7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
【课标要求】　1.掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.3.能够利用复数代数形式的加、减运算的几何意义解决有关问题.
【导学】
学习目标一　复数的加、减运算
　师问：类比两个多项式的加、减，你能猜想出两个复数如何相加、减吗？
生答：
例1 (1)计算：＋(2－i)－.
(2)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
总结：复数的代数式的加、减运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算. 在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部. 这种运算类似于初中的合并同类项．
跟踪训练1　(1)－7＋(－3－i)＝(　　)
A．10－i B．－10－i
C．10＋i D．－10＋i
(2)已知复数z1＝－2＋i，z2＝3＋2i，则复数在复平面内对应的点位于第______象限．
学习目标二　复数加、减运算的几何意义
　师问：复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？
生答：
例2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)对角线所表示的复数及的长度．
总结：向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量 对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
跟踪训练2　(1)复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量与，则表示向量的复数为(　　)
A．3＋9i B．－9－i
C．9＋i D．－18＋20i
(2)已知复数z1＝(a2－3)＋(a＋5)i，z2＝(a－1)＋(a2＋2a－1)i(a∈R)分别对应向量(O为原点)．若向量对应的复数为纯虚数，则a＝________．
学习目标三　复数模的综合问题
例3 已知复数z满足|z|2＋2z－2i＝0.
(1)求z；
(2)比较|z|＋|z＋3i|与|2z＋3i|的大小．
总结：设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解．
跟踪训练3　已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|，z1＋z2＝2i，求z1，z2.
【导练】
1．若复数z满足z＋11－2i＝3＋3i，则z的虚部为(　　)
A．14 B．―8
C．5i D．5
2．已知a，b∈R，(a＋3i)＋(－1＋bi)＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3
3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　)
A． B．5
C．2 D．10
4．已知复数z1，z2满足z1－2z2＝5＋i，2z1＋z2＝3i，则z1＝________．
【导思】
(多选)已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是(　　)
A．若z1∈R，则z1＝
B．若z1＝＝|z2|
C．若z1＝z2，则|z1|＝|z2|
D．若|z1－z2|＝|z1|，则z2＝0或z2＝2z1
7．2　复数的四则运算
7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义
导　学
学习目标一　生答：两个复数相加(减)就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i (a，b，c，d∈R)．
例1　解析：(1)＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.
(2)∵z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，
∴z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
跟踪训练1　解析：(1)由题意可得－7＋(－3－i)＝[－7＋(－3)]＋[0＋(－1)]i＝－10－i.故选B.
(2)因为z1＝－2＋i，z2＝3＋2i，所以z1－z2＝－2＋i－(3＋2i)＝－5－i，所以复数z1－z2在复平面内对应的点为(－5，－1)，位于第三象限．
答案：(1)B　(2)三
学习目标二　生答：设＝(a，b)，＝(c，d)，则＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)；几何意义是以为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线．
例2　解析：(1)∵，∴所表示的复数为－3－2i；
∵，∴所表示的复数为－3－2i.
(2)∵，
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)对角线，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，＝.
跟踪训练2　解析：(1)复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量与，因为，所以表示向量的复数为(6＋5i)－(－3＋4i)＝9＋i.故选C.
(2)因为，所以对应的复数为(a－1)＋(a2＋2a－1)i－(a2－3)－(a＋5)i＝(－a2＋a＋2)＋(a2＋a－6)i.因为向量对应的复数为纯虚数，所以所以a＝－1.
答案：(1)C　(2)－1
学习目标三　
例3　解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则由|z|2＋2z－2i＝0，得a2＋b2＋2(a＋bi)－2i＝0，
即a2＋b2＋2a＋(2b－2)i＝0，所以
解得a＝－1，b＝1，
所以z＝－1＋i.
(2)|z|＋|z＋3i|＝|－1＋i|＋|－1＋4i|＝，
|2z＋3i|＝|－2＋5i|＝，
因为2－2＝19＋2－10>0，
所以>，
所以|z|＋|z＋3i|>|2z＋3i|.
跟踪训练3　解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)．因为z1＋z2＝2i，所以z2＝2i－z1＝－a＋(2－b)i.
由已知得解得
故所求的复数z1＝＋i，z2＝－＋i或z1＝－＋i，z2＝＋i.
导　练
1．解析：由题意得z＝－8＋5i，则z的虚部为5.故选D.
答案：D
2．解析：由(a＋3i)＋(－1＋bi)＝(a－1)＋(3＋b)i＝0，得解得故选A.
答案：A
3．解析：依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.故选B.
答案：B
4．解析：由题意得z1－2z2＋2(2z1＋z2)＝5z1＝5＋i＋6i＝5＋7i，所以z1＝1＋i.
答案：1＋i
导　思
解析：对于A，若z1∈R，则z1＝，故A正确；对于B，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，因为z1＝，所以z2＝a－bi，所以|z1|＝＝，故B正确；对于C，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由z1＝z2，得a＋bi＝c＋di，即a＝c，b＝d，所以a2＋b2＝c2＋d2，即|z1|＝|z2|，故C正确；对于D，取z1＝2，z2＝1＋i，则z1－z2＝1－＝2＝|z1|，此时z1≠0且z2≠2z1，故D错误．故选ABC.
答案：ABC