2.1 命题、定理、定义 同步练习（含答案）

2．1　命题、定理、定义
一、 单项选择题
1 下列语句中，是命题的是(　　)
A. 两个奇数的和是奇数吗
B. sin 45°＝1
C. x2＋2x－1>0
D. x2＋y2＝0
2 下列命题中，是真命题的是(　　)
A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3 (2024连云港惠泽高级中学月考)已知命题p：全等三角形的周长相等，命题q：周长相等的三角形全等，则下列说法中正确的是(　　)
A. p和q都是真命题
B. p和q都是假命题
C. p是真命题，q是假命题
D. p是假命题，q是真命题
4 下列命题中，是真命题的是(　　)
A. 若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等
B. 若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形
C. 存在一个实数x，使得|x|<0
D. 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0
5 若命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数根”为真命题，则实数a的取值范围是　(　　)
A. (－∞，1)
B. (－∞，1]
C. (－∞，0)∪(0，1)
D. (－∞，0)∪(0，1]
6 已知高一年级某班30名同学参加体能测试，给出下列三个判断：①有人通过了体能测试；②同学甲没有通过体能测试；③有人没有通过体能测试．若这三个判断中只有一个是真，则下列说法中正确的是(　　)
A. 只有1名同学通过了体能测试
B. 只有1名同学没有通过体能测试
C. 30名同学都通过了体能测试
D. 30名同学都没通过体能测试
二、 多项选择题
7 下列说法中，不正确的是(　　)
A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B. 语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C. 命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题
D. “当x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
8 (2024遵义正安二中月考)下列命题中，正确的是(　　)
A. 若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1
B. 直角三角形的外心一定不在斜边上
C. 如果实数集的非空子集A是有限集，那么A中的元素必然有最大值
D. 任何分数都是有理数
三、 填空题
9 命题“若x>1，则x≥1”是________命题．(填“真”或“假”)
10 (2024徐州毓秀高级中学月考)使“若x Q，则x2∈Q”为假命题的一个x的值为________．
11 (2024聊城月考)已知命题p：5x－1>a，q：x>1，且“若p，则q”为真命题，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 判断下列语句是否为命题，若是，判断它们的真假．
(1) 3x2≤5；
(2) x2－x＋7>0；
(3) 若a，b，c，d∈R，a＝c且b＝d，则a＋b＝c＋d；
(4) 若m>，则关于x的方程x2－x＋m＝0无实数根．
13 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1) 6是12和18的公约数；
(2) 当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3) 平行四边形的对角线互相平分；
(4) 已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
2.1　命题、定理、定义
1. B　对于A，是疑问句，不是命题；对于C，D，不能判断真假，不是命题；对于B，是陈述句且能判断真假，是命题．
2. B　对角线相等的四边形还可能是等腰梯形，故A不是真命题；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故B是真命题；对角线互相垂直的四边形还可能是等腰梯形，故C不是真命题；对角线互相垂直平分的四边形还可能是菱形，故D不是真命题．
3. C　对于命题p，全等三角形的形状和大小均相同，故周长相等，故命题p为真命题；对于命题q，只要三角形的三边和相等，则周长相等，对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等，故命题q为假命题．故A，B，D错误，C正确．
4. B　若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误；由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形，故B正确；因为对于任意实数，|x|≥0，故C错误；可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误．
5. C　由题意，得解得a<1，且a≠0.
6. C　“有人通过了体能测试”与“有人没有通过体能测试”不可能都为真，若“同学甲没有通过体能测试”为真，则“有人没有通过体能测试”必真，不符合题意，所以“同学甲没有通过体能测试”是假的，即同学甲通过了体能测试，所以②为假，①为真，③为假．由“有人没有通过体能测试”是假的判断，得30名同学都通过了体能测试，故C正确．
7. AB　对于A，命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，故A错误；对于B，语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，当a>4时，Δ＝(－4)2－4a＝4(4－a)<0，方程x2－4x＋a＝0无实根，即“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”为假，故该语句是命题，故B错误；对于C，由菱形的定义和性质可知，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，即命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题，故C正确；对于D，当x＝2时，22－3×2＋2＝0，所以“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题，故D正确．故选AB.
8. ACD　对于A，假设x，y都小于或等于1，则x＋y≤1＋1＝2，与题意矛盾，故假设错误，故A正确；对于B，直角三角形的外心是斜边的中点，故B错误；对于C，假设非空集合A中的元素无最大值，则集合A必为无限集，这与实数集的非空子集A是有限集矛盾，所以A中的元素必然有最大值，故C正确；对于D，由有理数定义可知任何分数都是有理数，故D正确．故选ACD.
9. 真　因为当x>1时，x≥1一定成立，所以此命题为真命题．
10. π(答案不唯一)
11. [4，＋∞)　设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}．由5x－1>a，得x>，则A＝(，＋∞).因为B＝(1，＋∞)，且“若p，则q”为真命题，所以≥1，解得a≥4.故实数a的取值范围是[4，＋∞).
12. (1) “3x2≤5”不能判断真假，故不是命题．
(2) x2－x＋7＝＋>0恒成立，
故“x2－x＋7>0”是命题，且该命题为真命题．
(3) 由a，b，c，d∈R，a＝c且b＝d，
得a＋b＝c＋d成立，
即“若a，b，c，d∈R，a＝c且b＝d，则a＋b＝c＋d”是命题，且该命题为真命题．
(4) 关于x的方程x2－x＋m＝0，Δ＝1－4m，
若m>，则1－4m<0，Δ<0，方程x2－x＋m＝0无实数根，
即“若m>，则关于x的方程x2－x＋m＝0无实数根”是命题，且该命题为真命题．
13. (1) 若一个数是6，则它是12和18的公约数．
因为12＝6×2，18＝6×3，
所以6是12和18的公约数，
所以“若一个数是6，则它是12和18的公约数”是真命题．
(2) 若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．
当a＝0时，方程为2x－1＝0，x＝，方程ax2＋2x－1＝0只有1个实根，
所以“若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根”是假命题．
(3) 若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．
根据平行四边形的性质可知，“若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分”是真命题．
(4) 已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.
当y＝5，x＝3时，满足y－x＝2，
所以“已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2”是假命题．