3.1方程 沪科版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.1方程沪科版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若关于的方程的解是，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
2.根据等式的性质，下列变形正确的是( )
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么
3.由可以得到用表示的式子是( )
A. B. C. D.
4.下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.根据等式的性质，下列变形正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.下列变形中，不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.根据等式的性质，下列各式变形正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8.下列等式变形正确的是( )
A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得
9.已知实数、、满足，则下列结论一定正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. ，，则
D. 若且，，则
10.下列等式的性质的运用中，错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.下列解方程变形错误的是( )
A. 由得
B. 由得
C. 由得
D. 由去分母得
12.对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
若是一元二次方程的根，则
其中正确的是( )
A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 只有
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.小红在解关于的方程：时，误将方程中的“”看成了“”，求得方程的解为，则原方程的解为 ．
14.若，则 ．
15.已知，．
若，则与的等量关系是______．
若，则 ______用含，的代数式表示
16.已知方程，用含的代数式表示，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在一次美化校园活动中，先安排人去拔草，人去植树，后又增派人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的倍．问支援拔草和植树的分别有多少人只列出方程即可
18.本小题分
阅读下列材料：
问题：怎样将表示成分数的形式？
小明的探究过程如下：
设
根据以上信息，回答下列问题：
从步骤到步骤，变形的依据是 ；从步骤到步骤，变形的依据是 ．
仿照上述探求过程，请你将表示成分数的形式．
19.本小题分
核心素养我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式例如：图可以得到，请解答下列问题．
观察图，写出图中所表示的等式______；
观察图，写出图中阴影部分所表示的等式______；
请利用中得到的结论，解决下列问题：
若图中的，满足，，求的值．
20.本小题分
教材“阅读与思考”变式根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若，则_________；
若，则_________；
若，则_________．这种比较大小的方法叫“作差比较法”．
请运用此方法比较下列式子的大小：与；
与．
21.本小题分
已知实数，，满足，．
求证：；
若，求的值．
22.本小题分
下面是小虎同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题．
解：去分母，得第一步
去括号，得第二步
移项，得第三步
合并同类项，得第四步
系数化为，得第五步
问题：以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的，第二步是依据______运算律进行变形的；
问题：第______步开始出现错误的，这一步错误的原因是______；
问题：请写出该方程的正确解答过程．
23.本小题分
在解方程时，小丽和小明同学的部分过程如下：
小丽的解法： 去分母，得 小明的解法： 方程变形为
请选择合适的依据填空：处应为________，处应为________；
A.分数的基本性质，即分数的分子和分母都乘或除以同一个不为的数，分数的值不变；
B.等式的基本性质，即等式两边都乘或除以同一个数除数不能为，所得的结果仍是等式．
请你任选其中一种解法写出完整解题过程．
24.本小题分
一次函数恒过定点．
若一次函数还经过点，求的表达式．
现有另一个一次函数，若点和点分别在一次函数和的图象上，求证：．
25.本小题分
已知代数式是关于的一次多项式．
若关于的方程的解是，求的值
当代数式的值是且时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】解：如果，那么，选项正确符合题意；
B.如果，那么，选项错误不符合题意；
C.如果，那么，选项错误不符合题意；
D.如果，那么，选项错误不符合题意；
故选：．
等式两边同时加减同一个数式子，结果仍相等；等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等；根据等式的性质，化简求值即可．
本题考查了等式的性质，熟记性质是解题关键．
3.【答案】
【解析】【分析】本题考查了等式的性质、去分母，每一项同乘公约数移项即可求得结果，正确化简是解题的关键．
【详解】解：，
同乘可得：，
移项可得：，
同时除以可得：，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：若，必须规定，则，原变形错误，故此选项符合题意；
B.若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
C.若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
D.若，则，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：．
根据等式的性质进行逐一判断即可．
本题考查了等式的性质，解决本题的关键是掌握等式的性质．
5.【答案】
【解析】解：，
，
不正确，不符合题意；
，
，
不正确，不符合题意；
，
当时，，当时，不一定成立，
不正确，不符合题意；
，
，
D正确，符合题意．
故选：．
A.两边同时开平方，则与相等或互为相反数；
B.根据等式的基本性质计算即可；
根据等式的基本性质计算即可．
本题考查等式的性质，掌握等式的两个基本性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：若，则，故A选项正确，
B.若，则，故 B选项正确，
C.若，则 ，故C选项正确，
D.当时，与无意义，故D选项错误，
故选：．
根据等式的性质即可求出答案．
本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质进行判断．
由等式的性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．
【详解】解：、若，则，正确，符合题意；
B、若，则错误，因为时，等式不成立，不符合题意；
C、若，则错误，因为时，等式不成立，不符合题意；
D、若，则错误，应为，不符合题意，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】此题考查了等式的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．对各项中方程进行变形，得到结果，即可做出判断．
