15.4等腰三角形 沪科版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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15.4等腰三角形沪科版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个等腰三角形的两条边分别是厘米、厘米，它的周长是厘米
A. B. C. 或 D. 无法确定
2.如图，中，，平分，则下列结论不一定正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.已知等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为( )
A. B. C. 或 D.
5.等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是( )
A. 或 B. C. 或 D.
6.若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是 ．
A. B. C. 或 D. 不能确定
7.两个等腰三角形，若顶角和底边对应相等，则两个等腰三角形全等，其理由是( )
A. B. C. D. 或
8.将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示．若，，则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，点，分别在，的延长线上，且，则的度数是( )
A. B. C. D.
10.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量，则树高为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
11.下列三角形：有两个角等于的三角形；有一个角等于的等腰三角形；三个外角每个顶点处各取一个外角都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12.如图，厂房屋顶外框是等腰三角形，其中，是的中线，且，米，则米．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.等腰三角形的周长为，腰的取值范围是 ．
14.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是 ．
15.已知等腰的周长是，底边长，则腰长 ．
16.如图，等边周长是，是的平分线，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
中，，中线将周长分成和两部分求三边．
18.本小题分
如图，在中，，，线段的垂直平分线交于，求证：．
19.本小题分
如图，中，，，的垂直平分线交于，交于求证：．
20.本小题分
如图，在中，点是边的中点，，，点、为垂足连结，若是等边三角形．
求证：；
的度数是______．
21.本小题分
如图，为等边三角形，，为上一点，过点作交于点，作交于点，连接，当时，求线段的长．
22.本小题分
如图，中，，，点是边上的一点，连接，以为边向下作等边，过点作，垂足为，连接．
求证：≌；
若，，求的长．
23.本小题分
如图，把一个含有角的直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与延长线上的点重合，其中点的对应点为点，连接．
是______三角形，的度数是______；
若，求的面积．
24.本小题分
如图，已知中，，为的中点，，，垂足分别是点、，求证：．
25.本小题分
如图，中，，，是的垂直平分线，交于，交于，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】考点：考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线相互重合是解题的关键．
3.【答案】
【解析】考点：考查的是等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】解：根据等边三角形的判定可知：有两个角等于的三角形是等边三角形，故可以判定为等边三角形；
根据等边三角形的判定可知：有一个角等于的等腰三角形，故可以判定为等边三角形；
三角形的外角和等于，
又三角形的三个外角都相等，
这个三角形的三个外角都等于，
这个三角形的三个内角都等于，
这个三角形是等边三角形，
三个外角每个顶点处各取一个外角都相等的三角形是等边三角形，故可以判定为等边三角形；
一腰上的中线也是这条腰上的高，
这条线是腰的垂直平分线，
腰与底相等，
又腰与底相等的等腰三角形是等边三角形，
一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形，故可以判定为等边三角形．
综上所述：都能判定为等边三角形，共有个．
故选：．
根据等边三角形的判定定理，对题目中给出的四个三角形逐一进行甄别即可得出答案．
此题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，是的中线，
，即，
在直角三角形中，，米，
米，
故选：．
根据“等腰三角形三线合一”得到，结合，可得，即可求解．
本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质，含度角的直角三角形，解答本题的关键要明确：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
13.【答案】
【解析】解：底边是，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得：解得．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】、、或、、
【解析】略
18.【答案】证明：如图，连接．
是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】提示：连接
19.【答案】证明：如图，连接，
，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
．
【解析】连接，根据等腰三角形两底角相等求出，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角求出，再求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半证明即可．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质是解题的关键．
20.【答案】证明见解析；
．
【解析】解：是等边三角形，
，
，，
，
点是边的中点，
，
≌，
，
，
故答案为：；
是等边三角形，
，
，，
，
，
．
由是等边三角形，得到，，由，，得到，进而得到，，由点是边的中点，得到，进而得到≌，，由，即可求解，
由是等边三角形，得到，结合，得到，根据三角形内角和，即可求解，
本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等角对等边，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
21.【答案】．
【解析】解：为等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
设，则，，
，
，
，
，
，即．
根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，设，根据等边三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是含度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，熟记在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
22.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：，，
，
，
≌，
，，
，
．
【解析】由“”可证≌；
由直角三角形的性质可求，由全等三角形的性质可得，，由勾股定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
23.【答案】等腰，．
的面积为
【解析】解：由旋转得，，
是等腰三角形，，
点的对应点在的延长线上，
，
，
故答案为：等腰，．
作于点，则，
，，
，
，
的面积为．
由旋转得，，则是等腰三角形，，由点的对应点在的延长线上，得，求得，于是得到问题的答案．
作于点，则，由，，得，则．
此题重点考查旋转的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边一半、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
24.【答案】证明：连接，
，为的中点，
平分，
又，，
．

【解析】本题考查等腰三角形的性质和角平分线的性质，先根据等腰三角形的三线合一得到平分，然后根据角平分线的性质即可得到结论．
25.【答案】证明：连接，
，，
，
为的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了线段垂直平分线，等腰三角形性质，三角形内角和定理，含度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
连接，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据线段的垂直平分线的性质得出，推出，求出，根据含度角的直角三角形性质求出即可．
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