3.2.2 基本不等式的应用 同步练习（含答案）

3．2.2　基本不等式的应用(1)
一、 单项选择题
1 若x>0，则下列关于函数y＝－x－的判断中正确的是(　　)
A. 最大值为－2 B. 最小值为－2
C. 最大值为2 D. 最小值为2
2 若a，b均为正实数，且a＋2b＝1，则ab的最大值是(　　)
A. B. C. D.
3 (2024娄底期末)已知x>0，则的最小值为(　　)
A. 5 B. 3
C. －5 D. －5或3
4 (2024榆林府谷一中月考)已知实数x满足0A. 9 B. 18
C. 27 D. 36
5 (2024扬州大学附中月考)设m，n∈(0，＋∞)，且＋＝1，则m＋2n的最小值为(　　)
A. 4 B. 5
C. 4 D. 3＋2
6 (2024连云港期中)设正数x，y满足x＋2y＝1，则＋的最小值为(　　)
A. 2＋1 B. 3－1
C. ＋1 D. 3＋2
二、 多项选择题
7 (2024盐城陈洋中学月考)若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. xy的最大值为4
B. ＋的最小值为4
C. x2＋y的最小值为
D. x2＋y不存在最值
8 (2024南通期末)已知x>0，则下列结论中正确的是(　　)
A. x(2－x)的最大值为1
B. 3－x－的最大值为1
C. 的最小值为2
D. x＋的最小值为3
三、 填空题
9 (2024商丘期末)设a>0，则a＋＋1的最小值为________．
10 (2024莆田二十四中期中)已知x<，则y＝＋2x－1的最大值为________．
11 (2024扬州精诚高级中学月考)设x>0，y>0，x＋＝1，则的最大值为________．
四、 解答题
12 (1) 已知x>3，求y＝x＋的最小值，并求取到最小值时x的值；
(2) 已知013 (2024宿迁沭阳期中)已知0(1) 求2x－y的取值范围；
(2) 若3x＋y＝1，求＋的最小值．
3．2.2　基本不等式的应用(2)
一、 单项选择题
1 (2024广安期末)已知一直角三角形的面积为200 cm2，则其两条直角边和的最小值为(　　)
A. 20 cm B. 20cm
C. 30 cm D. 40 cm
2 (2024柳州期末)某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C(单位：万元)与仓储中心到机场的距离S(单位：km)之间满足的关系为C＝＋2S＋2 000，则当C最小时，S的值为(　　)
A. 2 080 B. 40 020
C. 20 D. 20
3 (2024长沙雅礼教育集团期中)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A. 0C. ≤2 D. a2＋b2≤8
4 (2024南通期末)用总长为20m的篱笆围成一块矩形菜地，其中一边空出2m的缺口作为进出通道．若要使菜地的面积最大，则有缺口的一边的篱笆长为(　　)
A. 2m B. 3m C. 3.5m D. 5.5m
5 某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．若在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，要使两项费用之和最小，仓库到车站的距离为(　　)
A. 2 km B. 3 km C. 4 km D. 5 km
6 (2024盐城五校联盟期末)对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于(　　)
A. 12 B. 12
C. 6＋6 D.
二、 多项选择题
7 (2024山东名校考试联盟调研)已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. x＋y≤2 B. x＋y≥－4
C. xy≤4 D. xy≥－
8 (2024深圳外国语学校月考)如图，某小区拟建造一块矩形绿地，若在AB的中点M的正北方向25m处立起一根旗杆E，在BC的中点N的正东方向40 m处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，则该矩形绿地的周长可能为(　　)
A. 40m
B. 60m
C. 80m
D. 90m
三、 填空题
9 (2024南京金陵中学月考)某公司一年需购买某种货物200t，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值等于每次的购买吨数数值，则当每次购买该种货物的吨数是________时，一年的总运费与总存储费用(单位：万元)之和最小，最小值是________万元．
10 (2024淄博一中月考)若对任意的x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是________．
11 (2024唐山志嵘高级中学月考)阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买20g黄金，售货员先将10g的砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，取yg黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的xg和yg黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量________20g.(填“大于”“小于”或“等于”)
四、 解答题
12 已知a>0，b>0，且a＋b＝2，求：
(1) a2＋b2的最小值；
(2) ＋的最大值．
13 设矩形ABCD(AB>AD)的周长为20，把△ABC沿AC向△ADC折叠得到△AB1C，AB1交DC于点P，设AB＝x，B1P＝y.
