22.3实际问题与二次函数 达标测试卷 （含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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22.3实际问题与二次函数达标测试卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为（ ）
A．20秒 B．25秒 C．30秒 D．40秒
2．某工厂七月份生产零件万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
3．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少10件，则写出利润y与单价x之间的函数关系式（ ）
A． B．
C． D．
4．如图1是一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，拱顶O到水面的距离为9米，当水位上升5米时，则水面宽为（ ）
A．10米 B．15米 C．18米 D．20米
5．如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
9．如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线的最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
10．建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则的最大值为（　　）
A．418 B．484 C．516 D．648
二、填空题
11．在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是 米．
12．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）直接具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为 ．
13．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50 件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2 件．当每天的销售额最大时，每件商品的售价为 元．
14．运动会上，小明同学在推铅球时，铅球行进的高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则小明的成绩是 米．
15．如图，在中，，．设直线截这个三角形所得的涂色部分的面积为，则与之间的函数解析式为 ．
16．如图，水平地面点处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为，小武在直线上点（靠点一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．

（1）当竖直摆放8个圆柱形桶时，网球 （填“能”或“不能”）落入桶内．
（2）当竖直摆放圆柱形桶至少 个时，网球能落入桶内．
17．某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则 ，主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为 米．
18．如图①是我市某广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系如图②所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为，若米，米，米，则的长是 米．
三、解答题
19．在2024年巴黎奥运会上，全红婵凭借总分分的成绩蝉联奥运会女子10米跳台冠军，成为中国奥运史上最年轻的三金王．在进行跳水训练时，运动员身体（视作一点）在空中的运动路线可视作一条抛物线．如图所示，建立平面直角坐标系．已知米，米，跳水曲线在离起跳点A水平距离为米时达到距水面最大高度米．
(1)当时，
①求这条抛物线的解析式；
②求运动员落水点G与点A的距离；
(2)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，请直接写出的取值范围．
20．用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，长表示窗框的宽，（铝合金条的宽度忽略不计）．
(1)求窗框的透光面积与窗框的宽之间的函数关系式．
(2)如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
(3)当窗框的透光面积不小于时，直接写出x的取值范围．
21．根据年杭州体育中考实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于米时获得满分分．如图，实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表：
水平距离
竖直高度
(1)求实心球运动轨迹的抛物线解析式；
(2)小刚在此次训练中是否得到满分，请说明理由；
(3)体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式上可以理解为保持，值不变，调整值．求能使得小刚得到满分的的取值范围．
22．一位助农主播利用（“互联网+”销售一种农业加工品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）．
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润）
23．如图是一座悬索桥侧面示意图．桥塔与桥塔均垂直于桥面，缆索段与缆索段、缆索段均呈抛物线型．缆索段所在的抛物线与缆索段所在的抛物线关于所在的直线对称，桥塔与桥塔之间的距离（桥塔的粗细忽略不计），缆索段的最低点到的距离．请你建立适当的坐标系，解答问题：
(1)在你所建坐标系下，求缆索段所在的抛物线的函数解析式；
(2)若，求的长．
24．在巴黎举行的年奥运会跳水女子单人米跳台决赛中，全红婵荣获冠军．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图所示，建立平面直角坐标系，如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，当她离起跳点的水平距离为时，离水面高度为，当她离起跳点的水平距离为时，离水面的高度为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她能否成功完成此动作？
《22.3实际问题与二次函数达标测试卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B D D D C B B B
1．A
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握当飞机停止时，取得最大值．先将函数关系表达式化为，由飞机停止时，取得最大值，即可得到答案．
【详解】解：
当时，取得最大值，即此时飞机滑行停止
