22.2二次函数与一元二次方程达标测试卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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22.2二次函数与一元二次方程达标测试卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．若，则当时，x的取值范围是（　　）
A． B． 或 C． 或 D．
2．抛物线与x轴交点的横坐标是（ ）
A．2， B．，3 C．2，3 D．，
3．已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表：
判断方程的一个解的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知二次函数的图象与轴有交点，对称轴位于轴左侧，则当关于，的代数式有最小值时，该二次函数的顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．下列关于抛物线的描述，正确的是（　　）
A．开口向上
B．与x轴没有交点
C．对称轴为直线
D．一定经过三、四两个象限
6．已知二次函数，点在其第一象限的图象上，点在其第二象限的图象上，则关于的一元二次方程的两根，判断正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．与的符号都不确定
7．二次函数，的图象与x轴交点的横坐标为m，n，且，则a，b，m，n的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　）
A． B． C． D．
9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
①； ②（m为任意实数）； ③；
④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
10．若抛物线的顶点在x轴上，则k的值为 ．
11．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：
x 0 1 2 3
y 5 0
则方程的所有解的和是 ．
12．如图，若的部分图象如图所示，则关于的方程的另一个解为 ．
13．关于x的二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则实数m的值为 ．
14．二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解为 ．
15．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，则一元二次方程的解为 ．
16．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点，那么与的面积比值是 ．
17．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且过点，连接．
（1）点A的坐标为 ；
（2）若点是直线下方抛物线对称轴上的一点，且，则点的坐标为 ．
三、解答题
18．如图，抛物线的顶点，且经过原点O；
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴的另一个交点为P，求点P的坐标．
19．在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．
(1)若为抛物线上一点，求的值；
(2)若存在，使得，求的取值范围．
20．已知抛物线过点和点．抛物线的对称轴为直线．
(1)当时，比较的大小；
(2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
21．如图，抛物线和直线交于A，B两点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)根据图象，写出当x取何值时，．
22．如图，抛物线与轴交于和两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______．
23．对于平面直角坐标系中的点，若x，y満足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”．
(1)下列是平衡点的是______；(填序号)
①， ② ③ ④
(2)已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标；
(3)已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围．
《22.2二次函数与一元二次方程达标测试卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A D C D A A D B
1．B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据交点确定不等式的解集，此类题目熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
令求出二次函数图象与x轴的交点坐标，然后根据二次函数的性质写出x的取值范围即可．
【详解】解：∵
∴函数的开口方向向上，
令，则，
解得，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为，
∵，函数的开口方向向上，
∴x的取值范围是或，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解此题的关键．
令，则，计算即可得到答案．
【详解】解：令，则，
解得：或，
∴抛物线与x轴交点的横坐标是2，，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系．
仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解．
【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，
即这个数是的一个根，
的一个解的取值范围为．
故选：．
4．C
【分析】根据题意得，，则，而，结合二次函数的性质即可求解．
【详解】解：二次函数的图象与轴有交点，
即一元二次方程有实数根，
，
，
对称轴位于轴左侧，
，
，
，当时，等号成立，
又，
代数式取得最小值时，，此时，
解得（舍去正值），
当关于，的代数式有最小值时，，，
此时抛物线的表达式为，顶点为．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是抛物线与轴的交点问题、二次函数的图象与性质，解题关键是根据二次函数与一元二次方程的关系得出．
5．D
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，根据题意可知，再结合二次函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：抛物线，
∵m的正负不能确定，
∴抛物线的开口方向无法确定，故选项A错误，不符合题意；
当时，，故选项B错误，不符合题意；
该抛物线的对称轴为直线，故选项C错误，不符合题意；
当时，抛物线开口向下，顶点坐标为，该函数图象经过第一、二、三、四象限，
当时，抛物线开口向上，顶点坐标为，该函数图象经过第一、二、三、四象限，
故选项D正确，符合题意；
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了函数图象上点的坐标特征以及根与系数的关系，点在其第一象限的图象上，则，在其第二象限的图象上，则，即，则，进而求解．
【详解】解：点在二次函数第一象限的图象上
在二次函数第二象限的图象上
异号，，
设，即，
即，则，
故，
，则，
由得，，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
依照题意画出二次函数及的图象，观察图象即可得出结论．
【详解】解：二次函数与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数的图象，如图所示．
观察图象，可知：．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间．
【详解】解：∵点，在二次函数的图象上，
∴当时，，当时，，
∴当时，，
∴选项符合，
故选：．
9．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判断④，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与轴交于正半轴，则
∴，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线,
∴当时，取得最大值，最大值为
∴（m为任意实数）
即，故②正确；
∵时，
即
∵
∴
即
∴，故③正确；
∵、是抛物线上不同的两个点，
∴关于对称，
∴即故④不正确，