(1) 将y用x表示并求x的取值范围；
(2) 求△B1CP面积的最大值及相应x的值．
3．2.2　基本不等式的应用(1)
1. A　因为x>0，所以x＋≥2，所以－x－≤－2，当且仅当x＝1时，等号成立，故函数y＝－x－的最大值为－2，没有最小值．
2. D　因为a，b均为正实数，且a＋2b＝1，所以ab＝≤＝，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时，等号成立，所以ab有最大值.
3. B　由x>0，得＝x＋－1≥2－1＝3，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，所以的最小值为3.
4. C　因为00，所以＋＝[3x＋(1－3x)]＝15＋＋≥2＋15＝27，当且仅当＝，即x＝时，等号成立．
5. D　因为m，n∈(0，＋∞)，且＋＝1，所以m＋2n＝(m＋2n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即n＝1＋，m＝1＋时，等号成立．故m＋2n的最小值为3＋2.
6. A　因为x＋2y＝1，所以＋＝＋＝1＋＋≥1＋2＝1＋2，当且仅当＝，即x＝－1，y＝1－时，等号成立．故＋的最小值为2＋1.
7. ABC　对于A，因为4＝x＋y≥2，所以xy≤4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故A正确；对于B，＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故B正确；对于C，D，x2＋y＝(4－y)2＋y＝y2－7y＋16＝＋≥，故C正确，D错误．故选ABC.
8. ABD　对于A，令y＝x(2－x)＝－x2＋2x，由二次函数的性质，得当x＝1时，y取得最大值，最大值为1，故A正确；对于B，3－x－＝3－，又x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，故3－x－的最大值为1，故B正确；对于C，令y＝＝＋≥2，当且仅当＝时，等号成立，但此时x不为实数，故无法取等号，即无法取到最小值2，故C错误；对于D，易知x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，故D正确．故选ABD.
9. 5　因为a>0，所以a＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当a＝2时，等号成立，所以a＋＋1的最小值为5.
10. 0　因为x<，所以2x－3<0，则3－2x>0，>0，所以y＝＋(2x－3)＋2＝－[＋(3－2x)]＋2.又＋(3－2x)≥2＝2，当且仅当＝3－2x，即x＝1时，等号成立，所以y＝＋(2x－3)＋2＝－[＋(3－2x)]＋2≤－2＋2＝0.故所求最大值为0.
11. 　方法一：因为x>0，y>0，x＋＝1，所以＝1－x>0，即0方法二：因为1＝x＋≥2，所以≤，当且仅当＝x＝时，等号成立．故的最大值为.
12. (1) 因为x>3，所以x－3>0，
则y＝x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当x－3＝，即x＝5时，等号成立，
故当x＝5时，y的最小值为7.
(2) 因为00，
故x(4－3x)＝·3x(4－3x)≤×＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，等号成立，
所以x(4－3x)的最大值为.
13. (1) 因为0所以0<2x<4，－3<－y<0，
所以－3<2x－y<4.
故2x－y的取值范围为(－3，4).
(2) 因为3x＋y＝1，0所以＋＝(3x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立．
故＋的最小值为4＋2.
