3.6三元一次方程组及其解法 沪科版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.6三元一次方程组及其解法沪科版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某校购买体育器材，第一次购买篮球个，排球个，足球个，共花费元，第二次又购买同样的篮球个，排球个，足球个，共花费元，则购买同样的篮球、排球、足球各个，共需花费( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
2.用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵矩阵表示，，三元一次方程组，若为定值，则与关系( )
A. B. C. D.
3.已知方程组则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知实数，，满足，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.如图，在某张桌子上放相同的木块，，，则桌子的高度是( )
A. B. C. D.
6.在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个元，乙种奖品每个元，丙种奖品每个元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知三元一次方程组，则( )
A. B. C. D.
8.方程组的解为( )
A. B. C. D.
9.已知，，满足，，则关于的一元二次方程的解的情况为( )
A. ， B. ，
C. 方程的解与，的取值有关 D. 方程的解与，，的取值有关
10.下列说法：
已知，，满足，则；
已知，，是正整数，，且，则，，；
若实数，，满足，，则代数式的值可以是．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
11.已知三个实数，，，满足，，，则( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
12.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文加密，接收方由密文明文解密已知加密规则：明文，，对应密文，，如果接收方收到密文，，，则解密得到的明文为．
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知，且，则的值为 ．
14.有甲、乙、丙三种货物如果买甲件，乙件，丙件，共花去元；如果买甲件，乙件，丙件，共花去元现在买甲、乙、丙各件，需要花 元
15.利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度首先按如图所示的方式放置，再将两块木块按如图所示的方式放置测量的数据如图所示，则桌子的高度是 ．
16.九宫格填数作为一种益智游戏，深受数学爱好者的喜爱在如下所示的每一个方格中填入这个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的个数字之和相等，则图中的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在等式中，当时，；当时，；当时，求当时，的值．
18.本小题分
某农场名职工耕种公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 人 万元
棉花 人 万元
蔬菜 人 万元
已知该农场计划投入设备资金万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用
19.本小题分
已知，且，求的值．
20.本小题分
为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，．
当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？
当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？
21.本小题分
阅读感悟：
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足，，求和的值．
某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？
22.本小题分
解方程组：．
23.本小题分
关于的代数式，当时，其值为；当时，其值为；当时，其值为；
求，，的值
当时，求代数式的值．
24.本小题分
为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，．
当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？
当接收方收到一组密码为，，时，则发送方发出的密码是多少？
25.本小题分
第二波疫情爆发后，某公司购买了吨物资打算运往河北支援，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆汽车的运载能力和运费如表所示：假设每辆车均满载
车型 甲 乙 丙
汽车运载量吨辆
汽车运费元辆
若该公司决定用甲、乙、丙三种汽车共辆同时参与运送，请你写出所有可能的运输方案甲、乙、丙三种车辆均要参与运送
在第问的基础上，请再帮助该集团找出运费最省的方案，并计算最省运费．
答案和解析
1.【答案】
【解析】本题考查了三元一次方程组的应用．设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元，依题意得，，然后作答即可．
【详解】解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元，依题意得，
由得：，
由得：，
则购买同样的篮球、排球、足球各个，共需花费元，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由题意得：，
得：，
为定值，
．
故选：．
根据矩阵定义列方程组可解答．
本题考查了解三元一次方程组，二元一次方程组的定义，理解题意，根据新定义解答问题是此题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．加减消元，去掉，即可解答．
【解答】
解：，
得：，
解得．
故选：．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】解：设木块的长为，宽为，桌子的高度为，
由题意得：，
由得：，
由得：，
即，
解得；
即桌子的高度是．
故选A．
可设木块的长为，宽为，桌子的高度为，根据第一个图可得：桌子的高度木块的宽木块的长，由第二个图可得：桌子的高度木块的长木块的宽，由此将问题转化为解三元一次方程组的问题．
此题主要考查了三元一次方程组的应用和解法，解决问题的关键是根据图形中的信息，正确列出三元一次方程组，有一定难度，注意掌握方程的解法．
6.【答案】
【解析】解：设购买、、三种奖品分别为，，个，
根据题意列方程得，
即，
由题意得，，均为正整数．
当时，，
，
分别取，，，，，，，共种情况时，为正整数；
当时，，
，
可以分别取，，，，，共种情况，为正整数；
综上所述：共有种购买方案，
综上所述，只有选项D正确，符合题意．
故选：．
设购买、、三种奖品分别为，，个，根据题意列方程得，化简后根据，，均为正整数，结合种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．
本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：三个方程相加得：，
；
故选：．
利用加减消元法进行求解即可．
本题考查解三元一次方程组，熟练掌握消元法是关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解三元一次方程组的解法，解此题的关键是能把三元一次方程组转化成二元一次方程组，难度适中． 得出，由和组成一个二元一次方程组，求出、的值，把代入求出即可．
【解答】
解：
得出，
和建立方程组得
得，
解得，
把代入得，
把代入得，
方程组的解为．
故选．
9.【答案】
【解析】解：，，
，，
得，
将代入得：，
，
将，代入得：，
，
，
，
解得，，
故选：．
根据已知条件求出、、之间的关系，代入方程即可解答．
本题考查了一元二次方程的概念及利用因式分解法解一元二次方程，理解一元二次方程的概念是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
由非负数的性质可得，，，
，
故正确，
，
，，是正整数，
，都是整数，
，
，
，
而只能分解成和的乘积，
当时，
解得：，，或，，，
当时，
解得：，，
，
，与矛盾，不符合题意，舍去，
故错误，
实数，，满足，，
两方程相减得：，
当，均大于或等于时，，
即，
，
则，故不成立，
由条件可知，故不成立，
当，都小于时，，不符合题意，
故错误．
故正确的为：，共个，
故选：．
利用完全平方公式及平方的非负性判定即可，利用平方差公式转化成方程组，判定方程组的整数解即可，两方程相减得，根据，得取值判断即可．
本题考查了完全平方公式及平方的非负性，二次根式的性质，不定方程的解，熟练掌握以上知识点是关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意，得，
把代入，得，
解得：，
把代入，得．
，
，
，
，．
故选：．
根据已知，解方程组，可得，，再根据，即可得出，．
本题考查了不等式的性质，解三元一次方程组，掌握不等式的性质，解三元一次方程组的方法是解题的关键．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】方法一：由题意，得解得
所以．
方法二：设，则，，．
分别代入，得，解得，
所以，，，所以．
14.【答案】
【解析】解：设购买甲、乙、丙各件分别需要，，元，
根据意列三元一次方程组得：
，
，得：；
即现在买甲、乙、丙各件，需要花元；
故答案为：．
设购买甲、乙、丙各件分别需要，，元，根据题意，列出三元一次方程组进行求解即可．
本题考查三元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式．
15.【答案】
【解析】解：设桌子的高度为，长方体的长为，宽为，
根据题意列三元一次方程组得：，
利用消元法，得：，
解得，，
所以桌子的高度为，
故答案为：．
设桌子的高度为，长方体的长为，宽为，根据图中两种测量方式测出的数据，可列出三元一次方程组，再利用消元法解之即可得出结论．
本题考查了三元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式．
16.【答案】
【解析】解：根据题意列三元一次方程组可得，
，
解得，
即使得每行、每列以及每条对角线上的个数字之和相等，图中的值为，
故答案为：．
利用九宫格的规则列出三元一次方程组求解即可．
本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是找准正确的等量关系，列出三元一次方程组．
17.【答案】解：根据题意，得 解得
所以
当时，，
即当时，的值是

