3.3.2 从函数观点看一元二次不等式 同步练习（含答案）

3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(1)
一、 单项选择题
1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(　　)
A. {x|－2B. {x|x<－2或x>3}
C. {x|－2D. {x|x<－2或x>6}
2 (2024扬州精诚高级中学月考)不等式－6x2－5x＋6>0的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
3 (2024浙江开化中学月考)不等式≥0的解集为(　　)
A.
B.
C. (－∞，－1]∪[2，＋∞)
D. (－∞，－1)∪
4 (2024盐城阜宁期末)设x∈R，则“|x－2|>3”是“x2－5x－6>0”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5 (2024北京交大附中期中)若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　)
A. {x|x<－2或x>1} B. {x|1C. {x|x<－1或x>2} D. {x|－26 若a，a2，a3是一个三角形的三边长，则实数a的取值范围是(　　)
A. (，) B. (，)
C. (，) D. (，)
二、 多项选择题
7 下列说法中，正确的是(　　)
A. 不等式x2－12x＋20>0的解集为{x|x<2或x>10}
B. 不等式x2－5x＋6<0的解集为{x|2C. 不等式9x2－6x＋1>0的解集为R
D. 不等式－2x2＋2x－3>0的解集为
8 (2024乳山银滩高级中学期中)使得≤1成立的一个充分且不必要条件是(　　)
A. －2C. －2≤x<2 D. －1三、 填空题
9 关于x的不等式≥1的解集为________．
10 已知不等式3x－2－x2<0的解集是A，集合B＝{x|x－a<0}，且B A，则A＝________，实数a的取值范围是________．
11 已知不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2四、 解答题
12 解下列不等式：
(1) 2x2＋3x－2>0；
(2) x2－4x＋4>0；
(3) －x2＋2x－3<0.
13 解下列不等式：
(1) <0；
(2) <1.
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(2)
一、 单项选择题
1 (2024连云港惠泽高级中学月考)若不等式ax2＋bx－3<0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)，则b－a的值是(　　)
A. －3 B. 3 C. －5 D. 5
2 已知关于x的不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－1，3)
B. (－∞，－1)∪(3，＋∞)
C. (－3，1)
D. (－∞，－3)∪(1，＋∞)
3 若“－1A. (－∞，1]∪[2，＋∞)
B. (－2，－1)
C. [－2，－1]
D. (－∞，－2]∪[－1，＋∞)
4 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)
A. [15，30] B. [12，25]
C. [10，30] D. [20，30]
5 (2024泰安一中月考)已知关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A. B. {x|－2C. {x|－16 (2024常熟期中)常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称．双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高x(x∈N*)元，则被卖出的“叫花鸡”会减少5x只．要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12 495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为(　　)
A. 48元 B. 49元
C. 51元 D. 50元
二、 多项选择题
7 某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，x h内供水总量为120(0≤x≤24)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 蓄水池中的存水量最少为60 t
B. 从供水开始到第6个小时时蓄水池中的存水量最少
C. 从供水开始到第4个小时时蓄水池中的存水量多于80 t
D. 在一天的24h内，有8个小时蓄水池中的存水量少于80 t
8 (2024汕头潮阳河溪中学期中)已知不等式ax2＋bx－6<0的解集为{x|－3A. a<0
B. x＝－3和x＝2是方程ax2＋bx－6＝0的两个实数根
C. b＝－1
D. 不等式x2－bx－2a≥0的解集为{x|x≤－1或x≥2}
三、 填空题
9 (2024河南名校大联考)已知a，b，c为常数，若不等式≥0的解集为[－1，1)，则不等式ax＋b<0的解集为________．
10 已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，则A∪B＝________，a＋b＝________．
11 (2024揭阳三中期中)某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少1件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024常州期中)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞).求：
(1) 不等式bx＋c>0的解集；
(2) 不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
13 (2024福州高级中学月考)实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为(2x2＋10x)万元，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为y万元．
(1) 写出y与x之间的函数关系式，并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到52万元以上；
(2) 该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大？最大值是多少？(年平均盈利额＝)
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(3)
一、 单项选择题
1 (2024广州五中期中)使“不等式mx2＋x＋m>0在R上恒成立”的实数m的取值范围为(　　)
A. B. (0，1)
C. D. (1，＋∞)
2 设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是(　　)
A. {x|－nB. {x|x<－n或x>m}
C. {x|－mD. {x|x<－m或x>n}
3 已知关于x的方程2kx2－2x－5k－2＝0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是(　　)
A. (0，＋∞)
B.
