2.2 充分条件、必要条件、充要条件 同步练习（含答案）

2．2　充分条件、必要条件、充要条件
2.2.1　充分条件、必要条件、充要条件(1)
一、 单项选择题
1 已知x，y∈R，则“x和y均为有理数”是“xy为有理数”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
2 “x2＝4”是“x＝－2”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 (2024唐山期中)已知p：0A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4 (2024徐州铜川期中)已知a，b都是自然数，则“a＋b是偶数”是“a，b都是偶数”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5 (2024浙江南太湖联盟联考)设a，b，c分别是△ABC的三条边，则“△ABC为直角三角形”是“a2＋b2＝c2”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
6 (2024苏州中学期中)老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明“做容易题”是“做难题”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
二、 多项选择题
7 (2024石家庄二中月考)已知“若p，则q”为真命题，则下列说法中正确的是(　　)
A. p是q的充分条件
B. p不是q的必要条件
C. p的必要条件是q
D. q不是p的充分条件
8 (2024天一中学期中)下列命题中，为真命题的是(　　)
A. “x>4”是“x<5”的既不充分又不必要条件
B. “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要且不充分条件
C. “关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”的充要条件是“b2－4ac>0”
D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要且不充分条件
三、 填空题
9 已知△ABC，△A1B1C1，则“两三角形对应角相等”是“△ABC≌△A1B1C1”的________条件．(填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
10 (2024杭州四中期末)已知α：－1≤x≤2，β：－2≤x≤2a＋1，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是________．
11 (2024莆田八中期中)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要且不充分条件，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 指出下列命题中，p是q的什么条件．
(1) p：x＝1，q：|x|＝1；
(2) p：两直线平行，q：同位角相等；
(3) p：点在角的平分线上，q：点到角的两边所在直线的距离相等；
(4) p：斜边相等，q：两直角三角形全等．
13 设命题p：实数x满足a0；q：实数x满足2(1) 若a＝1，且p和q均为真，求实数x的取值范围；
(2) 若q是p的充分条件，求实数a的取值范围.
2．2.2　充分条件、必要条件、充要条件(2)
一、 单项选择题
1 (2024安徽A10联盟期中)使－1A. －1C. －12 (2024广东八校联盟期中)方程ax2＋5x＋4＝0(a≠0)有两个异号实根的一个充要条件是(　　)
A. a<0 B. a>0
C. a<2 D. a<－1
3 (2024南通如东、通州期中)“m<2”是“|m－1|<1”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 充要条件
C. 必要且不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
4 “二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴没有交点”的充要条件是(　　)
A. m2－4n>0 B. m2－4n<0
C. m2－4n＝0 D. m＝1，n＝2
5 (2024淮阴中学期中)设x，y∈R，则“xy＋1＝x＋y”的充要条件为(　　)
A. x，y至少有一个为1 B. x，y都为1
C. x，y都不为1 D. x2＋y2＝2
6 (2024泰州三中期中)已知p：－2≤x≤5，q：2－2m≤x≤2＋m(m>0)，若p的充分且不必要条件是q，则实数m的取值范围为(　　)
A. (－∞，3] B. (0，3]
C. [2，＋∞) D. (0，2]
二、 多项选择题
7 (2024石家庄二中月考)设全集为R，在下列条件中，满足B A的充要条件的有(　　)
A. A∩B＝A
B. ( RA)∩B＝R
C. RA RB
D. A∪( RB)＝R
8 下列说法中，正确的是(　　)
A. 若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
B. “>”是“aC. “A∩B≠ ”是“A B”的既不充分又不必要条件
D. “a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
三、 填空题
9 (2024泉州四校期中联考)若集合A＝(2，＋∞)，B＝(－∞，m)，则A∪B＝R的一个充分且不必要条件为__________．(用m表示)
10 (2024肇庆广信中学月考)已知“xa＋1”是“x>2或x<－1”的必要且不充分条件，则实数a的取值范围是________．
11 (2024连云港赣榆期中)已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x≥b－a}，若“a＝2”是“A∩B＝A”的充分条件，则实数b的取值范围为________．
四、 解答题
12 已知集合A＝{x|－7(1) 当B＝ 时，求实数m的取值范围；
(2) 当B为非空集合时，若“x∈B”是“x∈A”的充分且不必要条件，求实数m的取值范围．
13 (2024咸阳彬州城关中学期中)已知集合P＝{x|1≤x≤2}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1) 是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
(2) 是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
2．2　充分条件、必要条件、充要条件
2.2.1　充分条件、必要条件、充要条件(1)
1. A　若x和y均为有理数，则xy为有理数，反之，xy为有理数，x和y不一定为有理数，如x＝y＝，满足xy＝2是有理数，而x，y均为无理数，所以“x和y均为有理数”是“xy为有理数”的充分且不必要条件．
2. B　当x2＝4时，x＝±2，所以充分性不成立；当x＝－2时，x2＝4，所以必要性成立，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要且不充分条件．
3. A　因为{x|04. B　若a＋b是偶数，则a，b都是偶数或a，b都是奇数，所以“a＋b是偶数”是“a，b都是偶数”的必要且不充分条件．
5. B　当a＝5，b＝4，c＝3时，易知△ABC是直角三角形，但a2＋b2≠c2，所以充分性不成立；根据勾股定理，由a2＋b2＝c2，得△ABC是直角三角形，所以必要性成立，所以“△ABC为直角三角形”是“a2＋b2＝c2”的必要且不充分条件．
6. B　由题意可知“做容易题”不一定能推出“做难题”，但“做难题”一定可以推出“做容易题”，故“做容易题”是“做难题”的必要且不充分条件．
7. AC　因为“若p，则q”为真命题，所以p q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件，故A，C正确；q能否推出p无法判断，故B，D错误．故选AC.
8. AD　对于A，“x>4”与“x<5”互相不能推出，故A正确；对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分且不必要条件，故B错误；对于C，“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”的充要条件是“b2－4ac≥0”，故C错误；对于D，因为b可以等于零，所以由a≠0不能推出ab≠0，故充分性不成立；由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以必要性成立，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要且不充分条件，故D正确．故选AD.