3．2.2　基本不等式的应用(2)
1. D　设两条直角边长分别为a cm，b cm，则ab＝200，即ab＝400.由基本不等式，得a＋b≥2＝40，当且仅当a＝b＝20时，等号成立，故两条直角边和的最小值为40 cm.
2. D　因为C＝＋2S＋2 000≥2＋2 000＝2 080，当且仅当＝2S，即S＝20时，等号成立，所以当C最小时，S的值为20.
3. C　对于A，取a＝3，b＝1，满足a>0，b>0，且a＋b＝4，故A错误；对于B，＋＝＋1＝，故B错误；对于D，a2＋b2＝32＋12＝10，故D错误；对于C，≤＝2，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故C正确．
4. C　设有缺口的一边的篱笆长为xm，矩形的另一边长为ym，菜地的面积为Sm2，则2x＋2y＋2＝20，即x＋y＝9，所以(x＋2)＋y＝11，S＝(x＋2)y.由基本不等式，得S＝(x＋2)·y≤＝30.25，当且仅当x＋2＝y＝5.5，即x＝3.5时，S取得最大值30.25，所以当有缺口的一边的篱笆长为3.5m时，菜地的面积最大．
5. D　设仓库到车站的距离为xkm，土地费用为y1万元，运输费用为y2万元．由题意，得y1＝，y2＝k2x.因为当x＝10时，y1＝2，y2＝8，所以k1＝20，k2＝，所以费用之和为y＝y1＋y2＝＋≥2＝8，当且仅当＝，即x＝5时，等号成立，故仓库到车站的距离为5 km时，两项费用之和最小．
6. C　如图，在Rt△ABC中，两条直角边长为a，b，斜边长为c＝6，则a2＋b2＝c2＝36.因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋2ab＋b2≤2(a2＋b2)＝72，即(a＋b)2≤72，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以Rt△ABC的周长为a＋b＋c≤6＋6.故这个直角三角形周长的最大值为6＋6.
7. BCD　对于A，B，因为x2＋y2－xy＝4，所以(x＋y)2－4＝3xy.又xy≤，所以(x＋y)2－4≤(x＋y)2，所以(x＋y)2≤16，所以－4≤x＋y≤4.当x＝y＝2时，x＋y＝4；当x＝y＝－2时，x＋y＝－4，故A错误，B正确；对于C，D，因为(x＋y)2≥0，所以x2＋y2≥－2xy，所以4＋xy≥－2xy，所以xy≥－，当且仅当或时，等号成立．因为(x－y)2≥0，所以x2＋y2≥2xy，所以4＋xy≥2xy，所以xy≤4，当且仅当x＝y＝±2时，等号成立，故C，D正确．故选BCD.
8. CD　设MB＝xm，BN＝ym.由题意可得△EMB∽△BNF，则＝.又EM＝25m，NF＝40m，所以＝，化简，得xy＝1 000，所以矩形绿地的周长为2(2x＋2y)≥2×2＝8×10＝80，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．故该矩形绿地的周长可能为80m，90m.故选CD.
9. 20　40　设每次购买该种货物的吨数为xt，则共买次，其中x>0，故一年的总运费与总存储费用之和为2×＋x＝＋x.由基本不等式可得＋x≥40，当且仅当x＝20时，等号成立，所以当每次购买该种货物的吨数是20时，一年的总运费与总存储费用之和最小，最小值是40万元．
10. 　因为x>0，所以＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．又对任意的x>0，≤a恒成立，所以a≥.
11. 大于　设天平的左臂长为x1，右臂长为x2，且x1≠x2，则所以因为x2≠x1，所以x＋y＝＋>2＝2×10＝20.
12. (1) 由题意，得a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2×＝＝2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立，
所以a2＋b2的最小值为2.
(2) 由题意，得(＋)2＝a＋b＋2≤2(a＋b)＝4，
则＋≤2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立，
所以＋的最大值为2.
13. (1) 由对称性可得∠BAC＝∠PAC.
因为∠BAC＝∠ACP，
所以∠PAC＝∠PCA，所以 PA＝PC.
又AB1＝AB＝CD，所以B1P＝DP.
因为B1P＝DP＝y，
所以PA＝PC＝x－y，CB1＝CB＝10－x.
在Rt△B1CP中，由勾股定理，得(10－x)2＋y2＝(x－y)2，化简可得y＝10－.
由AB>AD可得x>10－x>0，即5所以y＝10－，5(2) S△B1CP＝(10－x)y＝(10－x)(10－)＝5，
因为5当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．
故当x＝5时，△B1CP面积的最大值为25(3－2).