【解析】略
18.【答案】解：设种植水稻公顷，棉花公顷，蔬菜公顷，
由题意得解得
答：种植水稻公顷，棉花公顷，蔬菜公顷．

【解析】略
19.【答案】解：由已知，得 解得
由，得，解得

【解析】略
20.【答案】【小题】
解：由题意，得答：接收方收到的密码是，，．
【小题】
由题意，得解得答：发送方发出的密码是，，．

【解析】 略
略
21.【答案】，；
购买 支铅笔、块橡皮．本日记本共需元
【解析】实数、满足，，
得，
得，
即的值为，的值为；
设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
依题意列二元一次方程组得：，
由可得，
，
答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元．
根据整体代入的思想，即可求得的值，由即可求得的值；
设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据题意列出方程组，根据整体的思想由可得，即可求解．
本题考查了三元一次方程组的应用，掌握加减消元法是解题的关键．
22.【答案】．
【解析】解：，
得，
把和组成方程组得，
解此二元一次方程组得，
把，代入得，
解得，
原方程组得解为．
利用消元法先把三元一次方程组变形为二元一次方程组，再解二元一次方程组即可得解．
本题主要考查了解三元一次方程组，把三元一次方程组通过消元法化为二元一次方程组是解题的关键．
23.【答案】解：由题意得： ，
得： ，
得： ，
得： ，
得： ，
解得： ，
把 代入得： ，
解得： ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
原方程组的解为： ，
当 时， ，
的值为．

【解析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．
根据题意列出关于，，的三元一次方程组，进行计算即可解答；
根据中算出的，，，得到代数式，然后令 代入计算即可．
24.【答案】解：由题意，得解得
答：接收方收到的密码是，，；
由题意，得解得
答：发送方发出的密码是，，．
【解析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，根据密文与明文之间的关系列出方程组．
根据题意可得方程组，再解方程组即可．
根据题意可得方程组，再解方程组即可．
25.【答案】解：
设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，由题意得：
消去得：，，
甲、乙、丙三种车型都参与运送，
、、是正整数，且小于，得，，，
解得：
有三种运送方案：
甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆；
甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆；
甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆；
三种方案的运费分别是：
元，
元，
元，
，
甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，运费最省，最省运费为元．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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