10.1.4 概率的基本性质 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

10.1.4　概率的基本性质
【课标要求】　1.通过实例，理解概率的基本性质.2.掌握并利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题．
【导学】
学习目标一　概率的基本性质
师问：(1)你认为可以从哪些角度研究概率的性质？
(2)设事件A与事件B互斥，和事件A∪B的概率与事件A，B的概率之间具有怎样的关系？
(3)设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系？
生答：
例1 (多选)设A，B是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是(　　)
A．如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
B．如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)＝1
C．如果事件A与事件B对立，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
D．如果事件A与事件B对立，那么P(A)＋P(B)＝1
总结：利用概率性质进行判断，要注意每一条性质使用的条件，不能断章取义．
跟踪训练1　已知事件A与事件B是互斥事件，则(　　)
A．P＝0
B．P(A∩B)＝P(A)P(B)
C．P(A)＝1－P(B)
D．P＝1
学习目标二　互斥事件概率公式的应用
例2 一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)求射中环数小于8环的概率．
总结：在运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件，做到不重不漏，然后再利用概率加法公式计算．
跟踪训练2　在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1个球．记事件A为“取出的球为红球”，事件B为“取出的球为黑球”，事件C为“取出的球为白球”，事件D为“取出的球为绿球”．求：
(1)“取出的球为红球或黑球”的概率；
(2)“取出的球为红球或黑球或白球”的概率．
学习目标三　对立事件概率公式的应用
例3 现有6名志愿者(他们都只通晓一门外语)，其中志愿者A1，A2，A3通晓英语，志愿者B1，B2，B3通晓韩语，从中选出通晓英语、韩语的志愿者各1名，组成一个小组，其中A1被选中的概率为，A1和B3全被选中的概率为.
(1)求A1不被选中的概率；
(2)求A1和B3不全被选中的概率．
总结：(1)当对立事件A，B中有关事件的概率易求，另一个事件的概率不易求时，直接计算符合条件的概率较繁琐，可先间接地计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．
(2)应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件到底是什么．该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解．
跟踪训练3　袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率：
(1)A＝“取出的两球都是白球”；
(2)C＝“取出的两球中至少有一个白球”．
学习目标四　概率性质的综合应用
例4 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
总结：求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率．
跟踪训练4　已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
【导练】
1．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是(　　)
A．[0，0.9] B．[0.1，0.9]
C．(0，0.9] D．[0，1]
2．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝(　　)
A． B．
C． D．1
3．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为(　　)
A．0.2 B．0.8
C．0.4 D．0.1
4．在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同颜色的玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.
【导思】
某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个、一等奖10个、二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)求1张奖券中奖的概率；
(2)求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
10．1.4　概率的基本性质
导　学
学习目标一　生答：(1)可以从定义出发研究概率的性质，例如：概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系等等．
(2)两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(3)事件A 和事件B互为对立事件，那么和事件A∪B为必然事件，即P(A∪B)＝1，所以1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
例1　解析：对于A，事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A正确；对于B，事件A与事件B互斥，事件A∪B不一定是必然事件，即P(A)＋P(B)不一定为1，B错误；对于C，事件A与事件B对立，则事件A与事件B互斥，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，C正确；对于D，事件A与事件B对立，事件A∪B是必然事件，则P(A)＋P(B)＝1，D正确．故选ACD.
答案：ACD
跟踪训练1　解析：因为事件A与事件B是互斥事件，则不一定是互斥事件，所以P不一定为0，故选项A错误；因为事件A与事件B是互斥事件，所以A∩B＝ ，则P(A∩B)＝0，而P(A)P(B)不一定为0，故选项B错误；因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C错误；因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件， 所以P＝1，故选项D正确．故选D.
答案：D
学习目标二　
例2　解析：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.
(1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.
跟踪训练2　解析：(1)由题意可知，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
易知“取出的球为红球”与“取出的球为黑球”为互斥事件，
故“取出的球为红球或黑球”的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.
(2)易知，“取出的球为红球”“取出的球为黑球”“取出的球为白球”两两互斥，
故“取出的球为红球或黑球或白球”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝.
学习目标三　
例3　解析：(1)设事件M为“A1不被选中”，因为A1被选中的概率为，即P＝，
所以A1不被选中的概率为P(M)＝1－.
(2)设事件N为“A1和B3不全被选中”，则其对立事件为“A1和B3全被选中”．
因为A1和B3全被选中的概率为，即P＝，
所以A1和B3不全被选中的概率为P(N)＝1－P＝1－.
跟踪训练3　解析：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取2个球，对应的样本空间W＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共有15个样本点．
(1)A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共有6个样本点，
∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝.
(2)设C的对立事件为，则＝“取出的两球中没有白球(全为红球)”，且＝{(5，6)}，
∴P(C)＝1－P＝1－.
学习目标四　
例4　解析：把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2，“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.
(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则P(A)＝.记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B，则P(B)＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为P(A＋B)＝.
(2)记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”为事件C，则为“甲、乙两人都抽到判断题”，由题意＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为P(C)＝1－＝1－.
跟踪训练4　解析：记“选中两人都是男生”为事件A，“选中两人都是女生”为事件B，“选中两人中恰有一人是女生”为事件C，易知A，B为互斥事件，A∪B与C为对立事件，
又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝，
所以P(C)＝1－P(A∪B)＝1－.
答案：
导　练
1．解析：由于事件A和B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9.故选A.
答案：A
2．解析：A包含向上的点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上的点数是1，2，3，5的情况．故P(A∪B)＝.故选B.
答案：B
3．解析：乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.故选B.
答案：B
4．解析：取得两个同颜色的玻璃球包括两个红玻璃球或两个绿玻璃球，故取得两个同颜色的玻璃球的概率P1＝；
“至少取得一个红玻璃球”的对立事件是“取得两个绿玻璃球”，
故至少取得一个红玻璃球的概率P2＝1－.
答案：
导　思
解析：(1)1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖，
设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，
因为A，B，C两两互斥，所以P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝，
故1张奖券中奖的概率为.
(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝，
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.