7.1.1 数系的扩充和复数的概念 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

7.1.1　数系的扩充和复数的概念
【课标要求】　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
【导学】
学习目标一　复数的相关概念
　师问：(1)方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ 若有一个新数i满足i2＝ －1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
(2)添加i之后，我们知道i2＝ －1，i与原来的实数之间进行加法、乘法运算的时候，会产生怎样的新数？
生答：
例1 已知复数 (x＋y)＋(2－x)i的实部和虚部分别为 3 和 4, 则实数 x 和 y 的值分别是 (　　)
A．2，－4 B．2，5
C．－2，4 D．－2，5
总结：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
跟踪训练1　设i是虚数单位，若复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a＝(　　)
A．5 B．－5
C．3 D．－3
学习目标二　复数的分类
　师问：(1)复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？
(2)如何利用集合关系表示实数集R和复数集C
生答：
例2 实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？
总结：(1)数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R). 特别注意当z为纯虚数时，则b≠0，且a＝0.
(2)要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
跟踪训练2　(1)若复数(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是实数，则a＝(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．不存在
(2)若复数z＝(m2－m－2)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m＝________．
学习目标三　复数相等
师问：(1)两个实数可以比较大小，那么两个复数可以比较大小吗？
(2)你能说出复数相等的充要条件是什么吗？
生答：
例3 设z1＝m2＋2＋(m2＋m－2)i，z2＝3m＋(m2－5m＋4)i，若z1＝z2，求实数m的值．
【一题多变】　本例条件改为“z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，且z1总结：解决复数相等的基本思路是：(1)将等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组．
跟踪训练3　(1)已知i为虚数单位，x，y为实数，若(x＋yi)＋2＝(3－4i)＋2yi，则x＋y＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0有实根，则实数m＝_________．
【导练】
1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)
A．，1 B. ，5
C．±，5 D．±，1
2．给出下列三个命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)2i－1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中正确命题的个数为(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
3．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．－1或1
4．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x＝________，y＝________．
【导思】
已知a，b均为实数，复数z＝a2－b＋(b－2a)i，其中i为虚数单位，若z<3，则a的取值范围为(　　)
A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
D．(－3，1)
第七章　复数
7．1　复数的概念
7．1.1　数系的扩充和复数的概念
导　学
学习目标一　生答：(1)没有解；有解且x＝±i.
(2)若i与实数b相乘再与实数a相加，可得到形式为a＋bi的新数．
例1　解析：x，y∈R，复数 (x＋y)＋(2－x)i 的实部和虚部分别为 3 和 4，因此解得所以实数 x 和 y 的值分别是－2，5.故选D.
答案：D
跟踪训练1　解析：∵复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，∴3＋2a＝－(2－3a)，解得a＝5.故选A.
答案：A
学习目标二　生答：(1)b＝0.
(2)R?C.
例2　解析：①当x满足即x＝5时，z是实数．
②当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
③当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
跟踪训练2　解析：(1)因为(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是实数，所以a－1＝0，解得a＝1.故选A.
(2)由题意得解得m＝－1.
答案：(1)A　(2)－1
学习目标三　生答：(1)如果两个复数都是实数，可以比较大小；如果两个复数不都是实数，不能比较大小；只有相等或不相等的关系．
(2)a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.
例3　解析：由复数相等的条件可知，
解得m＝1.
一题多变　解析：∵z1∴解得m＝1，
当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1跟踪训练3　解析：(1)由题意，(x＋yi)＋2＝(x＋2)＋yi＝(3－4i)＋2yi＝3＋(2y－4)i，所以解得x＝1，y＝4，所以x＋y＝5.故选D.
(2)设a为方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0的实根，则a2＋(1－2i)a＋3m－i＝0，即a2＋a＋3m－(2a＋1)i＝0，所以解得
答案：(1)D　(2)
导　练
1．解析：令得故选C.
答案：C
2．解析：(1)错误，例如z＝i，则z2＝－1；(2)错误，因为2i－1虚部是2；(3)正确，因为2i＝0＋2i.故选B.
答案：B
3．解析：由题意知∴m＝0.故选B.
答案：B
4．解析：∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴解得或
答案：1或－1　1或－1
导　思
解析：由题知z＝a2－b＋(b－2a)i<3，所以z为实数，即则有a2－2a－3<0，解得－1答案：A