2.3 全称量词命题与存在量词命题 同步练习（含答案）

2．3　全称量词命题与存在量词命题
2.3.1　全称量词命题与存在量词命题
一、 单项选择题
1 (2024常州联盟学校月考)下列命题中，是全称量词命题的是(　　)
A. x∈R，x2>
B. 存在一个菱形的四条边不相等
C. 偶数的平方是偶数
D. 有一个数不能作为除数
2 (2024盐城陈洋中学期中)下列命题中，是存在量词命题的是(　　)
A. 所有的素数都是奇数
B. x∈R，|x|＋1≥1
C. 对任意一个无理数x，x2也是无理数
D. 有一个偶数是素数
3 (2024东莞七校期中联考)下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是(　　)
A. 梯形是四边形
B. x∈R，x3＋1≠0
C. x∈R，|x|＋1≥1
D. 存在一个实数x，使x2＋2x－3＝0
4 下列存在量词命题中，是假命题的是(　　)
A. x∈Z，x2－2x－3＝0
B. 至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C. 有的三角形没有外接圆
D. 某些四边形不存在外接圆
5 (2024浙江9＋1高中联盟期中)若命题“ x∈R，x2＋2x＋a<0成立”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，1] B. (－∞，1)
C. [1，＋∞) D. (1，＋∞)
6 命题“ x∈[2，3]，x2－a≤0”是真命题的一个充分且不必要条件是(　　)
A. a≥9 B. a≤9
C. a≥10 D. a≤10
二、 多项选择题
7 已知集合 A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，则下列结论中正确的是(　　)
A. x∈A，x∈B
B. x∈B，x A
C. x∈A，x B
D. x∈B，x∈A
8 (2024辽宁朝阳期中)下列命题中，为真命题的是(　　)
A. x∈R，|x|＋|x－1|>0
B. x∈N，(x－1)2>0
C. x∈R，x＋－1<0
D. x∈N，x2－x＋<0
三、 填空题
9 用符号“ ”或“ ”表示命题：有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0：______________．
10 (2024常州金坛期中)若命题“ x∈R，x2＋2x＋a≠0”为真命题，则实数a的取值范围为________．
11 若“ x∈(－∞，a]，x2＝2”是假命题，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．
(1) 任意两个等边三角形都相似；
(2) 存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3) 对任意实数x1，x2，若x1(4) 存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.
13 已知命题p： x∈(0，1)，x＋m－1<0，q： x0∈R，mx＋4x0－1＝0.若p，q均为真命题，求实数m的取值范围．
2．3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
一、 单项选择题
1 (2024海南琼中中学期中)若命题p： x0∈N，使x0(x0＋2)是素数，则命题p的否定为(　　)
A. x0∈N，使x0(x0＋2)不是素数
B. x∈N，x(x＋2)是素数
C. x∈N，x(x＋2)不是素数
D. x0 N，使x0(x0＋2)不是素数
2 (2025苏州期末)若命题p： x∈R，x2＋2x>0，则命题p的否定是(　　)
A. x∈R，x2＋2x≤0
B. x∈R，x2＋2x≤0
C. x∈R，x2＋2x>0
D. x R，x2＋2x≤0
3 下列命题的否定中，是真命题的为(　　)
A. 有些实数的绝对值是正数
B. 所有平行四边形都不是菱形
C. 任意两个不全等的等边三角形都是相似的
D. 3是方程x2－9＝0的一个根
4 下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是(　　)
A. x∈R，x2－x＋<0
B. 所有的正方形都是矩形
C. x<0，x2≥0
D. 至少有一个实数x，使x3＋1＝0
5 (2024扬州大学附属中学月考)已知命题“ x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1] B. (－1，3)
C. [－1，3] D. (－3，1)
6 某校组织了一次“我劳动、我快乐”的主题活动，旨在引导学生以自己的切身感受，体验劳动带来的乐趣，以促进学生道德品质的提高．已知参加此次活动的有50人，其中男生30名，女生20名，负责人将这些同学平均分为5个小组展开活动，则命题“存在某个小组，至少分配到1名女生”的否定是(　　)
A. 存在某个小组，至少分配到2名女生
B. 任意一个小组，至少分配到1名女生
C. 任意一个小组，没有分配到女生
D. 存在某个小组，没有分配到女生
二、 多项选择题
7 下列说法中，正确的是(　　)
A. 若p：能被2整除的数是偶数，则 p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B. 若p：有些矩形是正方形，则 p：所有的矩形都不是正方形
C. 若p：有的三角形为正三角形，则 p：所有的三角形不都是正三角形
D. 若p： n∈N，2n≤100，则 p： n∈N，2n>100
8 (2024清远阳山南阳中学期中)下列说法中，正确的是(　　)
