．向量的夹角及垂直问题
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0，利用这两个结论，可以判断两个向量的位置关系．
(2)两个向量的夹角公式(θ为两个非零向量a，b的夹角)：cos θ＝.
2．向量的长度(模)与距离的问题
求向量的模主要有以下两种方法：
(1)利用公式|a|2＝a2将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和性质进行展开、合并，使问题得以解决；
(2)利用公式|a|＝将其转化为实数运算，使问题得以解决．
3．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养．
例2 (1)(多选)已知是夹角为的单位向量，且a＝，则(　　)
A．|a|＝
B．a·b＝－
C．a与b的夹角为
D．a在b方向上的投影向量为－
(2)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆E(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为_________．
跟踪训练2　(1)若向量a，b满足|a|＝2＝4，a⊥(a－b)，则a与b的夹角为(　　)
A． B． C． D．
(2)已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足，则O是△ABC的__________心．(填“重”“垂”“内”或“外”)
考点三　正、余弦定理的应用
1．边角互化的常用方法：
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B A＝B；sin (A－B)＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝等．
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换．
2．通过对正、余弦定理应用的考查，提升学生逻辑推理和数学运算素养．
例3 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＋sin C＝，且a＝6.
(1)求角A；
(2)已知角A的内角平分线交BC于点M，若AM＝，求△ABC的周长．
跟踪训练3　(1)已知△ABC中，＝0，2∠CAD＋∠BAD＝180°，若AC＝BC，则cos ∠ABC＝(　　)
A． B． C． D．
(2)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，A处与D处之间的距离是________ n mile，灯塔C与D处之间的距离是 ________ n mile.
章末复习课
考点聚焦·分类突破
例1　解析：(1)由向量(12m，5m)(m>0)与a反向，故x·5m－y·12m＝0且x，y<0，即有5x＝12y，由向量a在向量(3，0)上的投影向量为(－12，0)，可得·＝(－12，0)，即x＝－12，故y＝－5，则x－y＝－12－(－5)＝－7.故选D.
(2)因为AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，由向量加法的三角形法则得＝＝＝，又F为AE的中点，则＝＝＋，故A正确；＝＝－＝－，故B正确；＝＝－＝－，故D正确；＝＝＝－＝，故C错误．故选ABD.
答案：(1)D　(2)ABD
跟踪训练1　解析：(1)因为a＝(1，1)，b＝(－1，3)，所以a－λb＝(1，1)－λ(－1，3)＝(1＋λ，1－3λ)，又c＝(2，1)，且(a－λb)∥c，所以1×(1＋λ)＝2(1－3λ)，解得λ＝.故选D.
(2)因为＝2，所以D为AB上靠近点A的三等分点，所以＝＝＋2＝＋2()＝3－2.因为＝λ＋μ，所以λ＝－2，μ＝3，所以＝－.
答案：(1)D　(2)－
例2　解析：(1)设a与b的夹角为θ，对于A，|a|＝＝＝，故A错误； 对于B，因为a＝e1－2e2，b＝，所以a·b＝(e1－2e2)·(e1＋e2)＝-e1·e2-2＝－，故B正确；对于C，|b|＝＝＝1，所以cos θ＝＝＝－≠cos ，故C错误；对于D，a在b方向上的投影为b＝－b，故D正确．故选BD.
(2)
因为正方形ABCD的边长为4，取CD的中点E，连接PE，当P在A点或B点时，||max＝2，当P在弧AB中点时，||min＝2，所以||的取值范围为[2，2].由于·＝()·()，＝－＝，||＝4，所以·＝2－＝||2－||2＝||2－4.因为||∈[2，2]，所以||2∈[4，20]，故||2－4∈[0，16]，所以·∈[0，16]，即·的取值范围为[0，16].
答案：(1)BD　(2)[0，16]
跟踪训练2　解析：(1)设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵|a|＝2，|b|＝4，a⊥(a－b)，∴a2－a·b＝12－|a|·|b|cos θ＝12－8cos θ＝0，∴cos θ＝，∴θ＝.故选C.
(2)由·＝·＝·，知·＝·()＝··＝0，·＝·（ ）＝··＝0，故OB⊥CA，OA⊥BC，从而O为△ABC的垂心．
答案：(1)C　(2)垂
例3　解析：(1)因为cos C＋sin C＝，所以cos C＋sin C＝，
sin A cos C＋sin A sin C＝sin B＋sin C＝sin (A＋C)＋sin C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin C，
化简得cos A sin C＋sin C＝sin A sin C，由A∈(0，π)，所以sin C≠0，
所以sin A－cos A＝1，sin (A－)＝，由(A－)∈(－)，解得A＝.
(2)因为AM为角平分线，且AM＝，
所以AM·AB sin AM·AC sin ＝AC·AB sin ，
整理得(b＋c)＝bc.
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－3bc，
即(b＋c)2－(b＋c)＝36，解得b＋c＝3或b＋c＝－2(舍)，
△ABC的周长为6＋3.
跟踪训练3　解析：(1)
由＝0，可得D为BC中点，因为2∠CAD＋∠BAD＝180°，故∠BAC＋∠CAD＝180°.在△AB中，由正弦定理得①，在△ACD中，由正弦定理得②，两式相除可得2.设AD＝x，AB＝2x，AC＝y，BC＝，而cos ∠BDA＋cos ∠CDA＝＝0，可得x2y2，则cos ∠ABC＝.故选D.
(2)
△ABD中，由已知得∠BAD＝75°，∠BDA＝60°，所以∠B＝45°，由正弦定理得AD＝＝＝24(n mile)，所以A与D之间的距离为24 n mile；△ACD中，∠CAD＝30°，由余弦定理，得CD＝＝
＝＝8(n mile)，所以灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.
答案：(1)D　(2)24　8