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件万个，即可列出与之间的函数关系式．
【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，
依题意得：．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．单价为x元，单价提高了元．原来每月能售出400件，每涨价1元，月销售量就减少10件．涨元，那么月销售量就减少件，再根据利润每件利润数量即可求得解析式．
【详解】解：根据题意得：
利润y与单价x之间的函数关系式为：．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键．
根据正常水位时水面宽米，找出点A的坐标为，再根据水位上升米时，代入解析式求值即可．
【详解】解：由题可知点A的坐标为，
设抛物线解析式为，则，
解得，
∴抛物线解析式为，
当水位上升5米时，，
即，解得，
∴水面宽为米，
故选：D．
5．D
【分析】需要分类讨论：①当，即点在线段上时，过作于点，由勾股定理即可求得与的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当，，与的函数关系式是，根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当时，则，根据该函数关系式可以确定该函数的图象．本题考查了二次函数与动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点的位置进行分类讨论，以防错选．
【详解】解：如图，过作于点，
则，，
①当点在上时，，，，
，
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线；
由此可排除A，B，C．
②当时，即点在线段上时，；
则，
该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为；
③当时，即点在线段上，此时，，
则，
该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线；
故选：D．
6．D
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先以的中点为原点建立平面直角坐标系，求解抛物线为，再进一步的解答即可．
【详解】解：以的中点为原点建立平面直角坐标系，
∴，，，，
设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为，
把、代入得
，解得：，
∴
∵，
∴，
∴
设直线的解析式为
把、代入得：
，解得：，
∴直线：
由，解得，（舍）
当，，
∴，
此时点P到杯口的距离为，
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查二次函数的应用，设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为，根据“利润率出货价格进货价格售出数量进货价格进货数量进货价格进货数量”列出关于的函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解题的关键是熟练掌握利润率的计算公式，并根据利润率公式设出所需量及二次函数的性质．
【详解】解：设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为，
则，
∵商品售价不得超过进货价格的2倍，
∴，
∵当时，利润率随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，不等式组的应用，设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积S关于x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，然后分别令和，解方程求出x，取在x取值范围内的值即可．
【详解】解：设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为，
∴，
根据题意，得不等式组，
解得：，
当时，，
解得（不合题意，舍去）；
当时，，
解得，（不合题意，舍去），
故小明错误，小亮说法正确．
故选：B．
9．B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确解得抛物线解析式是解题关键．根据题意建立坐标系，设抛物线的解析式为，将点代入，求得抛物线解析式，再将代入，计算并确定满足要求的解即可．
【详解】解：建立坐标系如下图，
根据题意，可设抛物线的解析式为，
将点代入，可得，
解得，
∴该抛物线解析式为，
将代入，得，
解得，或（舍去），
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，正确列出解析式是解题的关键．设仓库的宽为米，根据题意可求得仓库的长为米，再由矩形的面积公式列出函数解析式，最后根据函数性质求最值即可．
【详解】解：设仓库的宽为米
则仓库的长为：米
根据题意可得：
当时，有最大值，最大值为484．
故选：B．
11．10
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可知点的坐标为，顶点为，设抛物线的表达式为，将点A和点B的坐标代入即可求出该抛物线的表达式，最后令，求出此时x的值即可．
【详解】解：建立如图所求的平面直角坐标系，
则点的坐标为，顶点为．
设抛物线的表达式为，
点在抛物线上，
，
解得．
抛物线的表达式为，
令，则，
解得或（不合实际，舍去）．
答：小华此次投掷的成绩是10米．
故选：10．
12．6
【分析】本题考查二次函数的实际应用，令，求出的值，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴当时，，
解得：，
∴小球从飞出到落地所用的时间为；
故答案为：6．
13．30
【分析】本题考查二次函数的应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．设商品降价x元，销售额为y元，由题意可得到y和x的二次函数关系，利用配方法可求最值，即可求解．
【详解】解：设商品降价x元，销售额为y元，
根据题意，得
，
∵，
∴当时，y有最大值，
∴每件商品的售价元时，每天的销售额最大，
故答案为：30．
14．10
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，包括点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
依据题意，令，得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：令，则，
解得，（舍去），
小明这次投掷的成绩是10米，
故答案为：10．
15．
【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系，难度不大．
先证明，然后根据三角形的面积公式可求的面积，解答出与之间的函数关系式．
【详解】解：如图所示，
∵中，，且，
，
，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：．
16． 不能