A. “ n∈N，n2－n＋1＝0”的否定是“ n∈N，n2－n＋1≠0”
B. a∈R，方程x2－ax－1＝0有实数根
C. n∈N，n2＋1是4的倍数
D. “ x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1<0”
三、 填空题
9 若命题p： a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，则命题p的否定是_____
_____________________________________________________________________.
10 若命题“存在x∈R，x2－3x＋9a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
11 若命题p： x∈[1，＋∞)，x2＋1≥m，则命题p的否定是________________
______________________；若p是假命题，则实数m的取值范围是_____________．
四、 解答题
12 判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，并说明否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则只需判断命题的真假，并给出证明．
(1) 存在实数x，使得x2＋2x＋3≤0；
(2) 有些三角形是等边三角形；
(3) 方程x2－8x－10＝0的每一个根都不是奇数．
13 (2024高邮中学月考)已知命题p： 2≤x≤3，x2－a≥0，命题q： x∈R，x2＋2x＋2a＝0.
(1) 若命题 p为假命题，求实数a的取值范围；
(2) 若命题p和 q均为真命题，求实数a的取值范围．
2．3　全称量词命题与存在量词命题
2.3.1　全称量词命题与存在量词命题
1. C　对于A，含有“ ”，故A错误；对于B，含有存在量词“存在”，故B错误；对于C，命题为所有偶数的平方是偶数，是全称量词命题，故C正确；对于D，含有存在量词“有一个”，故D错误．
2. D　对于A，含有全称量词“所有的”，故A错误；对于B，含有“ ”，故B错误；对于C，含有全称量词“任意”，故C错误；对于D，含有存在量词“有一个”，则该命题为存在量词命题，故D正确．
3. A　对于A，是全称量词命题且为真命题，故A正确；对于B，是全称量词命题，当x＝－1时，x3＋1＝0，为假命题，故B错误；C，D都为存在量词命题，不符合题意．
4. C　对于A，x＝－1或x＝3满足题意，是真命题；对于B，x＝6满足题意，是真命题；对于C，所有的三角形都有外接圆，是假命题；对于D，只有对角互补的四边形才有外接圆，是真命题．
5. B　因为 x∈R，x2＋2x＋a<0成立，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.
6. C　当该命题为真命题时，a≥(x2)max＝9，所以“a≥10”是“a≥9”的一个充分且不必要条件．
7. AD　因为集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，所以B是A的真子集，所以 x∈A，x∈B或 x∈B，x∈A.故选AD.
8. AC　因为|x|≥0，|x－1|≥0，所以|x|＋|x－1|≥0.又x＝0，x＝1不能同时取得，所以 x∈R，|x|＋|x－1|>0为真命题，故A正确；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以 x∈N，(x－1)2>0为假命题，故B错误；当x＝－1时，x＋－1<0成立，故 x∈R，x＋－1<0为真命题，故C正确；因为x2－x＋＝－，x∈N，所以当x＝0或x＝1 时，有最小值，故 x∈N，x2－x＋<0为假命题，故D错误．故选AC.
9. x∈R，x2＋2x＋3＝0
10. (1，＋∞)　因为 x∈R，x2＋2x＋a≠0，则x2＋2x＋a＝0在R上无解，所以4－4a<0，解得a>1.
