10.3 频率与概率 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

10.3　频率与概率
【课标要求】　1.结合具体实例，理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系，并会利用频率估计概率．2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟的方法估计概率．
【导学】
学习目标一　频率的稳定性
师问：频率与概率有什么关系？
生答：
例1 下列说法正确的是(　　)
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
总结：(1)概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值．
(2)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
跟踪训练1　气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是(　　)
A．本市明天将有90%的地区降雨
B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨
D．明天出行不带雨具可能会淋雨
学习目标二　用频率估计概率
例2 某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔偿金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数/辆 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
总结：在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率．
跟踪训练2　对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000
优等品数 40 92 192 285 478 954
(1)根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
(2)该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
学习目标三　游戏公平性的判断
例3 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
总结：(1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
跟踪训练3　甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是(　　)
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
学习目标四　用随机模拟试验估计概率
师问：用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以代替试验呢？
生答：
例4 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
总结：随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
跟踪训练4　某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为(　　)
A．0.9 B．0.8
C．0.7 D．0.6
【导练】
1．下列说法中正确的是(　　)
A．当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
2．某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明(　　)
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
3．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于(　　)
A．产生的随机数的大小
B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果
D．产生随机数的方法
4．玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向如图所示的靶中．若射中区域所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，否则倩倩先走第一步．这个游戏规则________(填“公平”或“不公平”)．
【导思】
对一批西装进行了多次检查，并记录结果如下表：
抽取件数 50 100 150 200 300 400
检出次品件数 5 7 9 15 21 30
检出次品频率
(1)根据表中数据，计算并填写每次检出次品的频率．
(2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率是多少？
(3)如果要销售1 000件西装，至少要额外准备多少件正品西装以供买到次品的顾客调换？
10．3　频率与概率
导　学
学习目标一　生答：随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
例1　解析：一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．故选D.
答案：D
跟踪训练1　解析：本市降雨的概率是90%，是说明天下雨发生的可能性很大，但不一定就一定会发生，所以只有D合题意．故选D.
答案：D
学习目标二　
例2　解析：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
跟踪训练2　解析：(1)抽到优等品的频率分别为0.8，0.92，0.96，0.95，0.956，0.954.
(2)由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
学习目标三　
例3　解析：该方案是公平的，理由如下：
各种情况如表所示：
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的情况有6种，为奇数的情况也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝，(2)班代表获胜的概率P2＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
跟踪训练3　解析：A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝；B项，P(点数之和大于7)＝，P(点数之和小于等于7)＝；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝；D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝.故选B.
答案：B
学习目标四　生答：利用计算器或计算机软件可以产生随机数．
例4　解析：用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数．因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，产生如下20组随机数：
666　743　671　464　571　561　156　567　732　375
716　116　614　445　117　573　552　274　114　662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的都是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1.
跟踪训练4　解析：由题意，10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，表示“3例心脏手术全部成功”的有812，832，569，683，271，989, 537，925，共8个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为＝0.8.故选B.
答案：B
导　练
1．解析：A选项，根据频率的稳定性可知A选项正确；B选项，频率与实验次数有关，B选项错误；C选项，随机事件发生的频率不是这个随机事件发生的概率，C选项错误；D选项，概率不是随机的，是确定的，D选项错误．故选A.
答案：A
2．解析：对于A，该厂生产的10 000件产品中不合格的产品不一定有1件，可能是多件或者没有，故A错误；对于B，该厂生产的10 000件产品中合格的产品不一定是9 999件，故B错误；对于C，该厂生产的10 000件产品中可能有不合格产品，故C错误；对于D，该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D正确．故选D.
答案：D
3．解析：随机数容量越大，所估计的概率越接近实际数．故选B.
答案：B
4．解析：由已知得，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是，所以不公平．
答案：不公平
导　思
解析：(1)利用频率的计算公式可得，
每次检出次品的频率即为当次检出次品件数除以本次抽取件数，
所以从左到右的6次检测对应的频率分别为
f1＝＝0.1，f2＝＝0.07，f3＝＝0.06，
f4＝＝0.075，f5＝＝0.07，f6＝＝0.075，
所以对应的频率表格如下．
抽取件数 50 100 150 200 300 400
检出次品件数 5 7 9 15 21 30
检出次品频率 0.1 0.07 0.06 0.075 0.07 0.075
(2)从这批西装中任意抽取一件，抽到次品的经验概率约为6次检出次品频率的稳定值，
即P＝＝0.075，
所以抽到次品的经验概率约为0.075.
(3)由(2)可知，销售1 000件西装大约有0.075×1 000＝75件次品，
所以应当准备75件正品西装以供买到次品的顾客调换．