2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第四章 4.2 指数函数 同步练习（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数
一、单选题
1.若函数为指数函数，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.如图是指数函数；；；的图象，则与1的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知函数的图象与指数函数的图象关于轴对称，则实数的值是（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
4.若，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.函数（且）在上的最大值比最小值大，则的值为（ ）
A. 或
B.
C.
D. 2或3
6.函数的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（共3小题，基础题1道，中档题2道）
7.（2024浙江浙南名校联盟期中）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系式为，其中且，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 浮萍每月增加的面积都相等
B. 第6个月时，浮萍的面积会超过
C. 浮萍从蔓延到只需经过5个月
D. 若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则
8.已知函数，，且，则下列式子可能成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.下列命题中正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 函数的值域为
C. 函数的值域为
D. 函数的值域为
三、填空题
10.（2025北京师范大学附属实验中学月考）已知函数，若，则________。
11.解不等式，其解集为________。
12.已知函数，若函数的图象与轴有两个交点，则实数的取值范围是________。
四、解答题
13.（2025河南九校联盟期末）某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度与时间成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为（，且，是常数），如图所示。
（1）根据图象写出关于的函数表达式；
（2）据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长。
14.已知函数（且），其中均为实数。
（1）若函数的图象经过点，，求函数的值域；
（2）若函数的定义域和值域都是，求的值。
15.已知函数（其中为常数，且，，）的图象经过点，。
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。
一、单选题
1.答案：A
解析：指数函数定义为（且），故且：
由得；
由得；
综上，。
2.答案：B
解析：指数函数图象性质：
底数时，函数递减，且底数越小，图象越靠近轴（如(1)(2)），故；
底数时，函数递增，且底数越大，图象越靠近轴（如(3)(4)），故；
综上，。
3.答案：C
解析：若与关于轴对称，则（因关于轴对称的函数为）：
本题中，故；
解方程得，验证（满足底数要求）。
4.答案：A
解析：底数，指数函数单调递减，故不等式等价于：
指数关系：；
解得，即。
5.答案：A
解析：分两种情况讨论指数函数单调性：
当时，在上递增，最大值，最小值，故，解得（舍去）；
当时，在上递减，最大值，最小值，故，解得（舍去）；
综上，或。
6.答案：B
解析：定义域需满足两个条件：
根号内非负：；
分母不为0：；
综上，。
二、多选题
7.答案：BCD
解析：由图象得浮萍面积公式：
代入时，得；代入时，得，故。
A错误：每月增加面积不相等（如增2，增4）；
B正确：时，；
C正确：从到，；
D正确：设蔓延到的时间为，则，，，故。
8.答案：BCD
解析：设（）：
A错误：若则，若则，矛盾；
B正确：时，，，因，故；
C正确：时，；
D正确：时，，故。
9.答案：BCD
解析：
A错误：，指数，故，值域；
B正确：，（根号非负），故；
C正确：设，则，开口向上，时；
D正确：，，故。
三、填空题
10.答案：
解析：，由得，故。
11.答案：
解析：底数，指数函数递增，故。
12.答案：
解析：分段函数与轴有两个交点：
时，，需；
时，，需；
综上，。
四、解答题
13.解：（1） 分两段讨论：
药物释放阶段（）：与成正比，设。
由图象知时，代入得，故。
药物代谢阶段（）：（）。
代入时，时：
两式相除得（），代入得，故。
综上，函数表达式为：
（2） 分两段解不等式：
当时：，故。
当时：，化简为，因递增，故，故。
有效时长为（小时）。
14.解：（1） 由过、：
代入：；
代入：；
故。
因，故。
（2） 分和讨论：
当时：递增，故定义域对应值域：
解得，（无解，舍去）。
当时：递减，故定义域对应值域：
解得，。
故。
15.解：（1） 由过、：
两式相除得（），代入得，故。
（2） 不等式在恒成立，即。
设：
和在上均递减，故递减；
在上的最小值为。
故，即的取值范围为。