11. (－∞，－)　由x2＝2，解得x＝－或 x＝.又“ x∈(－∞，a]，x2＝2”是假命题，所以 a<－.
12. (1) 全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题．
(2) 存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题．
(3) 全称量词命题，存在x1＝－5(－3)2，该命题是假命题．
(4) 存在量词命题，因为x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，所以使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，该命题是假命题．
13. 因为命题p是真命题，
所以x＋m－1<0对0即m－1<－x对0当0所以m－1≤－1，即m≤0.
因为命题q是真命题，
所以关于x的方程mx2＋4x－1＝0有实数根．
当m＝0时，4x－1＝0有实数根；
当m≠0时，由题意，得Δ＝16＋4m≥0，解得m≥－4，且m≠0，
综上，m≥－4.
因为p，q均为真命题，
所以实数m的取值范围是[－4，0].
2．3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
1. C　由存在量词命题的否定为全称量词命题，得原命题的否定为“ x∈N，x(x＋2)不是素数”．
2. B　由题意可知命题p为全称量词命题，则该命题的否定为“ x∈R，x2＋2x≤0”．
3. B　对于A，因为不为0的实数的绝对值是正数，所以有些实数的绝对值是正数为真命题，其否定为假命题，故A不符合题意；对于B，四条边都相等的平行四边形是菱形，所以所有平行四边形都不是菱形为假命题，其否定为真命题，故B符合题意；对于C，任意两个不全等的等边三角形都是相似的为真命题，其否定为假命题，故C不符合题意；对于D，3是方程x2－9＝0的一个根为真命题，其否定为假命题，故D不符合题意．
4. A　对于A，命题的否定是 x∈R，x2－x＋≥0，是真命题，也是全称量词命题，故A正确；对于B，命题的否定是有的正方形不是矩形，假命题，也是存在量词命题，故B错误；对于C，命题的否定是 x<0，x2<0，假命题，也是存在量词命题，故C错误；对于D，命题的否定是 x∈R，x3＋1≠0，是假命题，故D错误．
5. B　因为命题“ x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，所以2x2＋(a－1)x＋>0恒成立，所以Δ＝(a－1)2－4×2×<0，解得－16. C　原命题是存在量词命题，其否定是“任意一个小组，没有分配到女生”．
7. ABD　根据含有一个量词的否定，可判断A，B，D正确；对于C，“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题“所有的三角形都不是正三角形”，故C错误．故选ABD.
8. AB　对于A，“ n∈N，n2－n＋1＝0”的否定是“ n∈N，n2－n＋1≠0”，故A正确；对于B，因为Δ＝(－a)2－4×(－1)＝a2＋4>0，所以方程x2－ax－1＝0恒有实根，故B正确；对于C，当n是偶数时，n2＋1是奇数不是4的倍数；当n是奇数时，设n＝2k＋1，k∈N，n2＋1＝(2k＋1)2＋1＝4k2＋4k＋2，则n2＋1不是4的倍数，故C错误；对于D，“ x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1≥0”，故D错误．故选AB.
9. a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或有两个解
10. 　由题意，得对任意的x∈R，x2－3x＋9a>0是真命题，则Δ＝9－36a<0，解得a>，所以实数a的取值范围是.
11. x∈[1，＋∞)，x2＋12.
12. (1) 存在量词命题，该命题的否定为对任意的实数x，x2＋2x＋3>0，为真命题．
(2) 存在量词命题，该命题的否定为所有的三角形都不是等边三角形，为假命题．
(3) 全称量词命题，该命题的否定为方程x2－8x－10＝0的根至少有一个是奇数，为假命题．
13. (1) 因为命题 p为假命题，所以命题p为真命题，则a≤x2在x∈[2，3]时恒成立，
所以a≤(x2)min＝4.
故实数a的取值范围是(－∞，4].
(2) 由题意，得命题 q： x∈R，x2＋2x＋2a≠0.
因为 q为真命题，则Δ＝22－8a<0，解得a>.
又由(1)知，当命题p为真命题时，a≤4，
所以当命题p和 q均为真命题时，实数a的取值范围为.