2025-2026学年度高中数学必修一1.1-1.5集合与简易逻辑滚动测试卷（含解析）

2025-2026学年度高中数学必修一
1.1-1.5集合与简易逻辑滚动测试卷
一、单选题
1．集合可化简为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知全集，若，且则集合A有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（ ）
A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件
C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件
7．设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
8．设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（ ）
A．3 B．6 C．10 D．64
二、多选题
9．在下列结论中，正确的有（ ）
A．是的必要不充分条件
B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
C．若，则“”是“，不全为0”的充要条件
D．一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件
10．若集合A，B，U满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a－b，ab、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（ ）
A．0，１是任何数域中的元素； B．若数集M，Ｎ都是数域，则是一个数域；
C．存在无穷多个数域； D．若数集M，Ｎ都是数域，则有理数集．
三、填空题
12．集合中实数的取值范围是 ．
13．给出下列命题：①；②；③；④，则；⑤“”的充分条件是“”．其中正确命题的序号是 ．
14．已知全集，非空集合. 若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题：
①若，则；
②若，则S中至少有8个元素；
③若，则S中元素的个数可以为奇数；
④若，则.
其中正确命题的序号为 ．
四、解答题
15．已知集合，，求，，，.
16．已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17．（1）若命题“，”为假命题，求实数a的最小值.
（2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.
18．设集合，．
(1)若，求实数的值；
(2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示；
(3)若，求实数的取值范围．
19．（1）已知集合且，任意从中取出k个四元子集，均满足的元素个数不超过2个，求k的最大值.（举出一个例子即可，无需证明）
（2）已知集合且，任意从中取出k个三元子集，均满足的元素个数不超过一个，求k的最大值.
试卷第2页，共3页
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《2025-2026学年度高中数学必修一1.1-1.5集合与简易逻辑滚动测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C C B C C AC AD
题号 11
答案 ACD
1．B
【分析】通过解方程，根据的含义进行求解即可.
【详解】解方程,得，因为，
所以，
故选：B
2．C
【分析】根据交集含义即可得到答案.
【详解】根据交集的含义得，
故选：C.
3．B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为或，所以由不能推出且，即充分性不满足；
但由且可得，即由且可推出，所以必要性满足；
所以是且的必要不充分条件.
故选：B.
4．C
【分析】根据题意，列举出符合题意的集合.
【详解】因为全集，若，且，
所以或或.
故选：C
5．C
【分析】解方程组，求得交点坐标即可求解.
【详解】由得，所以，
故选：C.
6．B
【分析】根据充分条件与必要条件的定义进行判断即可.
【详解】依题意是的充分不必要条件，是的充分条件， 是的必要条件，是的必要条件，，
所以是的充要条件，A、C错误;是的充分不必要条件, D错误; 是的充要条件，B正确.
故选：B
7．C
【分析】先根据条件，，对，进行取值，再验证是否成立，满足条件的数对即为集合的元素，从而即可求解.
【详解】∵集合，，，，
∴可取1，2，3，可取0，1，2，4.
（1）当时，
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，成立，数对为的一个元素；
（2）当时，
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，不成立，数对不是的元素；
，由，，不成立，数对不是的元素；
（3）当时，
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，成立，数对为的一个元素；
，由，，不成立，数对不是的元素；
，由，，不成立，数对不是的元素.
综上，的元素有八个，分别为：，，，，，，，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解元素与集合的关系，并且分类讨论时要做到不重复，不遗漏.
8．C
【分析】设，由题意结合两集合元素个数和为，可推理出，按的取值分类求解即可.
【详解】若时，，
则，则，
这与题意矛盾，故不满足题意；
故.
设A中元素的个数为，
则B中元素的个数为，且，
由且，得，.
①当时，则，又，
所以，满足题意；
②当时，则，，则，，又，
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；以上情况都满足题意；
③当时，即，则，，
但此时，故产生矛盾，所以不满足题意；
④当时，则由且，得，，
又，与②同理可得不同集合的个数有个，
即不同集合的个数有个；
⑤当时，则由，得，又，
所以，满足题意；
综上，满足条件的所有不同集合A的个数为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理清题意，明确两个集合及集合中元素个数的相互制约关系，所以有如下推理：若，则；若，，则，且.
9．AC
【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，可得，可得，所以充分性不成立，
反之：由，可得，可得，所以必要性成立，
所以是的必要不充分条件，所以A正确；
对于B中，在中，由，可得为直角三角形，
反之：由为直角三角形，不一定得到，
所以是为直角三角形的充分不必要条件，所以B不正确；
对于C中，若，由，可得不全为，
反之：当不全为，可得，所以是不全为0”的充要条件，
所以C正确；
对于D中，若一个四边形是正方形，可得它一定是菱形，所以充分性成立，
反之：菱形不一定是正方形，所以必要性不成立，
所以一个四边形是正方形是它是菱形的充分不必要条件，所以D不正确.
故答案为：AC
10．AD
【分析】根据韦恩图即可得之间的关系，进而结合选项即可逐一求解.
