第十章 概率 章末复习课 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

第十章　概率 章末复习课
知识网络·形成体系
考点聚焦·分类突破　
考点一　频率与概率
1．频率是概率的试验值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多次试验中频率的稳定值，是一个常数．
(1)对于只有一组试验数据的，我们通常用事件A发生的频率作为相应概率的估计值．
(2)对于有多组试验数据的，通常将各组中事件A发生的频率按试验次数从小到大的顺序，观察频率的稳定性，得到概率的估计值．
2．通过对频率与概率的考查，提升学生的数学抽象和数学运算素养．
例1 某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数n 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟次数nA 81 95 120 81 119 127 121
(1)求各次击中飞碟的频率(保留三位小数)；
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
跟踪训练1　(多选)下述关于频率与概率的说法中，错误的是(　　)
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10 000，所估计出的概率也不一定很准确．
考点二　互斥事件、对立事件与相互独立事件
1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
2．若事件A，B满足P(A∩B)＝P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，且当A与B相互独立时，A与与B，与也独立．
3．通过对互斥事件和对立事件的概率公式、相互独立事件的判断方法及应用的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例2 (多选)伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M表示“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N表示“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是(　　)
A．若n＝2，则M与N不互斥
B．若n＝2，则M与N不相互独立
C．若n＝3，则M与N相互独立
D．若n＝3，则M与N互斥
跟踪训练2　掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A1：红骰子的点数为2，A2：红骰子的点数为3，A3：两个骰子的点数之和为7，A4：两个骰子的点数之和为9，则(　　)
A．A1与A2对立 B．A3与A4不互斥
C．A1与A3相互独立 D．A2与A4相互独立
考点三　古典概型
1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m.
2．通过对古典概型的概率公式及其应用的考查，提升学生的数学抽象和数据分析数学素养．
例3 在试验E6“袋中有白球3个(编号为1，2，3)、黑球2个(编号为1，2)，这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为w1，w2，w3，摸到黑球的结果分别记为b1，b2.求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
跟踪训练3　(1)在素数研究中，华裔数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数是指相差为2的素数对，例如3和5，11和13等．从不超过10的正奇数中随机抽取2个，则这2个奇数是孪生素数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)在一个不透明的袋子中装有4张形状大小质地完全相同的卡片，它们上面分别标有数字：－3，－1，0，2，随机抽取一张卡片，记下数字为m，放回后再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则点(m，n)落在第三象限的概率是________．
考点四　相互独立事件与互斥事件的概率
1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．
2．通过对相互独立事件的概率的考查，提升学生的数学抽象和逻辑推理数学素养．
例4 一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为p，p，，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为.
(1)求p的值；
(2)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．(结果用分数表示)
跟踪训练4　为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，p，且三人答题互不影响．
(1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；
(2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求p的值．
考点五　概率与统计的综合问题
1．处理该类问题的关键是弄清各概念间的关系，抓住问题本质，这类问题涉及数据较多，要分清各数据对应事件及端点处数据的特殊含义，理解频率与概率间的关系，准确求解问题．
2．通过对概率与统计综合问题的考查，提升学生的数据分析和逻辑推理数学素养．
例5 某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理．销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据图中数据，求出月销售额在[14，16)小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务．
(2)该公司决定从月销售额为[12，14]和[24，26]的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率．
(3)第一组[12，14)中推销员的销售金额的平均数为13，方差为1.96，第七组[24，26)中推销员的销售金额的平均数为25，方差为3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数、方差．
跟踪训练5　某学校开设了街舞、围棋、武术三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
社团 街舞 围棋 武术
人数 48 42 30
为调查社团活动开展情况，学校社团管理部采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本，已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社团抽取的同学少1人．
(1)求三个社团分别抽取了多少同学；
(2)已知从围棋社团抽取的同学中有2名女生，若从围棋社团被抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督的职务，求至少有1名女同学担任监督职务的概率．
章末复习课
考点聚焦·分类突破
例1　解析：(1)根据表格中数据，击中飞碟的频率依次为
＝0.810，＝0.792，＝0.800，＝0.810，
＝0.793，＝0.794，＝0.807.
(2)由(1)可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频率都在0.800附近摆动，
所以该运动员击中飞碟的概率约为0.800.
跟踪训练1　解析：对于A，从中任取100件，可能有10件是次品，A错误；对于B，做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，B错误；对于C，多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C错误；对于D，10 000次的界定没有科学依据，“不一定很准确”的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D正确．故选ABC.
答案：ABC
例2　解析：A选项，n＝2时，若两次实验中结果为一次正面，一次反面，则事件M与N同时发生，由互斥事件定义，M与N不互斥，A正确；B选项，n＝2时，两次实验的结果有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)4种，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)≠P(M)P(N)，所以M与N不相互独立，B正确；C选项，n＝3时，三次实验的结果有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，反，反)8种，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)P(N)，所以M与N相互独立，C正确；D选项，n＝3时，若三次实验结果为(正，正，反)，则事件M与N同时发生，由互斥事件定义，M与N不互斥，D错误．故选ABC.