9. 必要且不充分　由两三角形对应角相等不能推出△ABC≌△A1B1C1；反之，由△ABC≌△A1B1C1可以推出∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.故“两三角形对应角相等”是“△ABC≌△A1B1C1”的必要且不充分条件．
10. 　若α是β的充分条件，则集合{x|－1≤x≤2}是集合{x|－2≤x≤2a＋1}的子集，可得2a＋1≥2，解得a≥，所以实数a的取值范围是.
11. [3，＋∞)　因为x∈A是x∈B的必要且不充分条件，所以B?A.又A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，所以a≥3.
12. (1) 由|x|＝1，得x＝±1，
所以“x＝1”是“|x|＝1”的充分且不必要条件，
即p是q的充分且不必要条件．
(2) 若两直线平行，则同位角相等，即充分性成立；反之，若同位角相等，则两直线平行，即必要性成立，
所以p是q的充要条件．
(3) 若点在角的平分线上，则点到角的两边所在直线的距离相等，即充分性成立；
反之，如图，对于∠AOB，过点P分别作PM⊥OB，PN⊥OA，且PM＝PN，
此时满足点P到∠AOB的两边所在直线的距离相等，但点P不在∠AOB的平分线上，即必要性不成立，
所以p是q的充分且不必要条件．
(4) 若斜边相等，两个直角三角形不一定全等，所以充分性不成立；
反之，若两个直角三角形全等，则斜边相等，即必要性成立，
所以p是q的必要且不充分条件．
13. (1) 当a＝1时，若命题p为真，则1若命题q为真，则2又p和q均为真，
所以实数x的取值范围为(2，3).
(2) 若q是p的充分条件，则即1≤a≤2，
故实数a的取值范围为[1，2].
2．2.2　充分条件、必要条件、充要条件(2)
1. B　设A＝(－1，4)，则使－12. A　由题意，得解得a<0.
3. C　由|m－1|<1，得－14. B　由二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴没有交点，得m2－4n<0.
5. A　由xy＋1＝x＋y，则(x－1)(y－1)＝0，可得x＝1或y＝1，即x，y至少有一个为1，所以“xy＋1＝x＋y”的充要条件为“x，y至少有一个为1”．
6. D　设集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|2－2m≤x≤2＋m，m>0}．因为p的充分且不必要条件是q，所以B是A的真子集，则等号不同时成立，解得07. CD　当A∩B＝A时，A B，不满足题意，故A错误；若( RA)∩B＝R，显然只有A＝ ，B＝R时成立，不满足题意，故B错误；若 RA RB，则B A，同时若B A，则 RA RB，满足题意，故C正确；当A∪( RB)＝R时，B A，同时若B A，则A∪( RB)＝R，满足题意，故D正确．故选CD.
8. ABC　对于A，a，b∈R，若a2＋b2≠0，即必有a，b不全为0，则充分性成立；若a，b不全为0，则同样有a2＋b2≠0，即必要性成立，故A正确；对于B，由>不能推出a，但是 2>－3，即充分性不成立；由a，比如－2<3，但是<，即必要性不成立，所以“>”是“abn(n∈N，n≥2)不能推出a>b>0，比如a＝1，b＝0，1n>0n(n∈N，n≥2)满足，但是a>b>0不满足，所以必要性不满足，故D错误．故选ABC.
9. m>3(m的取值范围为集合{m|m>2}的真子集即可)　因为集合A＝(2，＋∞)，B＝(－∞，m)，且A∪B＝R，所以m>2，故A∪B＝R的一个充分且不必要条件为m>3.
10. [0，1]　因为“xa＋1”是“x>2或x<－1”的必要且不充分条件，所以集合{x|x>2或x<－1}是集合{x|xa＋1}的真子集，则且等号不同时成立，解得0≤a≤1.
11. (－∞，1]　若A∩B＝A，则A B，所以b－a≤－1，即b≤a－1.因为“a＝2”是“A∩B＝A”的充分条件，所以b≤2－1＝1.故实数b的取值范围为(－∞，1].
12. (1) 由B＝{x|2m＋3≤x≤m＋1}＝ ，得2m＋3>m＋1，解得m>－2，
即实数m的取值范围为(－2，＋∞).
(2) 由B≠ ，得2m＋3≤m＋1，即m≤－2.
由“x∈B”是“x∈A”的充分且不必要条件，得B?A，
则解得－5综上，实数m的取值范围为(－5，－3).
13. (1) 要使x∈P是x∈S的充要条件，则需使P＝S，
即此方程组无解，
故不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
(2) 要使x∈P是x∈S的必要条件，则需使S P.
当S＝ 时，1－m>1＋m，解得m<0，满足题意；
当S≠ 时，1－m≤1＋m，解得m≥0，要使S P，则解得m≤0，所以m＝0.
综上，存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，m的取值范围是(－∞，0].