第1章一元二次方程 章末测试卷（含解析）2025-2026学年苏科版数学九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026学年数学九年级上册苏科版-第1章一元二次方程章末测试卷
一、单选题
1．下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于x的一元二次方程的二次项系数是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．设方程的两个根为，那么的值等于（ ）
A． B． C．4 D．6
6．对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（　　）
A．10 B．4 C．4或 D．4或或10
7．为执行“两免一补”政策，某地区2018年投入教育经费3600万元，2020年投入4900万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．当 时，关于的方程是一元二次方程．
10．某毕业班同学互送相片作纪念，已知全班共送出相片132张，则该班有 人．
11．是一元二次方程的两个实数根，则 ．
12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ．
13．设为两相异实数．满足的值是 ．
14．已知，且有，则的值等于 ．
15．如图，要设计一幅长为，宽为的矩形图案，其中各有两条横、竖向的彩带，横、竖向彩带的宽度比为，彩带所占面积是图案面积的，设竖向彩带的宽为，则可列方程为 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
17．已知：关于的方程．
(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；
(2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根．
18．某城市为绿化环境，改善城市容貌，投入专项费用，用于对某段公路进行绿化．施工第一个月投入费用30万元，由于加大绿化面积每月投入费用增长，施工第三个月投入费用36.3万元，若施工第二、三个月投入费用的月平均增长率相同．求施工第二、三个月投入费用的月平均增长率．
19．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
(1)求的值；
(2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围．
20．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．
(1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
(2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？
(3)若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？
21．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．
例如，一元二次方程的两个根是1和3，则方程 就是“三倍根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“三倍根方程”？
(2)若是“三倍根方程”，求n的值．
22．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为．
(1)求当为何值时，四边形是矩形；
(2)求当为何值时，四边形是菱形；
(3)在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
《2025-2026学年数学九年级上册苏科版-第1章一元二次方程章末测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A C C B A A
1．A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．
依次分析每个选项是否符合一元二次方程的定义．
【详解】解：A、方程，展开可得，即，整理为．它只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是整式方程，所以是一元二次方程；
B、方程，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程；
、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程；
D、方程，整理可得，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程．
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），在一般形式中称为二次项，称为一次项，c称为常数项．其中a，b，c分别称为二次项系数，一次项系数，常数项．
根据一元二次方程系数的定义，即可知道的二次项系数．
【详解】解：关于x的一元二次方程的二次项系数为3．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键．
根据方程有两个实数根，求解，且即可得到答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
又．
∴，且．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，代入计算即可得．
【详解】解：∵方程的两个根为，
∴，
∴，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可．
【详解】解：∵当时，则，当时，，
∴当时，
解得，不符合题意，舍去；
当时，则，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
综上，，
故选：B．
7．A
【分析】此题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，再根据“2020年投入4900万元”可得出方程．
【详解】解：2019年投入为，2020年投入为，
∴可列方程为：；
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为米，宽为米的长方形，即可列出关于的一元二次方程，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米，
∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形，
∴由题意可得：，
故选：A．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数．
【详解】解：由题意可得：，且，
解得：．
故答案为：．
10．12
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得，每个人都要送给这个班中除了自己之外的所有人相片，设该班有x人，则每个人要送张相片，所以共送出张，又知全班共送出132张，列出方程求出x值．
【详解】解：设该班有x人，每人会给人送相片，
由题意得：
即
（舍去），，
所以该班有12人．
故答案为：12．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，根据是一元二次方程的两个实数根，把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，其判别式，当时，方程有实数根；当时，方程没有实数根；本题中根据方程有实数根，得到，进而求出的取值范围．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及分式的化简求值，先得出是一元二次方程的两个不相等的实数根，进而得出，再将分式进行化简后代入求值即可．
【详解】解：为两相异实数．满足，
是一元二次方程的两个不相等的实数根，
一元二次方程可化为，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握同解方程，和根与系数的关系，是解题的关键．
把的两边同时除以，得到，则x、是关于x的方程的两根，则利用根与系数的关系求得的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴x、是关于x的方程的两根，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．设竖彩带的宽是，则横彩带的宽是，根据彩带所占面积是图案面积的，可列方程求解．
【详解】解：彩带面积是图案面积的，
空白部分面积是图案面积的，
可列方程为：．
故答案为：．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解法是解决问题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可；
（3）用求根公式法求解即可；
（4）用直接开方法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
；
（4）解：，
，
，
．
17．(1)
(2)的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识．
（1）先计算出，根据题意得到，即可求出；
（2）设方程的一个根为3，求出，分和两种情况解出一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∵方程总有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵ 方程的一个根为3，
∴，
解得，
当时，原方程化为，解得，
∴另一根为1；
当时，原方程化为，解得，
∴另一根为9；
∴的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9．
18．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设施工第二、三个月投入费用的月平均增长率为，第一个月投入费用30万元，施工第三个月投入费用36.3万元，施工第二、三个月投入费用的月平均增长率相同．据此列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设施工第二、三个月投入费用的月平均增长率为，
根据题意列方程得，
解得，（舍），
∴施工第二、三个月投入费用的月平均增长率为．
19．(1)14
(2)，且
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是掌握新定义下的实数运算．
（1）根据新定义进行实数的运算即可；
（2）根据新定义列出一元二次方程，根据根的判别式列出不等式，然后进行求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
∴，
解得，且．
20．(1)鸡场的长为米，宽为米
(2)鸡场面积不可能达到平方米，见解析
(3)当时，不能围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．
（1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意；
（2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出的值，即可得出答案；
（3）根据实际问题当时，当时，当时，三种情况进行讨论，得出符合条件的值即可．
【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得：
，
解得：，，
当时，，
当时，，（舍去），
则养鸡场的宽是，长为；
（2）解：设养鸡场的宽为，根据题意得：
，
整理得：，
，
∵方程没有实数根，
∴围成养鸡场的面积不能达到；
（3）解：当时，不能围成一个长方形养鸡场；
当时，可以围成一个长方形养鸡场；
当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场．
21．(1)方程是“三倍根方程”
(2)或9
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断；
（2）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义求出n的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得，，
∴，
∴方程是“三倍根方程”；
（2）∵，
∴，
解得，，
∵是“三倍根方程”，
∴或，
即或，
∴或9．
22．(1)
(2)
(3)1或3
【分析】（1）由题意得，，，根据矩形的性质可得，，，当时，四边形是矩形，据此列出关于的方程，即可求解；
（2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解；
（3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答．
【详解】（1）解：由题意得，，，
在矩形中，，，，
当时，四边形是矩形，则，解得，
∴当时，四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
根据勾股定理得：，
则，
解得，
∴当时，四边形是菱形；
（3）解：如图2，
由折叠的性质可得，，，，，
在矩形中，，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：，
解得，，
即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、菱形的判定、翻折的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握矩形与菱形的判定是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)