15.2线段的垂直平分线 沪科版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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15.2线段的垂直平分线沪科版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
2.如图，在中，，，分别以点，为圆心，适当的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线交于点，连接；再作射线，交于点根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是 ( )
A. B.
C. D.
3.如图，中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，，连接，若，，，则线段的长是( )
A. B. C. D.
4.如图，在已知的中，按以下步骤作图：分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；作直线交于点，连接，若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.在中，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线的交点为，下列说法正确的是( )
A. 点是的重心
B. 的垂直平分线一定不经过点
C. 点到三边距离相等
D. 点到三个顶点距离相等
6.如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，为中垂线交于点以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，，平分，交于点，点、分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的周长等于( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，平分，点在的垂直平分线上，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，在中，，的平分线交于点，又是的垂直平分线，垂足为则( )
A. B. C. D.
12.如图，在中，，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接交于点，连接，到的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分若、分别是、上的动点，则的最小值是 ．
14.在中，，边的垂直平分线与边所在的直线相交所得的锐角为，则的度数为 ．
15.如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点作图痕迹如图所示，连接，，则的度数为 ．
16.如图，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，求周长．
18.本小题分
如图，在中，，，点是边上一点，
作边的垂直平分线，交于点保留作图痕迹，不写画法
在上找一点，使点在内部，且满足，连接，，试判断与的位置关系并证明．
19.本小题分
如图，在的网格中，的顶点均在格点上借助网格特征，只利用直尺画出直线，使得直线垂直平分．
如图，在中，求作点，使点在内部，且，不写作法，保留作图痕迹．
20.本小题分
如图，在四边形中，，为对角线的中点，过点的直线分别与、所在的直线相交于点、．
求证：≌；
当直线时，连接、，试指出四边形各边的数量关系，并说明理由．
21.本小题分
如图，已知在中，，．
用尺规作边的垂直平分线；保留作图痕迹，不写作法
若边的垂直平分线交于点，交于点．
连接，求的周长；
若，求的度数．
22.本小题分
如图，是的角平分线，，分别是和的高．求证：垂直平分．
23.本小题分
如图，校园内有两条路，，在交叉口附近有两块宣传牌，，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置到两块宣传牌的距离相等，并且到两条路的距离也相等，请你帮忙画出灯柱的位置．
24.本小题分
如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点．
若，求的周长；
试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由；
若，求的度数．
25.本小题分
如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点
若，求的周长；
试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由；
若，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．
根据基本作图得到点为的垂直平分线与的交点，平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的定义得到，所以，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则可计算出，，然后计算出，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：由作法得点为的垂直平分线与的交点，平分，
，，
，
，，
，
，，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】【分析】
利用线段垂直平分线的性质得出，再利用三角形内角和等于得出即可．
本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
【解答】
解：由题意可得：垂直平分，
，
，
，
，
，
，
．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：如图，
由题意可得为的平分线，为的垂直平分线，
，
根据等腰三角形的性质，，，
为的垂直平分线，
交点为三角形垂直平分线的交点，
点到三个顶点距离相等，
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故选：．
利用三线合一的性质可得为的平分线，又是底边上的高和中线，即可解答，
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，，，
的周长为，
，
，，
的周长为：，
故选：．
根据线段垂直平分线性质得，，根据的周长为得，进而得，由此可得的周长．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，熟练掌握线段垂直平分线的性质，三角形的周长公式是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：过点作交延长线于点，设，交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
故选：．
过点作于点，设，交于点，由题意易得，，然后可得≌，则有，，，进而可证≌，由此可得，最后问题可求解．
本题主要考查正方形的性质、平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，
在中，，平分，
根据等腰三角形的性质得，，，
垂直平分，
，
，
如图，当、、三点共线且时，，此时最小，即的值最小，
，
，
整理得，，
解得，
的最小值为，
故选：．
根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当、、三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，线段的性质：两点之间线段最短，垂线段最短，三角形面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
，
在中，，，
，
故选：．
根据题中尺规作图可知是线段的垂直平分线，从而得到，即可得到答案．
本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：平分，，
，，
，
点在的垂直平分线上，
，
，
，
故选：．
根据角平分线的定义求出、，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
，
在中，，
，
，
．
故选：．
根据线段垂直平分线性质得，进而得，根据平分得，继而得，再根据直角三角形性质得，则，由此可得的度数．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
点为的中点，
，
故选：．
由勾股定理得，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，即点为的中点，则由直角三角形斜边上的中线的性质可得．
本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确求出是解题的关键．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】或
【解析】略
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】解：的周长是，，
，即．
．
是的垂直平分线，
，
的周长为：，
即的周长是．
故答案为：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
17.【答案】
【详解】解：中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，，，，，则的周长为．

【解析】考点：线段垂直平分线的性质．
18.【答案】解：如图，直线即为所求
理由是：延长交与点
点在直线上
又
，，
，
即
【解析】此题考查了尺规作图，全等三角形的判定及性质等知识点，
利用垂直平分线的画法作图即可；
判定，进一步得出，即可得出结果，
19.【答案】【小题】
如图，直线即为所求
【小题】
如图，点即为所求

【解析】 略
略
20.【答案】【小题】
，为的中点，在和中，≌
【小题】
四边形的四边相等 理由：，，直线是线段的垂直平分线，，≌，，，即四边形的四边相等．

【解析】 略
略
21.【答案】【小题】
如图，即为所求．
【小题】
是边的垂直平分线，．，，的周长．
，．，．

【解析】 略
略
22.【答案】证明：是的平分线，，分别垂直，于点，，
，．
又，
≌，
，
，都在线段的垂直平分线上，即垂直平分．

【解析】见答案
23.【答案】解：如图，连接，分别作线段的垂直平分线和的平分线，与相交于点，则点就是所要确定的灯柱的位置．

【解析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，作图应用与设计作图，根据题意知，点既在线段的垂直平分线上，又在两条路，夹角的平分线上，所以这两条线的交点是灯柱的位置．
24.【答案】【小题】
解：，的垂直平分线分别交于点，，，，的周长．
【小题】
点在的垂直平分线上．理由如下：连接，，，分别是，的垂直平分线，，，，点在的垂直平分线上；
【小题】
，分别垂直平分，，，均为轴对称图形，，，，，，．

【解析】 略
略
略
25.【答案】解：，的垂直平分线分别交于点，，
，，
的周长；
点在的垂直平分线上．
理由如下：连接，，，
，分别是，的垂直平分线，
，，
，
点在的垂直平分线上；
，分别垂直平分，，
，均为轴对称图形，
，，
，，
，
，
，
．

【解析】此题考查了线段垂直平分线的判定与性质，四边形内角和定理等知识点，渗透了整体求值的数学思想方法，难度中等．
根据线段垂直平分线性质得，，所以周长；
连接，，，根据线段垂直平分线的性质和判定即可得到结论；
先证得，均为轴对称图形，根据轴对称的性质可得，根据四边形内角和求得的度数，再计算的度数即可．
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