第21章一元二次方程达标测试卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第21章一元二次方程达标测试卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于的方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
3．若是关于x的一元二次方程的解，则（ ）．
A． B． C．27 D．18
4．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（ ）
A． B． C． D．
8．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
9．从一块正方形的木板上锯掉宽的长方形木条（长为正方形边长），剩下的面积是，则原来这块木板的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．一元二次方程的根为 ．
12．已知实数满足，，且，则的值为 ．
13．已知是一元二次方程，则的值为 ．
14．某生物实验室需培育一群有益菌．现有个活体样本，经过两轮培育后，总和达个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 个有益菌．
15．若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ．
16．目前人工智能技术涵盖基础学习类、语言处理类、视觉处理类和其他技术类等几大领域．某高校开设了人工智能相关选修课程，2022年和2024年报名学生人数分别为100，169．若报名人数年平均增长率相同，则年平均增长率是 ．
三、解答题
17．按照指定方法解下列方程：
(1)（用直接开平方法）
(2)（用配方法）
18．已知关于的一元二次方程，若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
19．已知关于的方程．
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根．
20．冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只．
(1)求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？
21．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x；
(1)_______米（用含x的代数式表示）；
(2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长．
22．已知实数、满足，试求的值．
解：设，
则原方程可化为，即：
解得．
∵，
∴
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
(1)若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数．
(2)已知实数、满足，求的值．
《第21章一元二次方程达标测试卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D A C B B B A
1．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，据此逐项判断即可解答．
【详解】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
2．A
【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解．
【详解】解：，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体思想成为解题的关键．
把代入一元二次方程得到，再把变形为，然后利用整体代入计算即可．
【详解】解：把代入方程得：，
∴，
∴．
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：A、，则原方程有两个相等的实数根，不符合题意；
B、，则原方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、，则原方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、，则原方程无实数根，符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
或，
∴，，
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
直接根据十字相乘法求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，公式法解一元二次方程的过程：先确定的值，代入计算判别式，当，方程有实数根，当，方程无实数根，当时，将的值代入求根公式求解方程．
【详解】解：
，，，
，
，
，
一元二次方程的两个根，其中较小的根为．
故选：B．
8．B
【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键．
【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，
今年一季度新产品的研发资金，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是找出等量关系，正确列出一元二次方程．
设原来的正方形木板的边长为，利用余下木板的面积正方形木板的面积长方形木板的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值进一步即可得出结论．
【详解】解：设原来的正方形木板的边长为，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
则原来这块木板的面积是
故选：B．
10．A
【分析】根据韦达定理解答即可．
本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：一元二次方程的两个根分别是，，
即的两个根分别是，，
则，，
解得，
故，，
故，
解得
故选：A．
11．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程即可得解，熟练掌握解一元二次方程的方法是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，．
12．10
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．根据题意可知实数是方程的两个根，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，即可求解．
【详解】解：实数满足，，且，
∴实数是方程的两个根，
∴，
∴，
故答案为：10 ．
13．7
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的解．先将代入方程得到，再根据根与系数的关系得到，代入求值即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两根，
，即，，
，
故答案为：7．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，解答时分别表示出每轮分解后的总数得出数量关系是关键．设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成个有益菌，则第一轮分裂后有个，第二轮分裂成个，第二轮后有24000个，建立方程求出其解就可以．
【详解】解：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成个有益菌，由题意，得
，
解得，，
，
．
所以每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出20个有益菌．
故答案为：20．
15．
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系来求m的值．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，
，
解得，
，是方程的两个实数根，
，
又，
，
即，
解得，或，
又，
的值是.
故答案为：
16．
【分析】本题考查了一元二次方程应用中的增长率问题，本题的关键是根据增长率模型列出一元二次方程．
设年平均增长率是，结合题意找出初始量、最终量和增长年数，正确列出方程求解即可．
【详解】解：设年平均增长率是．根据题意得
，即，
解得（不合题意，舍去）．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）两边开平方得到，即可求出方程的解；
（2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
开平方得，，
∴或，
解得：；
（2）解：原方程整理得，
二次项系数化为1，得：，
配方，得：，即，
两边开平方，得，
∴．
18．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出关于的不等式解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解得．
19．(1)方程必有两个不等实数根；
(2)m的值为1，这两个有理数根为和．
【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程．
（1）由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程必有两个不等实数根；
（2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，代入后可得出原方程为，且，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根．
【详解】（1）证明：
．
∵，
∴，
即，
∴方程必有两个不等实数根；
（2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且，
∴，
∴原方程为，且，
∴此时原方程的解为，
∴m的值为1，这两个有理数根为和．
20．(1)该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为
(2)该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得：，(不符合题意，舍去)
答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为．
（2）解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元，
根据题意得：，
解得：，(不符合题意，舍去)
答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元．
21．(1)
(2)的长为10米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式；
（1）设栅栏长为米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含的代数式表示出的长；
（2）根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设栅栏长为米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴（米），
故答案为：
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
答：栅栏的长为10米．
22．(1)这四个连续的正整数为，，，；
(2)的值为．
【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是正确理解“换元法”．
（1）设这四个连续的正整数为，，，，，根据题意列方程，用换元法求解即可；
（2）设，根据题意列方程，用换元法求解即可．
【详解】（1）解：设这四个连续的正整数为，，，，为正整数，
根据题意可得，
∴，
设，，则，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴，，，
答：这四个连续的正整数为，，，．
（2）解：设，，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
答：的值为．
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