15.3角的平分线 沪科版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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15.3角的平分线沪科版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是 ．
A. B.
C. D.
2.如图，在中，，是的平分线，交于，若，，则的面积是( )
A. B. C. D.
3.下列尺规作图，能确定是的角平分线的是 ．
A. B.
C. D.
4.如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，，，则的长为 ．
A. B. C. D. 以上都有可能
5.如图，在中，，平分，，，则的面积为 ．
A. B. C. D.
6.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在( )
A. 的三条中线的交点处 B. 三边的中垂线的交点处
C. 三条高所在直线的交点处 D. 三条角平分线的交点处
7.如图直线，，表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处
8.到三角形三边距离相等的点是( )
A. 三角形三条高线的交点 B. 三角形三条中线的交点
C. 三角形三边垂直平分线的交点 D. 三角形三条内角平分线的交点
9.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点，，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，连接，则下列说法错误的是 ( )
A. 点到边、的距离相等 B. 平分
C. D. 点到、、三点的距离相等
11.如图， 的对角线，交于点，平分交于点，，，连接下列结论：平分，其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12.青海如图，平分，点在上，于点，，则点到的距离是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知如图，在中，，且，根据图中的尺规作图痕迹，计算
14.如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为 ．
15.如图，的三边，，的长分别为，，，其三条角平分线相交于点，则 ．
16.如图，已知，平分，为上任意一点，，交于点，于点如果，则的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，，是的中点，平分求证：是的平分线．
18.本小题分
尺规作图：
作出边上的高线．
作出的角平分线．
作出边的中线
19.本小题分
如图，是的角平分线，、分别是和的高．
试说明垂直平分；
若，，，，求的长．
20.本小题分
在中，和的平分线相交于点，
若，，求的度数；
若，，且的周长为，求的面积．
21.本小题分
尺规作图
22.本小题分
如图，在平行四边形中，于点，．
用尺规作的角平分线，交于点，连接不写作法，保留作图痕迹．
在的条件下，求证：四边形为矩形．
证明：四边形是平行四边形，
，______．
．
平分，
______．
，
______．
，
．
且
四边形为平行四边形．
，
______．
平行四边形为矩形______填推理的依据．
23.本小题分
如图，，是的中点，平分求证：是的平分线．
24.本小题分
尺规作图不写作法，保留作图痕迹
如图，在内求作一点，使到两边的距离相等，且．
25.本小题分
如图，已知及边上一点．
用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得保留作图痕迹，写出必要的 文字说明；
在的条件下，以点为圆心，为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等保留作图痕迹，写出必要的文字说明；
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】考点：三角形的内角平分线，面积问题
过点作于，，的面积．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质．
过点作于，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算的面积．
【解答】
解：由作法得平分，
过点作于，如图，
，，
，
所以的面积．
故选A．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】解：四边形为平行四边形，，
，
平分，
，
是等边三角形，
，
，，，
，
，
，
，
，即，
，故正确；
由知，，，
，
平分，故正确；
，，
，故正确；
，
，
，
，
，故正确；
故选：．
求得，即，即可得到；
依据，，可得，即可得出平分；
依据，，即可得到；
由可得，由可得，即可得出．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线定义，熟练掌握各定理是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【解析】
本题考查了角平分线的性质定理．过点作 于点，根据角平分线的性质可得 ，即可求解．
【解答】解：过点作 于点，
因为 平分 ， ， ，
所以 ，
故选：．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】：：
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：作于，于，于，
三条角平分线交于点，，，，
，
：：：：：：，
故答案为：：．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
平分，，
，
平分，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同位角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．
17.【答案】证明：过点作于点，如图，
由，可得：，，
平分，，，
，
是的中点，
，
，
，，
是的平分线；
【解析】本题考查的是角平分线的性质和判定的有关知识，过点作于点，由角平分线的性质可知，由于是的中点，所以，所以，再由角平分线的判定定理可知是的平分线．
18.【答案】解；如图，为所作；
如图，为所作；
如图，为所作．

【解析】本题考查了作图复杂作图：正确理解三角形的角平分线、中线和高是解决问题的关键．
利用基本作图，过点作的垂线即可；
利用基本作图作的平分线即可；
作的垂直平分线得到的中点，然后连接即可．
19.【答案】证明：是的角平分线，，，
，
点在的垂直平分线上，
在和中，
，
≌，
，
点在的垂直平分线上，
垂直平分；

【解析】证明：是的角平分线，，，
，
点在的垂直平分线上，
在和中，
，
≌，
，
点在的垂直平分线上，
垂直平分；
解：，
，
，，
，
；
，
．
根据角平分线的性质可得，进而证明≌，进而证明，即可求解；
根据等面积法可得，利用含角的直角三角形的性质，即可求解的长度．
本题考查角平分线的性质及线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20.【答案】解：、分别平分和，
，
，，
；
过作于点，于，于，连接，如图，
，
，
，
和的平分线相交于点，
，
，
又的周长为，
．
【解析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形内角和定理及三角形面积公式．
利用角平分线的定义得到，，然后根据三角形内角和计算的度数；
过作于点，于，于，连接，如图，先利用含度的直角三角形三边的关系得到，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．
21.【答案】解：如图直线为所求
如图射线为所求

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
22.【答案】见解答；
，，，，有一个内角为直角的平行四边形为矩形
【解析】如图，为所作；
证明：四边形是平行四边形，
，．
．
平分，
，
，
，
，
．
且，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形有一个内角为直角的平行四边形为矩形．
故答案为：，，，，有一个内角为直角的平行四边形为矩形．
利用基本作图作的平分线即可；
先根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，再证明得到，所以，于是可判断四边形为平行四边形．然后利用得到，则根据矩形的判定方法得到结论．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、平行四边形的性质和矩形的判定．
23.【答案】证明：如图所示，过点作 于，
是 的中点，
，
平分 ， ，
，
，
又 ，
是 的平分线．

【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定，过点作于，先由线段中点的定义得到，再由角平分线的性质得到，则，据此根据角平分线的判定定理证明即可．
【详解】证明：如图所示，过点作于，
是的中点，
，
平分，，
，
，
又，
是的平分线．
24.【答案】解：作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点．
如图，点即为所求．
．
【解析】本题考查作角平分线、线段垂直平分线的基本作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
作的平分线，作线段的垂直平分线，交点即点．
25.【答案】解：如图点即为所求；
如图，点点即为所求；
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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