2025-2026学年度高中数学必修一1.1-1.4集合与充分条件必要条件滚动测试卷（含解析）

2025-2026学年度高中数学必修一
1.1-1.4集合与充分条件必要条件滚动测试卷
一、单选题
1．已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，，，且，则的值为（ ）
A．1或 B．1或3 C．或3 D．1，或3
4．已知集合M={－2，3}，N={－4,5,6}，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P的个数是
A．4 B．5 C．6 D．7
5．若、为实数，则“”是“或”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设，，若，则=
A． B． C． D．
7．设X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：
①；
②；
③；
④；
其中是集合X上的拓扑的集合的序号是（ ）
A．② B．①③ C．②④ D．②③
8．已知集合.若，且对任意的，，均有，则集合B中元素个数的最大值为
A．25 B．49 C．75 D．99
二、多选题
9．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各个选项中，满足 的集合A有（ ）
A． B． C． D．
11．（多选）若非空实数集满足任意，都有， ，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（ ）
A．是优集 B．是优集
C．若是优集，则或 D．若是优集，则是优集
三、填空题
12．用列举法表示集合 .
13．在“ =”中，选择最合适的符号填空：已知，，，则M N，M P，N P.
14．已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 ．
四、解答题
15．选择适当方法表示下列集合：
(1)由不超过5的所有自然数组成的集合A；
(2)不等式的解集组成集合；
(3)二次函数的图象上所有的点组成的集合．
16．已知集合，集合为整数集，令.
(1)求集合；
(2)若集合，，求实数的值.
17．设为全集，集合，．
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
18．已知全集为R，集合，集合或．
(1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
19．已知方程的两个不相等实根为．集合，，，，，求的值？
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A A A D D AD AC
题号 11
答案 ACD
1．C
【分析】
由集合补集及交集的性质即可求得.
【详解】，
又
故选：C
2．D
【分析】根据二次方程无解等价于判别式小于0计算即可.
【详解】由题意，二次方程无解，故，解得.
故选：D
3．B
【分析】根据元素与集合的关系，得到或，从而求得m值，并验证是否符合集合互异性即可.
【详解】解：，，，
或，即或.
当时，，5，；
当时，，3，；
当时，，1，不满足互异性，
的取值集合为，.
故选：.
4．A
【分析】由对于集合中的元素作为点的横坐标，中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有个，在第二象限的点共有个，由分类计数原理，即可求解．
【详解】由题意，要使得点在平面直角坐标系中位于第一、二象限内，
对于集合中的元素作为点的横坐标，中的元素作点的纵坐标，
在第一象限的点共有个；
在第二象限的点共有个；
由分类计数原理可得点的个数为个，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，其中解答中解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．
5．A
【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，若，则，此时有，
若，则，此时有，
所以，若，则“或”，
即“”“或”；
若“或”，若，不妨取，，则；
若，不妨取，，则.
所以，“”“或”.
因此，“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A.
6．A
【详解】试题分析：由知，所以
所以显然，
故选A．
考点：1、集合的交并运算；2、一元二次方程的解法．
7．D
【分析】根据集合X上的拓扑的集合的定义，逐个验证即可.
【详解】①，而，故①不是集合X上的拓扑的集合；
②，满足：①X属于，属于；
②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，
因此②是集合X上的拓扑的集合；
③，满足：①X属于，属于；
②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，
因此③是集合X上的拓扑的集合；
④，而，故④不是集合X上的拓扑的集合；
综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是②③.
故答案为：D.
8．D
【分析】先分析集合元素的特点，通过列举可得.
【详解】当或的值较小时，集合B中元素个数最多，即共有99个元素.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，抓住集合元素的特点是求解的关键.
9．AD
【分析】利用常用数集化简集合，再利用集合的关系与交并补运算即可得解.
【详解】因为，
又，所以，且，故A正确，B错误；
，，故C错误，D正确.
故选：AD.
10．AC
【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案.
【详解】因为，即有 ，
所有满足条件的集合A为：，，.
故选：AC.
11．ACD
【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.
【详解】对于A中，任取，
因为集合是优集，则，则 ，
，则，所以A正确；
对于B中，取，
则或，
令，则，所以B不正确；
对于C中，任取，可得，
因为是优集，则，
若，则，此时 ；
若，则，此时 ，
所以C正确；
对于D中，是优集，可得，则为优集；
或，则为优集，所以是优集，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
12．
【分析】由题意可得或，解之即可求解.
【详解】因为，
所以或，解得或0或2或3，
即.
故答案为：
13． =
【详解】集合．
对于集合：
(1)当是偶数时，令，则；
(2)当是奇数时，令，则
从而，得．
对于集合：
(1)当时，
(2)当时，
从而，得．
综上，．
故答案为：① ；② ；③＝
14．
【分析】第一问：由所给定义得到集合，从而得到；第二问：由集合中元素确定集合中元素的最大值和最小值，从而得出的表达式，解方程可得．
【详解】第一问：因为，所以，
所以，
第二问：因为，
易知集合中任意两个元素的和最小值是，最大值是，
且对任意，，都存在，，使得，
所以，由，解得．
故答案为：；
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用列举法表示集合即可；
（2）利用描述法表示集合即可；
（3）利用描述法表示集合即可．
【详解】（1）利用列举法表示集合；
（2）利用描述法表示集合；
（3）利用描述法表示集合．
16．(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，利用交集的定义可求得集合；
（2）利用并集的结果可求得实数的值.
【详解】（1）解：因为，，
所以，；
（2）解：因为，且，故.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）先求出集合，，然后结合集合的交集及补集运算即可求解；
（2）由已知结合集合的包含关系对集合是否为空集进行分类讨论即可求解．
【详解】（1）由题意可得，
当时，，
所以，
因为，
所以
（2）由（1）知，，
若，即，解得，此时满足；
若，要使，则，解得，
综上，若，所求实数的取值范围为．
18．(1)或；
(2)．
【分析】（1）由是成立的充分不必要条件所以是的真子集，进而求出结果；
（2）由可得且，解不等式即可求出结果．
【详解】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集，
则或，解得或，
又因为所以或，
所以的取值范围为或；
（2），且
∴且，即
故的取值范围是．
19．.
【详解】试题分析：先根据A∩C=A，可确定集合A、C的关系，进而可得到α∈C，β∈C，再由A∩B= 可知α B，β B，然后观察集合B、C中的元素即可确定α，β的值，然后根据韦达定理可确定p、q的值．
试题解析：由知
又，则，.
而，故，
显然即属于又不属于的元素只有1和3.
不妨设，.
对于方程的两根
应用韦达定理可得.
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