【详解】
由知：与没有共同的元素，故，故A正确，
∴，即B错误；仅当时，即C错误；，即D正确．
故选：AD．
11．ACD
【分析】利用数域的定义，对选项依次判断,正确的选项要证明其一般性，错误的选项给出反例即可.
【详解】对于A选项：由定义可知，对任意的数域P，至少含有两个数，则至少有一个元素，所以有，故A对;
对于B选项：假设数域，，所以当时，且，
故,故B错;
对于C选项：可以利用题中的数域的例子进行构造，对于任意非完全平方数的正整数Z,
集合都是数域，这样就有无穷多个数域，故C对；
对于D选项：在A选项的基础上进行证明：任意数域P，都有有理数集，
下证：因为0，１是任何数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0或1的和或差，
故所有整数都属于数域P，
又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数也均在数域P中，即，
所以,自然有，故D对.
故选：ACD
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
12．.
【分析】根据集合中元素的互异性，即可求解.
【详解】由集合，根据集合元素的互异性，可得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
13．①③④⑤
【分析】根据元素与集合的关系判断①②，关于集合与集合的关系判断③，由可得，即可判断④，根据充分条件的定义判断⑤；
【详解】解：对于①，由元素与集合之间的关系可知，故正确；
对于②，因为集合表示全体数集，而是一个有序数对，所以，故错误；
对于③，，故正确；
对于④，由可得，所以，故正确；
对于⑤，由可推出，故是的充分条件，故正确．
故答案为：①③④⑤．
14．①④
【分析】①根据定义和点关于坐标轴对称的性质可判断；
②若，则中至少有4个元素，故错误；
③若，则中元素的个数一定为成对出现，故为偶数；
④根据，显然图象关于轴，轴，和轴对称，判断即可．
【详解】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.
所以当，则有，，，
进而有：，，，，
①若，则，故①正确；
②若，则，，，能确定4个元素，故②不正确；
③根据题意可知，，若，能确定4个元素，
当，也能确定个，当，也能确定8个所以，
则中元素的个数一定为偶数，故③错误；
④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，
则，，，即，
即，故④正确，
综上：①④正确.
故答案为：①④.
15．或，或，，或或.
【分析】由题意，利用集合交并补的运算，可得答案.
【详解】由，，
则，，
或，或，
所以或，或，
或，或或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，再求即可；
（2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案.
【详解】（1），
若，则集合，
所以，
则=；
（2）∵命题是命题的必要不充分条件，
∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，，或，
解得，
综上所述，实数的取值范围为．
17．（1）2；（2）证明见解析
【分析】（1）根据全称量词命题和存在量词命题的真假求解即可；
（2）根据一元二次方程的根的分布及充要条件的定义证明即可.
【详解】（1）“，”为假命题，
“，”为真命题，
则对恒成立，
即，
故实数的最小值为2.
（2）先证明充分性：
若，设方程的两个实根为，，
则，所以
，方程有两个不等实根，
而，，所以两根同号，
故方程有两个同号且不相等的实根；
再证明必要性：
若方程有两个不相等的实根，
则，解得①；
又方程有两个同号的实根，
由韦达定理得两根之积必为正数，即，
②
由①②得的取值范围是.
方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.
18．(1)或
(2)，
(3)
【分析】（1）由已知，代入后解方程并检验是否满足题意；
（2）根据根与系数关系和完全差的平方公式化简求值即可；
（3）由条件可得，结合集合确定集合，再根据集合情况分类求解即可．
【详解】（1）由题意得，因为，所以，，
所以即，
化简得，即，解得或，
检验：当时，，满足，
当时，，满足，
所以或．
（2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根，
所以且，，
所以，．
（3）因为，所以，又，
所以或或或，
当时，，解得，符合题意；
当时，则，无解；
当时，则，所以；
当时，则，无解，
综上，的范围为．
19．（1）3 （2）7
【分析】（1）列举所有的四元子集，根据的元素个数不超过2个即可求解，
（2）列举所有的三元子集，根据的元素个数不超过1个，可得 满足要求，当时得到元素个数之和超过21矛盾，即可求解.
【详解】由题意知：，四元子集的个数一共有15个，
则有， ，
要使任意的元素个数不超过2个，则最大为2，
比如：
（2）由题意知：，三元子集的个数一共有35个，如下：
,
,
对,则 与中其他元素共构成6个含的二元数对，
而在每个含的三元子集中，恰好含的有2个这种数对，
由题意可知：两个不同的三元子集中所含的相应数对不同，
所以至多属于三元集组中的3个，即至多出现在3个三元集中，
由于的元素个数不超过一个，
故在含的三元数对中，，
由m的任意性，不妨取 ，
包含1的三元集合不妨取满足，
去掉1，剩下6个元素为 ，分为3组：
若选这组中的2，则中可选一个数字4或5，
则满足至多一个元素的三元集合还有，
故,
故可取7.
由于，所以至多属于三元集组中的3个，
即至多出现在3个三元集中，中一共有7个元素，
则这7个元素故总共出现的次数至多为
当时，每个三元集中的元素出现3次，
那么所有的三元集中的元素出现次数为，则 ，这与总次数21矛盾，故，
故的最大值为7
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