C.
D. ∪(0，＋∞)
4 (2024宿州砀山七校期中联考)对于任意的x，y∈R，定义运算：x⊙y＝x(y＋2).若不等式x⊙(x＋a)＋4>0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－2，6) B. (－6，2)
C. (－6，6) D. (－2，2)
5 (2024南菁高级中学月考)若关于x的不等式x2－(1＋2a)x＋2a<0的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A. [－2，－1)∪(3，4]
B. [－2，－1]∪[3，4]
C. ∪
D. ∪
6 (2024常州横山桥高级中学月考)“ x∈[－1，2]，x2－2a≤0”的一个充分且不必要条件是(　　)
A. a≥0 B. a≥1
C. a≥2 D. a≥3
二、 多项选择题
7 (2024盐城陈洋中学期中)若不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意的x∈R恒成立，则下列说法中正确的是(　　)
A. b2－4c＋4≤0 B. b≤0
C. c≥1 D. b＋c≥0
8 设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0}，则下列说法中正确的有(　　)
A. 当a＞0时，若A∩B中恰含有一个整数，则a∈
B. 若A∩B＝ ，则a∈
C. 若A∪B＝R，则a∈
D. a∈R，有A∪B≠R
三、 填空题
9 (2024广州五中期中)已知关于x的不等式ax2＋(2－4a)x－8>0，则当a>0时，不等式的解集为________．
10 (2024南京励志高级中学调研)已知关于x的不等式x2－2ax－a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
11 (2024上海大同中学期末)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax<0的解集是区间(0，1)的真子集，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024广州期中)设函数y＝ax2＋x－b(a∈R，b∈R).
(1) 若b＝1，且集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；
(2) 解关于x的不等式y<(a－1)x2＋(b＋2)x－2b.
13 (2024安阳龙安高级中学期中)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0).
(1) 若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求实数k的值；
(2) 若关于x的不等式kx2－2x＋6k<0恒成立，求实数k的取值范围．
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(1)
1. B　由表格可知，函数过点(－2，0)，(3，0)，(0，－6)，可设二次函数为y＝a(x＋2)(x－3).将(0，－6)代入，得－6a＝－6，即a＝1，即y＝(x＋2)(x－3)，故(x＋2)(x－3)>0，解得x<－2或 x>3.
2. B　由－6x2－5x＋6>0，得6x2＋5x－6<0，即<0，解得－0的解集为.
3. D　由≥0，得解得x≥或x<－1，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪.
4. B　因为|x－2|>3，所以x－2<－3或x－2>3，解得x<－1或x>5，所以不等式|x－2|>3的解集为{x|x<－1或x>5}．因为x2－5x－6>0，所以(x－6)(x＋1)>0，解得x<－1或x>6，所以不等式x2－5x－6>0的解集为{x|x<－1或x>6}．又{x|x<－1或x>6}是{x|x<－1或x>5}的真子集，所以“|x－2|>3”是“x2－5x－6>0”的必要且不充分条件．
5. C　因为不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，所以a＝b>0，所以不等式>0等价于>0，即(x＋1)·(x－2)>0，解得x<－1或x>2，所以关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>2}．
6. A　由题意知，a，a2，a3是一个三角形的三边长，故有a>0，所以即解得故7. ABD　对于A，不等式x2－12x＋20>0的解集为{x|x<2或x>10}，故A正确；对于B，不等式x2－5x＋6<0的解集为{x|20的解集为，故C错误；对于D，不等式－2x2＋2x－3>0，即＋<0，解集为 ，故D正确．故选ABD.
8. AD　由≤1，得(x－2)(x＋2)≤0(x≠2)，解得－2≤x<2，所以使得≤1成立的一个充分且不必要条件是[－2，2)的真子集即可，结合选项可知A，D符合．故选AD.
9. {x|010. {x|x<1或x>2}　(－∞，1]　由题意，得A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或 x>2}，B＝{x|x11. －　由题意，易知－2，7是ax2＋bx＋1＝0的两个根，则解得对于y＝x2＋bx＋a，其所有零点之和为－b＝－.
