13.2 命题与证明 沪科版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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13.2 命题与证明沪科版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
2.下面说法正确的个数有( )
三条线段组成的图形叫三角形；如果，那么是直角三角形；三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；三角形的一个外角大于任何一个内角．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.下列命题中错误的是( )
A. 三角形任意两边之和大于第三边 B. 全等三角形的对应边相等
C. 三角形的一个外角等于任意两个内角之和 D. 全等三角形的对应角相等
4.如图，在正方形中，是对角线的中点，为正方形内的一点，连接，，使得，延长与的角平分线交于点若，连接，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5.一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，直角三角板中，，，已知斜边的端点，分别在相互垂直的射线，上滑动，连接给出下列结论：
若，两点关于对称，则；
，两点距离的最大值为；
若平分，则；
在滑动过程中，始终等于．
其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
7.如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，直线，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
9.下列说法不正确的是( )
A. 三角形的三个内角之和为 B. 三角形的内心在三角形内部
C. 同旁内角互补 D. 直角三角形的两个锐角互余
10.如图，在中，，分别平分和，的延长线与的外角的平分线交于点以下结论：，，，其中正确的是( )
A. B. C. D.
11.将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
12.形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图所示的网格是正方形网格，则________点，，是网格线交点
14.如图，，，则 ______．
15.如图所示， ．
16.如图，的度数是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
我们可以应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”探索边形的内角和。
探索：在图中探索与的关系，并证明你的结论；
应用：在图中运用所得的结论，证明四边形的内角和为；
推广：在图中将的思路延伸，说明边形的内角和为。
18.本小题分
如图，直线，的直角顶点在直线上，顶点在直线上，交于点，，，求的度数．
19.本小题分
如图，是的外角的平分线，若，，求的度数．
20.本小题分
如图，是的外角，与的角平分线交于点．
若，，则______， ________ ；
探索与的数量关系，并说明理由；若，，求的度数
21.本小题分
如图，每个小正方形的边长均为．
在图中以格点为顶点，画出一个面积为的直角三角形；
在图中以格点为顶点，画出一个面积为的正方形．
22.本小题分
如图，已知点，在直线上，点在线段上，与交于点，，．
求证：；
试判断与之间的数量关系，并说明理由；
若，，求的度数．
23.本小题分
如图，在中，是的平分线，，，求的度数．
24.本小题分
如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点．
求的度数；
过点作，交的延长线于点，求的度数．
25.本小题分
如图，在中，于点，平分若，．
求的度数；
若为线段上的任意一点，当为直角三角形时，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】解：由题知，
因为三角形是由三条线段首尾顺次连接，组成的封闭图形，
所以的说法错误．
由及得，
，
则，
所以，
显然此三角形不是直角三角形，
所以的说法错误．
因为三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部，
所以的说法正确．
因为锐角三角形的三条高都在三角形内部，
直角三角形的两条高为直角边，第三条高在三角形内部，
钝角三角形的两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，
所以的说法正确．
因为钝角三角形中，钝角相邻的外角是锐角，比钝角小，
所以的说法错误．
故选：．
根据直角三角形的性质及三角形角平分线、中线和高的定义，对所给说法依次进行判断即可．
本题主要考查了直角三角形的性质、三角形的外角性质及三角形的角平分线、中线和高，熟知直角三角形的性质及三角形的外角性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据三角形外角的性质、三角形的三边关系、全等三角形的性质判断如下：
A、三角形任意两边之和大于第三边，是正确的；
B、全等三角形的对应边相等，是正确的；
C、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，是错误的；
D、全等三角形的对应角相等，是正确的．
故选：．
根据三角形外角的性质、三角形的三边关系、全等三角形的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4.【答案】
【解析】解：连接，如图，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
是的角平分线，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
是对角线的中点，
，
，
，即的度数为，
故选：．
连接，先证明≌，得到，从而得，继而，然后利用直角 三角形的性质，得出，从而有，然后由三角形外角的性质可求解．
本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如下图：
三角板是等腰直角三角形，三角板是含角的直角三角形，
，，，
是的外角，与是对顶角，
，
是的外角，
根据三角形外角的性质得，．
则图中的度数为．
故选：．
结合三角板的特征得到，，，再由是的外角、是的外角即可得解．
本题考查的是三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角和．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，，
若、两点关于对称，如图，
为的垂直平分线，
，故正确；
如图，取的中点为，连接、．
由条件可知．
当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，故不正确；
如图，当，
与相互平分，但不成立，故不正确；
延长至点，如图，
，
，
．
同理：，，
，
，故正确．
故选：．
在中，由，，，求出，由轴对称的性质得，可判断正确；取的中点为，连接、，由三角形三边关系可知当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，可判断不正确；当，则四边形是矩形，满足与相互平分，但不成立，可判断不正确；
本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【解答】
解：依题意，，
，
，
，
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角定理是解答此题的关键．首先根据平行线的性质得，再由三角形的外角定理可得的度数．
【解答】
解：，，
，
又，
．
9.【答案】
【解析】解：、、中的说法正确，故A、、不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故C符合题意．
故选：．
根据三角形内角和定理、三角形的内心的概念、同旁内角的定义、直角三角形的性质，即可判断．
本题考查三角形内角和定理、三角形的内心、同旁内角、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由题意，平分，平分，
，．
根据三角形外角性质，，，
，即，故正确．
由，根据三角形内角和定理，，
又，
，
不一定是，
，故错误．
、分别平分和，
，．
根据三角形内角和定理，．
又，
，故正确．
由知，由知．
．
不一定是，
，故错误．
综上，正确的是．
故选：．
依据题意，由平分，平分，可得，，然后结合三角形的外角的性质及三角形内角和定理，即可逐个判断得解．
本题主要考查考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解题时要熟练掌握并能结合图形列出关系式是关键．
11.【答案】
【解析】解：如图所示，，
根据题意，对顶角相等，
在中，，
，
所以的度数是，
故选：．
根据题意，，中，，根据对顶角相等即可求解．
本题考查了直角三角形的性质，对顶角、邻补角，理解图示，掌握角的和差计算是解题的关键．
12.【答案】
【解析】连接，延长到，根据三角形的外角的性质得出，继而得出，代入已知数据，即可求解．
【详解】解：连接，延长到．
，
，
，，，
故选：
13.【答案】
【解析】解：如图，延长到，连接，
设小正方形的边长为，
则，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
．
14.【答案】
【解析】解：由条件可知，
，，
，
故答案为：．
根据，即可求解．
本题考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
度
【解析】【分析】根据三角形外角的性质得出，，进而在四边形中，根据四边形内角和即可求解．
【详解】解：如图所示，，，
在四边形中，，故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形内角和定理，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
17.【答案】【小题】
解：数量关系：。
证明：因为与分别为的两个外角，
所以，，
所以。
因为三角形的内角和为，
所以，
所以。
【小题】
证明：由知。
在中，，
所以，
所以，
即四边形的内角和为。
【小题】
由知，三角形剪去一个角，变为四边形，其内角和变为。
依次类推，四边形剪去一个内角变为五边形，
其内角和为，
，
边形剪去一个内角变为边形，其内角和为。
故边形的内角和为。

