10.2 事件的相互独立性 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

10.2　事件的相互独立性
【课标要求】　1.结合有限样本空间，了解两个事件独立的含义.2.结合古典概型，能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
【导学】
学习目标一　相互独立事件的概念
师问：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”. 计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
生答：
例1 (多选)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6.从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立
判断两个事件是否相互独立的方法
跟踪训练1　下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“一个节能灯泡能用1 000小时”，B＝“一个节能灯泡能用2 000小时”
学习目标二　相互独立事件的性质
师问：(1)必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立吗？
(2)如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？
生答：
例2 若P(AB)＝，P＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又相互独立
总结：互斥事件与相互独立事件都描述了两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
跟踪训练2　已知事件A，B，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.7，如果A与B互斥，那么P(AB)＝p1；如果A与B相互独立，那么P＝p2，则p1，p2分别为(　　)
A．p1＝0，p2＝0.9 B．p1＝0.42，p2＝0.9
C．p1＝0，p2＝0.72 D．p1＝0.42，p2＝0.45
学习目标三　相互独立事件概率的计算
例3 为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.假设甲和乙进行第一场比赛．
(1)若甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，求丙获得冠军的概率；
(2)若甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，求甲获得冠军的概率．
总结：1.准确理解互斥事件，相互独立事件的含义，灵活利用概率的加法和乘法公式解题．
2．正难则反，若所求事件的概率正面计算较繁琐时，可以从对立面入手求解．
跟踪训练3　已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
(1)求甲、乙、丙都通过测试的概率；
(2)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率；
(3)求甲、乙、丙恰有两人通过测试的概率．
【导练】
1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球游戏，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与是(　　)
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
2．甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是(　　)
A．0.3 B．0.63
C．0.7 D．0.9
3．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为(　　)
A．0.28 B．0.12
C．0.42 D．0.16
4．甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出(至少有一人解出来)的概率是________．
【导思】
某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为，在乙处投篮命中率为，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投．
(1)求小明得3分的概率；
(2)试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大．
10．2　事件的相互独立性
导　学
学习目标一　生答：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)(0，0)}，包含4个等可能的样本点．而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)}．
由古典概型概率公式得P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，于是P(AB)＝P(A)P(B)．
例1　解析：两次取出的球的数字之和为8，有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5种情况，所以P(丙)＝；两次取出的球的数字之和为7，有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6种情况，所以P(丁)＝；又P(甲)＝P(乙)＝.对于A，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，故甲与丙不相互独立，故A错误；对于B，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，故甲与丁相互独立，故B正确；对于C，P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，故乙与丙不相互独立，故C正确；对于D，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故丙与丁不相互独立，故D错误．故选BC.
答案：BC
跟踪训练1　解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B事件应为互斥事件，不相互独立；D中事件B受事件A的影响．故选A.
答案：A
学习目标二　生答：(1)必然事件Ω、不可能事件 与任意事件相互独立．
(2)如果事件A与事件B相互独立，那么A与与B，与也都相互独立．
例2　解析：由P(AB)＝，P＝，P(B)＝，可得P(A)＝1－P＝1－，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝≠0，所以事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，则事件A与B不对立．故选C.
答案：C
跟踪训练2　解析：如果事件A与B互斥，则P(AB)＝0，所以p1＝0.如果事件A与B相互独立，则事件A与也相互独立，所以P＝1－P(B)＝0.3，P＝P(A)P＝0.6×0.3＝0.18，P＝P(A)＋P－P＝0.6＋0.3－0.18＝0.72，即p2＝0.72.故选C.
答案：C
学习目标三　
例3　解析：(1)甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，且丙获得冠军的情况有2种：
①首先甲乙比赛甲胜，然后甲丙比赛丙胜，再由乙丙比赛丙胜，
概率为P1＝＝.
②首先甲乙比赛乙胜，然后乙丙比赛丙胜，再由甲丙比赛丙胜，
概率为P2＝＝.
所以丙获得冠军的概率P＝.
(2)甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，且甲获得冠军的情况有2种：
①乙胜甲、丙胜乙、甲胜丙、甲胜乙，概率为P3＝.
②甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲胜乙，概率为P4＝.
所以甲获得冠军的概率P＝.
跟踪训练3　解析：(1)甲、乙、丙都通过测试的概率为0.6×0.8×0.9＝0.432.
(2)甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为1－(1－0.6)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.992.
(3)甲、乙、丙恰有两人通过测试的概率为
0．6×0.8×0.1＋0.6×0.2×0.9＋0.4×0.8×0.9＝0.444.
导　练
1．解析：由题意可得表示第二次摸到的不是黑球，即表示第二次摸到的是白球，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件，由于A1与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件．故选A.
答案：A
2．解析：设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.9×0.7＝0.63.故选B.
答案：B
3．解析：甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4＝0.12.故选B.
答案：B
4．解析：设数学题没被解出来为事件A，
则P(A)＝·＝，
则这道题被解出(至少有一人解出来)的概率为
P＝1－P(A)＝1－.
答案：
导　思
解析：(1)设小明在甲处投进为事件A，在乙处投进为事件B，
于是P(A)＝，P(B)＝，
小明得3分的概率P＝P＝P(A)PP＝.
(2)小明选择都在乙处投篮，测试通过的概率P1＝P(BB)＋P＋P＝，
小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率
P2＝P(AB)＋P＋P＝，
P1－P2＝>0，所以选择都在乙处投篮通过率更大．