12. (1) 因为Δ>0，方程2x2＋3x－2＝0的根是x1＝，x2＝－2，
所以不等式2x2＋3x－2>0的解集为{x|x<－2或x>}．
(2) 因为Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
所以不等式x2－4x＋4>0的解集为{x|x≠2}．
(3) 原不等式可化为x2－2x＋3>0，
因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，
所以不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.
13. (1) <0等价于(x－3)(x＋7)<0，解得－7(2) 由<1，得－1<0，即<0，等价于(x－10)(x＋7)<0，解得－73．3.2　从函数观点看一元二次不等式(2)
1. D　由题意，得x＝1和x＝3是方程ax2＋bx－3＝0的根，且a<0，则解得a＝－1，b＝4，所以b－a＝5.
2. A　由题意，得a2＋1a2＋1，即a2－2a－3<0，解得－13. C　由(x－a)(x－3－a)≤0可得a≤x≤a＋3.因为“－14. C　设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，＝，所以y＝40－x.因为xy≥300，所以x(40－x)≥300，即x2－40x＋300≤0，解得 10≤x≤30.
5. A　由题意，得x＝－1和x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，且a<0，则解得a＝－1，b＝1，所以不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0，解得－16. D　由题意可得(40＋x)(300－5x)>12 495，整理，得x2－20x＋99<0，解得97. BD　设x h后蓄水池中的水量为y t，则y＝400＋60x－120.设＝u，则u2＝6x(u∈[0，12])，所以y＝400＋10u2－120u＝10(u－6)2＋40.因为u∈[0，12]，所以当u＝6，即x＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6个小时时，蓄水池中的存水量最少，为40 t，故A错误，B正确；令400＋10u2－120u＞80，即u2－12u＋32＞0，解得u＜4或u＞8，所以0≤x＜或＜x≤24，故C错误；由400＋10u2－120u＜80，得8. BD　由题意知，x＝－3和x＝2是方程ax2＋bx－6＝0的两个实数根，则解得a＝1，b＝1，故A，C错误，B正确；不等式x2－bx－2a≥0，即x2－x－2≥0，可得解集为{x|x≤－1或x≥2}，故D正确．故选BD.
9. (1，＋∞)　因为不等式≥0的解集为[－1，1)，所以＝－1，c＝1，且a<0.由ax＋b<0可得x>－，即x>1，所以不等式ax＋b<0的解集为(1，＋∞).
10. {x|－3＜x＜3}　－3　由题意，得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－3＜x＜3}．由根与系数的关系可得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.
11. [45，65]　设每件衬衫提价x元，则每件衬衫的售价为(40＋x)元，则每天出售衬衫的净收入(单位：元)为(40＋x－30)(40－x)＝－(x－15)2＋625.由题意，得－(x－15)2＋625≥525，整理，得(x－25)(x－5)≤0，解得5≤x≤25，所以45≤40＋x≤65.故每件衬衫的售价的取值范围是[45，65].
12. (1) 因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)，
所以a>0，且x＝1和x＝2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
则－＝3，＝2，所以b＝－3a，c＝2a，
所以不等式bx＋c>0可化为－3ax＋2a>0.
因为a>0，所以－3x＋2>0，解得x<，
所以不等式bx＋c>0的解集为.
(2) 由(1)知，b＝－3a，c＝2a，
则不等式cx2＋bx＋a<0可化为2ax2－3ax＋a<0.
因为a>0，所以2x2－3x＋1<0，即(2x－1)(x－1)<0，解得所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
13. (1) 由题意，得y＝50x－(2x2＋10x)－98＝－2x2＋40x－98，x>0.