【解析】 见答案
见答案
见答案
18.【答案】解：，，．
在中，，，
．
．

【解析】略
19.【答案】解：，是的外角的平分线，
，
，，
．
【解析】根据角平分线定义求出，根据三角形的外角性质得出，即可求出答案．
本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，能根据三角形的外角性质得出是解此题的关键．
20.【答案】解：；；
与的数量关系是．
理由：平分，
，
平分，
，
设与交于点，
，
，
，
是的外角，
，
，
；
如图，与交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的内角和定理以及外角的性质问题，平行线的性质，角平分线定义，能够掌握并熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．
由三角形内角和定理可求，求出和，再由三角形外角的性质即可求出结论；
与的数量关系是设与交于点，由三角形内角和可得，进而由角平分线定义得出，再根据三角形外角的性质得出，代入可得，则，即可得出结论；
与交于点，由，证得，由，证得，得出，进而证得，即可证得结论．
【解答】
解：，，
，
与的角平分线交于点，
，，
，
故答案为：；；
见答案；
见答案．
21.【答案】【小题】
解： 答案不唯一，如
是以格点为顶点，面积为的直角三角形．
【小题】
位置不唯一，如
正方形是以格点为顶点，面积为的正方形．

【解析】 略
略
22.【答案】证明：，
；
解：与之间的数量关系是．
理由：，
，
，
，
，
；
解：，，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义．
根据同位角相等，两直线平行，可证；
根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得与之间的数量关系；
根据对顶角相等可求，根据三角形外角的性质可求，根据平行线的性质可得，，再根据平角的定义可求的度数．
23.【答案】解：，
．
是的平分线，
，
．

【解析】略
24.【答案】解：在中，，，
，
．
是的平分线，
；
，，
．
，
．
【解析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
先根据直角三角形两锐角互余求出，由邻补角定义得出再根据角平分线定义即可求出；
先根据三角形外角的性质得出，再根据平行线的性质即可求出．
25.【答案】【小题】
平分，，，，
【小题】
当时，当时，，综上所述，的度数为或

【解析】 略
略
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