【详解】解：、由，得到，错误；
B、由，得，错误；
C、由，得，错误；
D、由，得，正确，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由，可得：，
，，
，故选项A错误；
B.由，可得：，
，
，
，
，
，
，故选项B错误；
C.，，，
，
，
当时，，
当时，，故选项C错误；
D.，
，即，
，
，
又，
，
，故选项D正确．
故选：．
根据等式的性质，完全平方公式，分式的加减运算进行解答即可．
本题考查了等式的性质，完全平方公式，分式的加减运算，掌握等式的性质，完全平方公式，分式的加减运算是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题关键．
根据等式的性质逐项分析，可得答案．
【解答】
解：、等于零时，除以无意义，原变形错误，故A符合题意；
B、两边都乘以，结果仍得等式，原变形正确，故B不符合题意；
C、两边都加上，结果仍得等式，原变形正确，故C不符合题意；
D、两边都除以，结果仍得等式，原变形正确，故D不符合题意．
11.【答案】
【解析】解：、原方程两边同时乘得：，故选项A不符合题意；
B、原方程去括号得：，故选项B不符合题意；
C、原方程移项得：，故选项C不符合题意；
D、原方程去分母并去括号得：，故选项D符合题意；
故选：．
根据一元一次方程的解法判断即可．
本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：若，即，
则是原方程的解，即方程至少有一个根，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：，
故正确；
方程有两个不相等的实根，
，
又方程的判别式为，
，
方程有两个不相等的实数根，
故正确；
是一元二次方程的一个根，
，
，
或，
故错误；
若是方程的根，
或，
或，
，
故正确．
故选：．
根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可．
本题主要考查根与系数的关系和等式性质，根的判别式，正确根据相关知识点进行计算是解题关键．
13.【答案】
【解析】把代入，求出的值，再把的值代入原方程求解即可．
【解答】解：把代入，
得，
解得，
故原方程为，
，
解得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等式的性质，熟练利用等式的性质得出是解题关键．首先将常数项移项，根据等式的性质方程两边同除以，进而得出答案．
【解答】
解：因为，
所以，
即．
故答案为．
15.【答案】；
．
【解析】解：，，
，，
，
，
，，
，
即，
故答案为：；
由知，
即，
，
又，
即，
，
，
，
即，
，
故答案为：．
根据题意，得到，结合已知条件中得到和的值，代入即可得到结果；
由和条件中，用和表示和，即可得到结果．
本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】根据等式的性质变形解答即可．
本题考查了等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故．
故答案为：．
17.【答案】设支援拔草的有人，．
【解析】略
18.【答案】【小题】
等式的性质
等式的性质
【小题】
设， ， ， ，， ．

【解析】 略
略
19.【答案】；
；
．
【解析】图整体上是长为，宽为的长方形，因此面积为，拼成图八个部分的面积和为，
所以有，
故答案为：；
图中阴影部分可以看作两个正方形的面积和，即，图中阴影部分也可以看作大正方形面积与空白部分的面积差，即，
所以有，
故答案为：；
，，
，而，
．
故答案为：．
用两种方法分别用代数式表示图的面积即可；
用两种方法分别用代数式表示图中阴影部分的面积即可；
利用进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
20.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
【小题】
解：
，
因为，
所以
【小题】
解：，
当时，，
故；
当时，，
故；
当时，，
故

【解析】 【分析】
本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的基本性质进行解答即可求解．
【解答】
解：，
，
．
【分析】
本题主要考查了等式的性质，根据等式的基本性质进行解答即可求解．
【解答】
解：，
，
．
【分析】
此题考查了不等式的性质，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．
【解答】
解：若，则
此题考查了整式的加减、不等式的性质，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．
首先求出两个式子的差为，然后根据即可求解．
此题考查了整式的加减、不等式的性质，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．
首先求出两个式子的差为，然后分三种情况进行求解即可．
21.【答案】证明过程见解析；
．
【解析】，
，
把代入，得，
，
，
；
由可知，，
，
，
去括号，得，即，
．
根据题意，可得，结合已知得到，由不等式的性质即可证明；
根据，，可得出，即，开平方即可得出答案．
本题考查了不等式的性质，等式的性质，平方根，掌握不等式的性质，等式的性质是解题的关键．
22.【答案】解：问题：等式的性质，乘法分配律；
问题：三，移项没变号；
问题：
解：去分母，得第一步
去括号，得第二步
移项，得第三步
合并同类项，得第四步
系数化为，得第五步
【解析】问题：根据等式两边同时乘上，以及结合乘法的分配律的性质，即可作答；
第一步是等式两边同时乘上，
第一步是依据等式的性质进行变形的；
第二步去括号过程中，括号前的数值与括号每项相乘，
故答案为：等式的性质，乘法分配律；
问题：观察移项前后符号的变化情况，即可作答；
观察式子，第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没变号；
故答案为：三，移项没变号；
问题：结合解一元一次方程的过程，先去分母再去括号，移项，合并同类项，系数化，即可作答；
详解见答案．
本题考查了解一元一次方程，正确进行计算是解题关键．
23.【答案】解：；；
法一：按小丽的解法，
去分母，得，
移项，合并得，
系数化为，得；
法二：按小明的解法，
方程变形为，
去分母，得，
移项，合并得，
系数化为，得．
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的解法，等式基本性质和分数基本性质等知识．
根据等式基本性质和分数基本性质，解答即可；
根据解一元一次方程的步骤求解即可．【解答】
解：小丽的解法是利用等式两边同时乘以一个数，符合等式基本性质，故处应为；
小明的解法是利用分数的分子和分母同时乘以一个数，符合分数基本性质，故处应为；
见答案．
24.【答案】解：一次函数经过点和点，
解得：
的表达式为；
证明：一次函数恒过定点，
，
，
的表达式为，
，
，
点在一次函数的图象上，
，
点在一次函数的图象上，
，
，即，
，
．
【解析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等式的基本性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．
由于一次函数经过的点和点，则利用待定系数法即可求得的表达式；
根据一次函数图象上点的坐标特征可得，由此得，，再根据一次函数图象上点的坐标特征可得，，进而可得，结合，根据等式的基本性质即可证得结论．
25.【答案】解：代数式是关于的一次多项式
把，代入方程
，
解得
根据题意，把，代入
，
解得
【解析】此题主要考查多项式及方程的解
根据代数式是关于的一次多项式确定，再把，代入方程求解
根据题意，把，代入求解
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