由－2x2＋40x－98≥52，得x2－20x＋75≤0，解得5≤x≤15，
所以该设备使用5年后，盈利总额开始达到52万元以上．
(2) 由(1)可得平均盈利额为＝－2＋40≤－2×2＋40＝12，
当且仅当x＝，即x＝7时，等号成立，
所以该设备使用7年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为12万元．
3．3.2　从函数观点看一元二次不等式(3)
1. A　由题意，得若m＝0，则x>0，不符合题意；若m≠0，则解得m>.综上，实数m的取值范围为.
2. A　方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为x＝m和x＝－n.因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n3. D　令y＝2kx2－2x－5k－2，当k＞0时，开口向上的抛物线与x轴的两个交点，一个在点(1，0)的左边，一个在点(1，0)的右边，所以当x＝1时，y＜0，即2k－2－5k－2＜0，解得k＞－，所以 k＞0；当k＝0时，y＝0只有一个实根，不符合题意；当k＜0时，开口向下的抛物线与x轴的两个交点，一个在点(1，0)的左边，一个在点(1，0)的右边，所以当x＝1时，y＞0，即2k－2－5k－2＞0，解得k＜－.综上所述，实数k的取值范围是∪(0，＋∞).
4. B　由题意，得x⊙(x＋a)＋4＝x(x＋a＋2)＋4＝x2＋(a＋2)x＋4>0对任意实数x恒成立，则Δ＝(a＋2)2－16<0，解得－65. C　由x2－(1＋2a)x＋2a<0可得(x－1)(x－2a)<0，当a＝时，(x－1)(x－2a)＝(x－1)2≥0，则原不等式无解，不满足题意；当a>时，解得16. D　若 x∈[－1，2]，x2－2a≤0，则a≥对任意x∈[－1，2]恒成立，即a≥.由x∈[－1，2]可得0≤x2≤4，所以0≤≤2，所以a≥2.因为{a|a≥3}是{a|a≥2}的真子集，所以D符合题意．
7. ACD　x2＋bx＋c≥2x＋b可化为x2＋(b－2)x＋c－b≥0，则Δ＝(b－2)2－4(c－b)＝b2－4c＋4≤0，故A正确；当b＝1，c＝2时，满足Δ≤0，即原不等式成立，故B错误；由Δ≤0，得c≥＋1，所以c≥1，故C正确；b＋c≥＋b＋1＝≥0，故D正确．故选ACD.
8. ABD　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x<－3或x>1}，函数y＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a，当a＞0时，若x＝－3，则y＝6a＋8>0，根据对称性知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以当x＝2时，y＝4－4a－1≤0，且当x＝3时，y＝9－6a－1＞0，所以≤a<，故A正确；在函数y＝x2－2ax－1中，Δ＝4a2＋4＞0.因为A∩B＝ ，所以对称轴x＝a∈(－3，1)，当x＝－3时，y＝9＋6a－1≥0，且当x＝1时，y＝1－2a－1≥0，所以a∈，故B正确；因为函数y＝x2－2ax－1的图象开口向上，若 A∪B＝R，则当x＝－3时，y＝9＋6a－1≤0，且当x＝1时，y＝1－2a－1≤0，所以a不存在，故D正确，C错误．故选ABD.
9. ∪(4，＋∞)　由ax2＋(2－4a)x－8>0，得(ax＋2)(x－4)>0.因为a>0，所以(x－4)>0，解得x>4或x<－，所以不等式的解集为∪(4，＋∞).
10. (－1，0)　因为关于x的不等式x2－2ax－a>0的解集为R，所以Δ＝4a2＋4a<0，解得－111. [0，1)　不等式x2－ax<0可化为x(x－a)<0，当a>0时，不等式的解集为(0，a)，由不等式的解集是区间(0，1)的真子集，可得012. (1) 由题意，得y＝ax2＋x－1(a∈R).
因为集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，
所以方程ax2＋x－1＝0有且仅有一个根．
当a＝0时，x－1＝0，即x＝1，则{x|y＝0}＝{1}，满足题意；
当a≠0时，Δ＝1＋4a＝0，即a＝－，则{x|y＝0}＝{2}，满足题意，
所以实数a的取值集合为.
(2) 由题意，得ax2＋x－b<(a－1)x2＋(b＋2)x－2b，整理，得(x－b)(x－1)<0，
当b<1时，解得b当b＝1时，无解；
当b>1时，解得1综上，当b<1时，原不等式的解集为{x|b1时，原不等式的解集为{x|113. (1) 由题意，得x1＝－3和x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两个实数根，
则(－3)＋(－2)＝，解得k＝－.
(2) 由题意，得k<0且Δ＝(－2)2－4×k×6k<0，解得k<－.
故实数k的取值范围是.