答案：ABC
跟踪训练2　解析：对于A，事件A1：红骰子的点数为2，A2：红骰子的点数为3，A1与A2互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如4，A错误；对于B，A3：两个骰子的点数之和为7，A4：两个骰子的点数之和为9，A3与A4不可能同时发生，故A3与A4互斥，B错误；对于C，两个骰子的点数之和为7的情况有1＋6＝2＋5＝3＋4＝4＋3＝5＋2＝6＋1，则P(A1)＝，P(A3)＝，P(A1A3)＝，所以P(A1)P(A3)＝P(A1A3)，所以A1与A3相互独立，C正确；对于D，两个骰子的点数之和为9的情况有3＋6＝4＋5＝5＋4＝6＋3，P(A2)＝，P(A4)＝＝，所以P(A2)P(A4)≠P(A2A4)，D错误．故选C.
答案：C
例3　解析：(1)由前面的分析可知试验E6的样本空间Ω＝{w1w2，w1w3，w1b1，w1b2，w2w1，w2w3，w2b1，w2b2，w3w1，w3w2，w3b1，w3b2，b1w1，b1w2，b1w3，b1b2，b2w1，b2w2，b2w3，b2b1}，共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率．
设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则A＝{w1w2，w1w3，w2w1，w2w3，w3w1，w3w2}，共含有6个样本点，所以P(A)＝，即取到的两个球都是白球的概率为.
(2)设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则B＝{w1w2，w1w3，w2w1，w2w3，w3w1，w3w2，b1b2，b2b1}，共含有8个样本点，所以P(B)＝，即取到的两个球颜色相同的概率为.
(3)设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，
则C＝{w1w2，w1w3，w1b1，w1b2，w2w1，w2w3，w2b1，w2b2，w3w1，w3w2，w3b1，w3b2，b1w1，b1w2，b1w3，b2w1，b2w2，b2w3}，共含有18个样本点，所以P(C)＝，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为.
跟踪训练3　解析：(1)不超过10的正奇数有1，3，5，7，9，共5个，从中随机抽取2个，有{1，3}，{1，5}，{1，7}，{1，9}，{3，5}，{3，7}，{3，9}，{5，7}，{5，9}，{7，9}，共10种情况，其中孪生素数有{3，5}，{5，7}，共2种情况，由古典概型可得这2个奇数是孪生素数的概率为.故选C.
(2)根据题意知(m，n)所有等可能的结果有(－3，－3)，(－3，－1)，(－3，0)，(－3，2)，(－1，－3)，(－1，－1)，(－1，0)，(－1，2)，(0，－3)，(0，－1)，(0，0)，(0，2)，(2，－3)，(2，－1)，(2，0)，(2，2)，共16种，
若点(m，n)落在第三象限，则m<0，n<0，
所以符合条件的有(－3，－3)，(－3，－1)，(－1，－3)，(－1，－1)，共4种结果，则点(m，n)落在第三象限的概率为.
答案：(1)C　(2)
例4　解析：(1)由题意知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为p，p，，(p>0)，且各种方法能否答对互不影响．由小红使用四种解法全部答对的概率为，得p2×，
∴p＝.
(2)设小红使用解法一、二、三、四答对的事件为A，B，C，D，
有三种解法答对的事件为E，则P(A)＝P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
故P(E)＝P＋P＋P＋＝＋＋.
跟踪训练4　解析：(1)设A＝“甲答对”，B＝“乙答对”，
则P(A)＝，P(B)＝，P＝，P＝，
“甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为AB，且A与B互斥，
由三人答题互不影响，知A，B互相独立，则A与与B，与均相互独立，
则P＝P＋P＝P(A)P＋＝，
所以甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率为.
(2)设C＝“丙答对”，则P(C)＝p，P＝1－p，
设D＝“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，由(1)知，
P(D)＝1－P＝1－PPP＝1－×(1－p)＝，解得p＝，所以p的值为.
例5　解析：(1)月销售额在[14，16)小组内的频率为1－2×(0.03＋0.12＋0.18＋0.07＋0.02＋0.02)＝0.12，
若要使70%的推销员完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成月销售额目标．
根据题图所示的频率分布直方图知，[12，14)和[14，16)两组的频率之和为0.18，
[12，14)和[14，16)及[16，18)三组的频率之和为0.42，
故估计月销售目标应定为16＋×2＝17万元．
(2)第一组3人记为A1，A2，A3，第七组2人B1，B2，
则选取2位推销员有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种情形．
“选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件M，
则事件M包含有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，共6种情形．
所以P(M)＝＝0.6.
(3)第一组3人，第七组2人，
则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为＝17.8，
方差s2＝[1.96＋(13－17.8)2]＋[3.16＋(25－17.8)2]＝37.
跟踪训练5　解析：(1)设抽样比为x，则由分层随机抽样可知，街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为48x，42x，30x.
由题意得48x－42x＝1，解得x＝.
故街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为48×＝5.
(2)由(1)知，从围棋社团抽取的同学有7人，其中2名女生记为A，B，5名男生记为C，D，E，F，G.
从中随机选出2人担任该社团活动监督职务，有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种不同的结果，
至少有1名女同学担任监督职务，有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，共11种不同的结果，
所以至少有1名女同学担任监督职务的概率为P＝.