22.1二次函数的图象和性质 达标测试卷（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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22.1二次函数的图象和性质达标测试卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点O，则平移的方式可能是（　　）
A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度
4．下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 3 4 3 …
A．对称轴为直线 B．当时，
C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4
5．二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是二次函数，且函数图象有最高点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方，以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中， ，于点D．点P从点A出发，沿的路径运动，运动到点C停止，过点P作于点E，作于点F．设点P运动的路程为x，四边形的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（ ）
A．8 B．10 C． D．
11．设动直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，当时，总有恒成立，则称函数与在上是“逼近函数”，则下列结论：
①函数与在上是“逼近函数”；
②函数与在上是“逼近函数”；
③函数与在上是“逼近函数”；
其中，正确的命题序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
12．函数是二次函数，则a的值是 ．
13．已知抛物线 当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
14．已知抛物线过点，，，则这个抛物线的解析式为 ．
15．抛物线的对称轴是直线 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，若随的增大而减小，则的取值范围是 ．
17．如果二次函数的图像经过点，，那么 （填“”，“”或“”）．
18．如图，抛物线与交于点过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：
①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中，结论正确的是 （填写序号即可）
三、解答题
19．已知二次函数
(1)在平面直角坐标系中，用五点法画出该二次函数的图象；
x … …
y …
(2)根据图象回答下列问题：当时，y的取值范围是 ．
20．已知抛物线．
(1)求这条抛物线顶点的坐标及对称轴；
(2)当时，直接写出的取值范围．
21．在平面直角坐标系中，已知二次函数，
(1)若此二次函数的图象经过，求a的值；
(2)若此二次函数的图象经过、，且有，求a的取值范围；
(3)若一次函数，对于时恒成立，求a的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，经过点，直线l经过点A，B．
(1)求直线l的表达式；
(2)点是抛物线上一点，其中，过点M作垂直于x轴的直线，交直线l于点N，判断线段的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由．
23．如图，二次函数的图像经过点，顶点坐标为．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，的取值范围为_____；
(3)将该抛物线向上平移_____个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点．
24．已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
25．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象．
(1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标；
(2)当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为？
(3)当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．
《22.1二次函数的图象和性质达标测试卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C A D C A C B
题号 11
答案 D
1．C
【分析】本题考查二次函数定义，解题关键是掌握二次函数的形式：一般地，形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．
根据二次函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、是一次函数，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、是一次函数，不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．
【详解】解：由抛物线向右平移3个单位，得到抛物线解析式为：，此时抛物线经过原点．
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解．
【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等，
∴函数的对称轴为：直线，故A错误；
∵，当时，，
∴当时，，故B错误；
∵数据从到1对应的y值不断增大，
∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，
∴当时，随的增大而增大，故C正确；
∴函数有最大值4，故D错误．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，得出，两点关于抛物线的对称轴对称，据此得出，之间的关系，再将点和点代入二次函数解析式，进一步得出，之间的关系，最后用表示出和即可解决问题．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵，在二次函数图象上，
∴，两点关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
∵，在二次函数图象上，
∴，，
∴，
∴，
∵在二次函数图象上，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
6．D
【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值．
【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点，
∴二次函数图象开口向下，
∴，且，
解得：，且 或，
∴，
则的值为．
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据顶点的位置和与y轴的交点可知抛物线开口向上，与x轴有两个交点，再将点代入关系式可得答案.
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，且与y轴的交点在x轴上方，
∴抛物线开口向上，与x轴有两个交点，
∴，
当时，，
所以C正确，
故选：C.
8．A
【分析】本题考查动点问题的函数图象的性质的应用．根据题意，分两段分别求，一是的过程，二是的过程，分别用含x的式子表示出y，再结合图象判断即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点P运动的路程为x，
∴当点P从点A出发，沿路径运动时，即时，，则，
∴，
∵四边形的面积为y，
∴，
∴当时，抛物线开口向下，
当点P沿路径运动时，此时，
∵平分，
∴，
∴四边形为正方形，
∵，
∴，
∴，
∴当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是
．
故选：A
9．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，，即可判断①；由题意可得抛物线的对称轴为直线，从而由对称性可得抛物线经过点，即可判断②；求出，，再结合抛物线的顶点为，即可判断③；由抛物线的对称性可得点关于对称轴对称的点为，即可判断④；熟练掌握以上并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线图象开口向下，
∴，
∵抛物线图象交轴于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过点，
∴由对称性可得抛物线经过点，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线的顶点为，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵抛物线经过点，
∴点关于对称轴对称的点为，
∴一定是关于x的方程的一个根，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，共个，
故选：C．
10．B
【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值．