正确的有②③，
故选：B．
10．
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，令，得，根据抛物线的顶点在x轴上知方程有两个相等的实数根，根据列式求解即可．
【详解】解：令，得，
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴方程有两个相等的实数根，
∴
解得，，
故答案为：．
11．4
【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．
先根据所给数据求出对称轴，进而求出点在抛物线上的对称点，点及其对称点的横坐标即为方程的解，然后即可求出和．
【详解】解：解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
由表格信息可得：
当时，，
∴点关于对称轴的对称点为点，
∴关于x的方程的解是，．
方程的所有解的和是．
故答案为：4．
12．
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，据此利用对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线且与x轴的一个交点坐标为，
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为，
∴关于的方程的另一个解为，
故答案为：．
13．4
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，
∴且，
解得：；
故答案为：4．
14．，
【详解】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据二次函数的图象经过点，，可以得到方程解为，，然后将所求方程变形，即可求得所求方程的解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
【解答】解：∵二次函数的图象经过点，，
∴当时，可以得到方程解为或，
∵方程可以转化为方程，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
15．，
【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴的交点横坐标即为所对应的一元二次方程的解．据此进行解答即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴当或时，，
即一元二次方程的解为，，
故答案为：，
16．4
【分析】首先利用待定系数法求得抛物线解析式为，进而确定点坐标，即可求得的面积；再确定点坐标，利用待定系数法解得直线、、的解析式，联立直线解析式和直线解析式，求解即可确定点坐标，过点作于点，易得，然后解得的面积，然后求解即可．
【详解】解：将点，代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线解析式为，
当时，可得，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴交抛物线于点D，
∴可令，可得，
解得，，即，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可设直线的解析式为，
将点代入，可得，解得，
∴直线的解析式为，
联立直线解析式和直线解析式，
可得，解得，
∴，
如下图，过点作于点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、求二次函数解析式、一次函数与二次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
17．
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、二次函数与面积的综合等知识点知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）先将点代入求得b的值，进而确定函数解析式，再令，求得m的值即可解答；
（2）用待定系数法求出直线的解析式，设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E，则可求得点D的坐标，从而求得的面积；设，利用面积关系即可求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点，
∴，解得：，
∴，
令，则，
∴．
故答案为：．
（2）∵
∴，对称轴为，
设直线的解析式为，
把B、A坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E；
在中，令，可得，则；
∴，
∴的面积为；
∵，
∴，
如图：设，
∵点P在下方时，，
∴，解得：，
∴．
故答案为：．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，求出函数解析式是解题的关键；
（1）设抛物线解析式为顶点式，即，由抛物线过原点即可求得a的值，从而求解；
（2）令，解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线经过原点O，
∴，
解得：，
∴，
化为一般式为；
（2）解：令，
解得：，
∴点P的坐标为．
19．(1)
(2)
【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）将代入求解即可；
（2）首先求出抛物线与x轴的交点为和，然后得出抛物线开口向上，然后根据题意得，进而求解即可．
【详解】（1）∵为抛物线上一点
∴
解得；
（2）当时，
解得或
∴抛物线与x轴的交点为和
∵
∴抛物线开口向上
∵存在，使得
∴
解得：
∴的取值范围．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解不等式组，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
（1）根据可得抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，据此即可解答；
（2）同理，根据抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，列得，计算即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线中，，
∴抛物线开口向上，
∵点和点在抛物线上，对称轴为直线，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴；
（2）解：∵抛物线开口向上，且，都有，
∴点在对称轴的左侧，点在对称轴上或对称轴的右侧，点在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，大于点到对称轴的距离，
∴，解得，
∴的取值范围是．
21．(1)A的坐标是，点B的坐标是
(2)
【分析】本题考查二次函数与方程组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）联立两函数解析式，即可求解；
（2）直接观察图象，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得或，
∴A的坐标是，点B的坐标是；
（2）解：根据图象，时，的图象在的图象上方，
此时．
22．(1)；
(2)或．
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数图形交点求不等式解集，掌握二次函数图形的性质是关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：观察图象可知当或时，当，
故答案为：或．
23．(1)①④
(2)另一个平衡点为
(3)或
【分析】本题主要考查了定义新运算，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程，
对于（1），根据平衡点的定义逐个判断即可；
对于（2），将点代入关系式，求出k，再根据平衡点的定义得出方程，求出解即可；
对于（3），根据平衡点的定义得，再分两种情况求出解即可.
【详解】（1）解：点，因为，所以点是“平衡点”；
点，因为，所以点不是“平衡点”；
点，因为，所以点不是“平衡点”；
点，因为，所以点是“平衡点”．
故答案为：①④；
（2）解：将点代入关系式，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为.
∵一次函数的图象上有另一个“平衡点”，
∴，
即或，
解得或，
则，
所以另一个“平衡点”的坐标是；
（3）解：或．
∵二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”，
∴，
∴或，
即或
当，且时，
解得；
当，且时，
解得．
所以a的取值范围是或．
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