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，求能否落入桶内时高度的比较关系是解题关键．
（1）建立直角坐标系，根据题意顶点、点，利用待定系数法可求出函数解析式；当桶的左侧最高点位于抛物线以下，右侧最高点位于抛物线以上时，球才能落入桶内，据此可分别计算和时的值，与桶高比较可知；
（2）可设桶的个数为，根据（1）中关系列出不等式，即可求出的范围，从而求出的最小值．
【详解】解：（1）以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图），

∴顶点、点，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
抛物线解析式为：，
，且，
，，
即点的横坐标是1.5，点的横坐标是1，
当时，；当时，；
若竖直摆放8个圆柱形桶，则桶高为，
，
网球不能落在桶内，
故答案为：不能；
（2）设竖直摆放的圆柱形桶有个时，网球能落入桶内，
则，
解得：，
为整数，
的值为或，
当竖直摆放圆柱形桶至少个时，网球能落入桶内．
故答案为：．
17． /
【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为米，则，且主桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解的值，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解．
【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为米，则，
∴，
解得，，
∴，
∴倒影点的坐标为，
∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为，
故答案为：；．
18．
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题关键是利用待定系数法求出抛物线解析式．
本题根据最高点B点的坐标，设出抛物线的顶点式解析式后代入C点坐标，求出解析式，最后令即可求出．
【详解】解：设该抛物线的解析式为，
∵在该抛物线上，
∴
∴，
∴，
当时，，
∴的长是．
故答案为： ．
19．(1)①；②米
(2)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）①根据题意，得到点坐标和抛物线的顶点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；②求出时，的值，进而求出运动员落水点与点的距离即可；
（2）设抛物线的解析式为：，将代入得到，再把点，两点分别代入求出的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：①由题意得，抛物线顶点坐标为，，
设抛物线解析式为，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
②当时，，
解得：（舍去）；
∴，
∵，
∴米；
∴运动员落水点G与点A的距离为米；
（2）解：设抛物线的解析式为：，把，代入，得：
，
∴，
∴，
当抛物线过点时，，解得：；
当抛物线过点时，，解得：；
∴．
20．(1)
(2)当时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质及应用，准确表示窗框的长和宽，进而得到面积函数，再结合二次函数的图像与性质分析是解题的关键．
（1）首先根据铝合金条长度与窗框各边的关系求出，建立透光面积与宽的函数关系即可．
（２）根据二次函数的图像和性质回答即可；
（3）由于，根据二次函数图像与一元二次函数的关系列方程求方程的根，再结合图像即可求解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意可知，
，，
∴．
∴，
即．
（2）∵，
∴当时，．
即当时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是．
（3）当时，即，即，
解方程得，
二次函数开口向上，
所以不等式的解集为．
．
21．(1)；
(2)不能得到满分，见解析；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式是关键．
（1）待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）令代入解析式求出值与比较即可得到结论；
（3）设调整后抛物线解析式为，当时，，令，求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，由表中数据可得：
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：当时，
解得舍去，，
，
小刚在此次训练中不能得到满分；
（3）解：设调整后抛物线解析式为，
当时，，
令，
解得，
的取值范围为：．
22．(1)
(2)，每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的最值问题，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，列出一次函数解析式，并求出x的取值范围，即可解答；
（2）根据每天的销售利润等于单件的利润每天的销售量，列出二次函数，再由确定W的最大值，即可解答．
【详解】（1）解：，
由 ，
解得．
（2），
由，开口向下，对称轴为，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴当时，W取得最大值为（元）．
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元．
23．(1)
(2)
【分析】（1）先根据已知条件确定抛物线的顶点坐标和抛物线上一点的坐标，然后设出抛物线的顶点式解析式，将点的坐标代入求出解析式中的系数．
（2）先根据抛物线的对称性得到另一段抛物线的解析式，再将的值代入解析式求出的值，最后结合条件确定的长．
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
∵，
∴．
又，缆索段的最低点到的距离，
∴抛物线的顶点的坐标为．
故可设抛物线解析式为．
将代入抛物线解析式，
得．
∴．
∴缆索段所在抛物线的解析式为．
（2）解：∵缆索段所在抛物线与缆索段所在抛物线关于所在直线对称，
又缆索段所在抛物线的解析式为，
∴缆索段所在抛物线的解析式为．
∵，
∴可令，
∴．
解得或．
又，
∴．
∴的长为．
24．(1)
(2)能，理由见解析
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用，
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求出的值，再求出时的的值，与进行比较得出答案．
【详解】（1）解：设二次函数表达式为：
依题意，图象经过点，
∴，
∴，
∴
解得，
∴，
（2）解：能，理由如下：
根据题意可知，
∴，
当时，
解得：（负值的舍去）
∵
∴她能成功完成此动作．
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