河北省邯郸市大名县第一中学2017届高三上学期第一次月考数学（理）试题

高三月考数学试题
命题范围：函数、三角函数、平面向量
（2016年8月）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1
B．2
C．3
D．4
2、若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|等于
(
)
A.
B.
C.
D．1
3、
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
1个或2个或3个
4、函数f(x)＝2x－x－的一个零点所在的区间是(　　)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
5、已知命题甲：a＋b≠4，命题乙：a≠1且b≠3，则命题甲是命题乙的（
）条件．
A充分不必要
B必要不充分
C充分必要
D既不充分也不必要
6、将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝f(x)·sinx的图象，则f(x)的表达式可以是(　　)
A．f(x)＝－2cosx
B．f
(x)＝2cosx
C．f(x)＝sin2x
D．f(x)＝(sin2x＋cos2x)
7、△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　)
A.
B.
C.
D.
8、曲线
与直线
所围成的封闭图形的面积为（
）
A
1
B.
C
D
9、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的（
）
A外心
B内心
C重心
D垂心
10、若时，不等式恒成立，则a的取值范围为（
）
A.
（0，1）
B.
（1，2）
C.
（1，2]
D.
[1，2]
11、已知定义在R上的奇函数f(x)满足
( http: / / www.21cnjy.com )f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则
(
　)
A．f(－25)B．f(80)C．f(11)D．f(－25)12、若函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C．(－∞，0]
D.
二
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13、已知f(x+199)=4x＋4x+3
( http: / / www.21cnjy.com )(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为_
_
14、已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝_
_
15、求值
。
16、给出定义：若m－①y＝f(x)的定义域是R，值域是；
②点(k,0)是y＝f(x)的图象的对称中心，其中k∈Z；
③函数y＝f(x)的最小正周期为1；
④函数y＝f(x)在上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是________．
三．解答题
17、（本题10分）已知z
( http: / / www.21cnjy.com )是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
18、（本题12分）已知函数．
(Ⅰ)
求的最小正周期；
(Ⅱ)
求在区间上的最小值．
19、（本题12分）已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
20、（本题12分）的内角，，所对的边分别为，，．
向量与平行．
（I）求；
（II）若，求的面积．
21、（本题12分）函数f(x
( http: / / www.21cnjy.com ))的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
22、（本题12分）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣2（e是自然对数的底数a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若k为整数，a=1，且当x＞0时，恒成立，其中为的导函数，求k的最大值．
高三月考理科数学答案（8月13日）
1--6
DABBDB
7--12
BCBCDD
13、2
14、-3
15、3/2
16、
17、解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i.
由题意得x＝4，∴z＝4－2i.
∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，
∴解得2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是(2,6)．
18、【答案】（1），（2）
【解析】
(Ⅰ)
(1)的最小正周期为；
(2)，当时，取得最小值为：
19、解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．
20、【答案】（I）；（II）．
【解析】（I）因为，所以，
由正弦定理，得
又，从而，
( http: / / www.21cnjy.com )
从而，
又由，知，所以.
故
所以的面积为.
21、解　(1)令x1＝x2＝1，
有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.[2分]
(2)f(x)为偶函数，证明如下：[4分]
令x1＝x2＝－1，
有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．[7分]
(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.[8分]
由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，
变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(
)
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
∴不等式(
)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．[9分]
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.
解得－≤x<－或－∴x的取值范围是{x|－≤x<－或－22、分析：
（1）求出导数，讨论a≤0，a＞0，求出函数的增区间；
（2）运用参数分离可得k＜+x，令g（x）=+x（x＞0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值．
解答：
解：（1）f′（x）=ex﹣a．
若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，
若a＞0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上单调递增．
综上，当a≤0时，f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f（x）的增区间为（lna，
+∞）；
（2）由于a=1，所以f′（x）＜1 （k﹣x）（ex﹣1）＜x+1，
当x＞0时，ex﹣1＞0，故（k﹣x）（ex﹣1）＜x+1 k＜+x﹣﹣﹣﹣①，
令g（x）=+x（x＞0），则g′（x）=+1=
函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，
即g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，
设此零点为a，则a∈（1，2）．
当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0；
所以，g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（a）．由g′（a）=0可得ea=a+2，
所以，g（a）=a+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（a）．
故整数k的最大值为2．