10.1.3 古典概型 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

10.1.3　古典概型
【课标要求】　1.结合具体实例，理解古典概型的概念及特点.2.掌握古典概型概率公式并能利用公式计算古典概型中简单随机事件的概率．
【导学】
学习目标一　古典概型的定义
师问：请你说出“彩票摇号试验”“抛掷一枚均匀硬币的试验”“掷一枚质地均匀骰子的试验”这三个试验的共同特征？
生答：
例1 下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．
总结：判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征：有限性和等可能性．
跟踪训练1　下列试验中是古典概型的是(　　)
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
学习目标二　古典概型概率的计算
师问：一个班级中有18名男生，22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A＝“抽到男生”，如何度量事件A发生的可能性大小？
生答：
例2 口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：
(1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；
(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率．
【一题多变】　本例前提条件不变，若从袋中依次无放回地摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率．
求古典概型概率的一般步骤
跟踪训练2　(1)2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有3幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品，若从这6幅作品中随机挑选2幅作品挂在同一面墙上，则选出的2幅作品为1幅美术作品和1幅书法作品的概率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)甲在微信群中发出5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是________．
学习目标三　古典概型概率的综合应用
例3 第24届北京冬奥会的主题口号——“一起向未来”，某兴趣小组制作了写有“一”“起”“向”“未”“来”的五张卡片．
(1)若采用不放回简单随机抽样从中逐一抽取两张卡片，写出试验的样本空间；
(2)该兴趣小组举办抽卡片送纪念品活动，有如下两种方案：
方案一：活动参与者采用简单随机抽样从五张卡片中任意抽取一张，若抽到“向”或“未”或“来”，则可获得纪念品．
方案二：活动参与者采用不放回简单随机抽样从五张卡片中逐一抽取两张，若抽到“未”或“来”，则可获得纪念品．
选择哪种方案可以有更大机会获得纪念品？说明理由．
总结：利用古典概型的概率公式求事件的概率时，应首先判断本试验是不是古典概型，再正确地找出试验的样本空间包含的样本点个数及事件包含的样本点个数，最后代入公式求出概率，比较概率的大小即可．
跟踪训练3　某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．
【导练】
1．下列是古典概型的是(　　)
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
2．一个盒子中装有除颜色外其他都相同的5个小球，其中有2个红球，3个白球，从中任取一球，则取到红球的概率为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
3．同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
4．从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是________．
【导思】
某新能源汽车销售部为了了解广大客户对新能源性能的需求，随机抽取200名用户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]分组，并绘制出了频率分布直方图如图所示．
(1)估计样本数据中用户年龄的中位数；
(2)销售部从年龄在[20，30)，[50，60)内的样本中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率．
10．1.3　古典概型
导　学
学习目标一　生答：样本空间的样本点只有有限个，每个样本点发生的可能性相等．
例1　解析：(1)不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．
(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．
(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．
跟踪训练1　解析：由古典概型的两个特征易知B正确．
答案：B
学习目标二　生答：这是一个古典概型．这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A＝“抽到男生”包含18个样本点，因此，事件A发生的可能性大小为＝0.45.
例2　解析：(1)任意摸出两个小球的基本事件空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以摸得红球和白球的概率为.
(2)有放回地取球，基本事件空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)}，而摸出一红一白包括(红，白)，(白，红)2个基本事件，所以摸得一红一白的概率为.
一题多变　解析：无放回地取球样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)}，所以第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率是.
跟踪训练2　解析：(1)记3幅美术作品分别为A，B，C，3幅书法作品分别为d，e，f，从中随机挑选2幅作品，不同的选法有AB，AC，Ad，Ae，Af，BC，Bd，Be，Bf，Cd，Ce，Cf，de，df，ef，共15种，其中选出的2幅作品恰好为1幅美术作品和1幅书法作品的不同选法有Ad，Ae，Af，Bd，Be，Bf，Cd，Ce，Cf，共9种，故所求概率为.故选B.
(2)设乙领到i元，丙领到j元，丁领到k元，则可用(i，j，k)表示1个样本点，
可得Ω＝{(1，1，3)，(1，3，1)，(3，1，1)(1，2，2)，(2，1，2)，(2，2，1)}，所以样本点总数n(Ω)＝6个．
设乙获得“最佳手气”为事件A，则A包含的样本点有(3，1，1)，(2，1，2)，(2，2，1)，共3个，即n(A)＝3.
所以概率为P(A)＝.
答案：(1)B　(2)
学习目标三　
例3　解析：(1)用1，2，3，4，5分别表示“一”“起”“向”“未”“来”五张卡片，
x1，x2∈{1，2，3，4，5}，数组(x1，x2)表示这个试验的一个样本点，则该试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}．
(2)采用方案一时，从五张卡片中采用简单随机抽样从中任意抽取一张的样本空间为{1，2，3，4，5}，且每个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型，事件A＝“抽到‘向’或‘未’或‘来’”，A＝{3，4，5}，则P(A)＝.
采用方案二时，由(1)可得从五张卡片中采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两张共有20个样本点，且每个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型，事件B＝“抽到‘未’或‘来’”，
B＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，
P(B)＝.
因为P(A)跟踪训练3　解析：(1)所有可能的摸出结果是，，，，，，，，，，，(B，b2)．
(2)不正确．理由如下：
由(1)知，所有可能的摸出结果共有12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)，共4种，
∴中奖的概率为，
不中奖的概率为1－>，
故这种说法不正确．
导　练
1．解析：A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是古典概型．故选C.
答案：C
2．解析：一个盒子中装有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相同，∴摸出1个球是红球的概率为P＝.故选D.
答案：D
3．解析：同时掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种(正，正)，则两枚硬币均为正面向上的概率P＝.故选A.
答案：A
4．解析：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共6个结果，
满足两个数相差为2的有(2，4)，(3，5)，共2个结果，
所以两个数相差为2的概率P＝.
答案：
导　思
解析：(1)由频率分布直方图可知，年龄小于40岁的用户所占比例为15%＋20%＝35%，年龄小于50岁的用户所占比例为35%＋30%＝65%，
所以中位数一定在[40，50)内．
由40＋10×＝45，
所以估计用户年龄的样本数据的中位数为45.
(2)由分层抽样的方法可知，抽取的8人中，年龄在[20，30)内的有3人，分别记为A1，A2，A3；年龄在[50，60)内的有5人，分别记为B1，B2，B3，B4，B5，
则从这8人中随机抽取2人的样本点为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A1，B5}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}，{A2，B5}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A3，B4}，{A3，B5}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，B4}，{B1，B5}，{B2，B3}，{B2，B4}，{B2，B5}，{B3，B4}，{B3，B5}，{B4，B5}，共28种．
记这2人取自不同年龄区间为事件A，其包含样本点有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A1，B5}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}，{A2，B5}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A3，B4}，{A3，B5}，共15种．
故这2人取自不同年龄区间的概率为P(A)＝.