【详解】解：点在抛物线上，
把代入，得，
解得，
抛物线表达式为．
设（ ），
点，关于轴对称，
．
过点作轴垂线交抛物线于，则；过点作轴垂线交抛物线于，则．
∴，，
∴，．
四边形周长，
．
∵上述函数中二次项系数，开口向下，对称轴为直线．
∴当时，．
故选： ．
11．D
【分析】本题考查一次函数，二次函数性质，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握一次函数，二次函数性质．由“逼近函数”定义逐项判断即可．
【详解】解：由“逼近函数”定义知在上，时，函数与在上是“逼近函数”，
令，
当时，最大为1，最小为，
函数与在上是“逼近函数”，①正确；
令，
在上，当时，最大为1，当时，最小为，
函数与在上是“逼近函数”，②正确；
令，
在上，当和时，取最大值1，时，取最小值为，③正确；
故选：D．
12．
【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；由题意易得且，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得：；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，
根据抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，可知在对称轴右侧，y随x的增大而减小，然后可得答案．
【详解】解：抛物线的对称轴为，，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵当时，随的增大而减小，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，把点，，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得抛物线的解析式．
【详解】解：∵抛物线过点，，，
∴，
解得，
∴这个抛物线的解析式为．
故答案为：．
15．
【分析】
本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键．直接利用抛物线顶点式即可求得对称轴．
【详解】
解：∵，
∴其对称轴为直线．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
由二次函数的图象经过，，可得其对称轴是直线，结合图象开口向下，从而当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，进而可以判断得解．
【详解】解：二次函数的图象经过，，
对称轴是直线．
又结合图象开口向下，
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
若y随x的增大而减小，则．
故答案为：．
17．
【分析】此题考查了比较二次函数值的大小，分别将，代入求解比较即可．
【详解】解：∵二次函数的图像经过点，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：．
18．①②④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用二次函数的性质，对于抛物线，当时，y有最小值为1，则可对①进行判断；把A点坐标代入可求出a的值，则可对②进行判断；当时通过计算从而可对③进行判断；利用对称性求出B、C的坐标，然后计算出和的长，从而可对④进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论x取何值，的值总是正数，故本结论正确；
②把代入抛物线得，解得，故本结论正确；
③由两函数图象可知，抛物线解析式为，当时，，，故，故本结论错误；
④∵抛物线与交于点，
∴的对称轴为，的对称轴为，
∴
∴，
∴，故本结论正确．
故正确的结论为：①②④．
故答案为：①②④．
19．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了画二次函数的图象，利用图象求函数值的取值范围；
（1）列表，五点法画图象即可；
（2）由自变量的取值范围，根据图象求解即可．
【详解】（1）解：列表如下：
x … …
y … …
图象如下：
（2）解：观察图象得：
当时，；
故答案为：．
20．(1)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
(2)当时，．
【分析】本题考查了二次函数的性质．
（1）先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，，当时，，
∴当时，．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，
（1）把已知点代入解析式求出a的值；
（2）求出函数值m和n，然后根据题意列不等式求出a的取值范围即可；
（3）求出的关系式，根据当时，，即可得到，根据题意得到，求出a的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得；
（2）解：∵二次函数的图象经过、，
∴，
，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：，
，
，
当时，，
∵，
，
即，
解得，
∵时恒成立，
∴，
解得．
22．(1)
(2)线段的长有最大值，最大值为
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式；
（1）先求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求解即可；．
（2）先表示出点N，点M的纵坐标，求出，再利用二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点A，经过点，
∴，，
∴，
设直线l的表达式为，
把，代入得，
解得：，
∴直线l的表达式为；
（2）∵过点作垂直于x轴的直线，交直线l于点N，
∴点N的纵坐标为，点M的纵坐标为，
∵抛物线开口向上，抛物线与直线l交于点，，
∴当时，点N在点M的上方，
∴，
∴线段的长有最大值，最大值为．
23．(1)
(2)
(3)3或4
【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确地求得解析式．
（1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可；
（2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围；
（3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可．
【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为．
将代入，得，
解得，，
∴．
（2）当时，
∵抛物线的顶点坐标为
∴y的最小值为，
∴当时，y的取值范围为
故答案为；
（3）当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得，
∴与x轴只有一个交点即，
当时，，
∴与y轴的有一个交点即，
符合题意；
当与原点相交时，，向上平移3个单位长度，
函数解析式为：，
当y=0时，，
解得：，
所得交点为，符合题意；
∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点．
故答案为：3或4．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出P点坐标，即可得解；
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在，当时，，
，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
关于对称轴对称，
，
，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，此时点P为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
，
∴，，
∴．
25．(1)抛物线的解析式为，它的顶点坐标；
(2)或时，图象的最大值与最小值的差为；
(3)当或时，图象与直线有且只有一个公共点．
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
（）用待定系数法求函数的解析式即可；
（）根据点与点的位置，结合图象分类讨论即可；
（）直线经过点时，直线与图象有两个交点，再结合图象，确定的取值即可．
【详解】（1）解：将，代入，
∴，
解得 ，
∴抛物线的解析式为，
由，
∴它的顶点坐标；
（2）解：由（）得它的顶点坐标；
当时，，
∴或，
当时，图象的最大值为，最小值为 ，
∴ ，
解得或，
∴时，图象的最大值与最小值的差为；
当时，图象的最大值为，最小值为，
∴图象的最大值与最小值的差为；
当时，图象的最大值为，最小值为，
∴，
解得（舍去），
当时，图象的最大值为，最小值为，
∴，
解得或（舍去），
综上所述：或时，图象的最大值与最小值的差为；
（3）解：当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点，如图：
当时，
解得：或（舍去），
此时图象与直线有且只有两个公共点，如图：
当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点，
综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点．
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