7.1.2 复数的几何意义 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

7.1.2　复数的几何意义
【课标要求】　1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间一一对应的关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
【导学】
学习目标一　复数与复平面内点的关系
　师问：(1)有序实数对是和坐标平面上的点一一对应，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？
(2)在复平面内，实轴上的点都表示实数，那么虚轴上的点都表示纯虚数吗？
生答：
例1 已知复数z＝(m2－7m＋10)＋(m2－5m＋6)i，i为虚数单位，m∈R.
(1)若在复平面内表示复数z的点位于第二象限，求m的取值范围；
(2)若在复平面内表示复数z的点位于直线2x－y－14＝0上，求m的值．
总结：(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
跟踪训练1　已知复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2，－1)
B．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
C．(－1，＋∞)
D．(－∞，－2)
学习目标二　复数与复平面内向量的关系
　师问：你能用平面向量表示复数吗？
生答：
例2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
总结：(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
　
跟踪训练2　已知复平面内的点A，B分别对应的复数为z1＝2＋i和z2＝－1－2i，则向量对应的复数为(　　)
A．1－i B．－1－i
C．－3－3i D．3＋3i
学习目标三　复数的模
　师问：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与向量如何表示？
生答：
例3 已知复数z1＝＋i，z2＝－i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
总结：(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)设出复数a＋bi(a，b∈R)，利用模的定义转化为实数问题求解．
跟踪训练3　(1)已知z1＝2＋2i，z2＝1＋3i，则(　　)
A．z1>z2 B．z1C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|
(2)若|a＋11i|＝5＝________．
学习目标四　共轭复数
　师问：复数z1＝a＋bi(a，b∈R)与z2＝a－bi(a，b∈R)对应的点有什么关系？它们的模之间有什么关系呢？
生答：
例4 (多选)已知复数z＝4－3i，则下列命题中正确的为(　　)
A．＝5
B．＝4＋3i
C．的虚部为－3i
D．在复平面内对应点在第二象限
总结：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称. 特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上．
跟踪训练4　若复数z在复平面内对应的点的坐标为(5，12)，则z的共轭复数＝(　　)
A．5＋12i B．－5＋12i
C．－5－12i D．5－12i
【导练】
1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
3．已知a∈R，若有|a－i|＝(i为虚数单位)，则a＝(　　)
A．1 B．－2
C．±2 D．±1
4．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
【导思】
若i为虚数单位，复数z满足1≤|z＋1＋i|≤的最大值为________．
7．1.2　复数的几何意义
导　学
学习目标一　生答：(1)复数可以和坐标平面上的点一一对应．
(2)除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
例1　解析：(1)表示复数z的点位于第二象限，则解得3(2)表示复数z的点位于直线2x－y－14＝0上，则－7m＋10)－(m2－5m＋6)－14＝0，
解得m＝0或m＝9.
跟踪训练1　解析：因为复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，所以解得m<－2，所以实数m的取值范围为(－∞，－2)．故选D.
答案：D
学习目标二　生答：在复平面内找到与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点Z(a，b)，这样向量就表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)．
例2　解析：由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝(－2，－3)，
设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5)．
由题意知＝，
所以即
故点D对应的复数为－3－2i.
跟踪训练2　解析：由题可得A(2，1)，B(－1，－2)，故＝(3，3)，则向量对应的复数为3＋3i.故选D.
答案：D
学习目标三　生答：|z|＝||＝|a＋bi|＝.
例3　解析：(1)∵z1＝＋i，z2＝－i，
∴|z1|＝ ＝2，|z2|＝ ＝1，
∴|z1|>|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2，
根据复数模的几何意义可知|z|表示复数z对应的点到原点的距离，
所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆及外部所有点组成的集合，
|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆及内部所有点组成的集合，
所以复数z对应的点Z的轨迹是以原点O为圆心，以1和2为半径的圆之间的部分(包括两边界)．
跟踪训练3　解析：(1)由复数z1＝2＋2i，z2＝1＋3i，可得两个复数不能比较大小，故A，B错误；|z1|＝＝2，|z2|＝＝，所以|z1|<|z2|，故C错误，D正确．故选D.
(2)由题意得，|a＋11i|＝＝5，则a2＝4，解得|a|＝2.
答案：(1)D　(2)2
学习目标四　生答：它们对应的点关于实轴对称且|z1|＝|z2|.
例4　解析：因为z＝4－3i，则＝4＋3i，故B正确；的虚部为3，故C错误；所以||＝＝5，故A正确；在复平面内对应的点是(4，3)，在第一象限，故D错误，故选AB.
答案：AB
跟踪训练4　解析：由题可知z＝5＋12i，所以＝5－12i.故选D.
答案：D
导　练
1．解析：z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.
答案：C
2．解析：由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(－1，2)，故向量对应的复数为－1＋2i.故选D.
答案：D
3．解析：因为a∈R，所以|a－i|＝＝，即a2＋1＝5，解得a＝±2.故选C.
答案：C
4．解析：∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x＞3.
答案：(3，＋∞)
导　思
解析：
复数z满足1≤|z＋1＋i|≤，即1≤|z－(－1－i)|≤，
即复数z对应的点Z到点C(－1，－1)的距离d满足1≤d≤.
设P(1，1)，|z－1－i|表示复数z对应的点Z到点P(1，1)的距离，
数形结合可知|z－1－i|的最大值|AP|＝|CP|＋＝＝3 .
答案：3