(共23张PPT)
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 距离问题
学习目标
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面间的距离问题.(重点)
2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
导语
立交桥是伴随着高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景.在设计过程中，工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师是如何计算出来的？
新知探究
一、点到直线的距离
问题1 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.请找出向量在直线l上的投影向量其模为多少？如何利用这些条件求点P到直线l的距离？
提示 如图，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u. ||=|(a·u)u|=|a·u|，在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为
PQ==.
知识梳理
点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ==.
典例分析
典例 在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离.
方法一 连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，
∴=(-2，0，2)=(-2，3，0)，
∴·=(-2，0，2)·(-2，3，0)=4，
取a==(-2，0，2)，u==
∴a·u=∴O1到直线AC的距离d==.
方法二 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，
设D(x，y，0)，则=(x，y，-2)=(x-2，y，0).
∵=(-2，3，0)⊥∥
∴
∴D∴||==.
即O1到直线AC的距离为.
解
延伸探究
延伸探究1 在典例的条件下，M，N分别是O1A1，O1C1的中点，证明：MN∥AC，并求直线MN与AC的距离.
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，C(0，3，0)，M(1，0，2)，N
∴=(-2，3，0)==
∴∥
又MN与AC不重合，
∴MN∥AC，故点M到直线AC的距离即所求距离.
直线AC的单位方向向量u===(1，0，-2)，
∴点M到直线AC的距离
d===
所以直线MN与AC的距离为.
解
反思与感悟
(1)用向量法求点到直线的距离的一般步骤
①求直线的单位方向向量u.
②计算所求点与直线上某一点所构成的向量a.
③利用公式d=.
(2)如果求空间中两条平行直线l，m间的距离，可在其中一条直线(如l)上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到另一条直线m的距离求解.
新知探究
二、点、直线、平面到平面的距离
问题2 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何利用向量与n求点P到平面α的距离？
提示 过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，向量在向量n上的投影向量为借助数量积运算可知||=向量的长度与P到平面α的距离相等，故点P到平面α的距离为PQ=.
知识梳理
点到平面的距离
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=.
实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.
延伸探究
延伸探究 (课本例6) 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
(1)以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，EF
所以=(0，1，0)=(-1，1，-1)，=
===.
取a==(0，1，0)，u==(-1，1，-1)，则a2=1，a·u=.
所以，点B到直线AC1的距离为==.
(2)因为==所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1.
所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离.
设平面AEC1的法向量为n=(x，y，z)，
则
所以
取z=1，则x=1，y=2.
解
所以，n=(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量.
又因为=
所以点F到平面AEC1的距离为
==.
即直线FC到平面AEC1的距离为.
解
延伸探究
延伸探究 在典例的条件下，E，F分别为AB，BC的中点.求点O到平面O1EF的距离.
建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，0，2)，
EF(1，3，0)，
∴==
设平面O1EF的法向量为n=(x，y，z)，
则
取y=2，则x=3，z=∴n=又=(0，0，2)，
∴点O到平面O1EF的距离为==.
延伸探究
延伸探究 在典例及延伸探究1，2的条件下，证明平面BMN∥平面O1EF，并求两平面的距离.
建立如图所示的空间直角坐标系，则M(1，0，2)，NB(2，3，0)，
∴==(-1，-3，2)，
设平面BMN的法向量为m=(a，b，c)，则
取b=2，则a=3，c=
∴m==n，
∴平面BMN∥平面O1EF，
∴点M到平面O1EF的距离与两平面的距离相等，
由延伸探究3知，所求距离为.
反思与感悟
(1)用向量法求点面距离的步骤
①建系：建立恰当的空间直角坐标系.
②求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.
③求向量：求出相关向量的坐标(α内两不共线向量，平面α的法向量n).
④求距离d=.
(2)如果直线l∥平面α，求直线l到平面α的距离，可在直线l上任取一点P，则点P到平面α的距离等于直线l到平面α的距离.
(3)如果两个平面α，β互相平行，求这两个平行平面的距离，可在其中一个平面α内任取一点P，则点P到平面β的距离等于这两个平行平面的距离.
课堂小结
随堂演练
1.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为
A. B.1 C. D.2
√
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是
A. B. C. D.
√
3.已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为
A. B. C. D.
√
4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C1到平面ACD1的距离
为 .
课后作业
步步高练透137页 作业10
1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写）(共21张PPT)
1.4.2 课时2 空间中的夹角问题
1. 能用向量方法求线线角、线面角、面面角.
2. 能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系.
立体几何中的角度问题
01 求异面直线所成的角
02 求直线与平面相交所成的角
03 求两个平面相交所成的二面角
思考：在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
例1 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中， ， 分别为 ，的中点．求直线 与夹角的余弦值.
分析：异面直线与的夹角
向量与的夹角
想一想：如何表示向量
会比较方便计算夹角？
方法2 建立空间直角坐标系
方法1 选择空间的一个基底
1.向量法
解：以{，}基底，则
设向量与的夹角为，
则直线与夹角的余弦值等于.
又因为和均为等边三角形，
所以
所以直线夹角的余弦值等于
2.坐标法
取中点，过作⊥平面，
以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
也是一种特殊的
基底
思考：如何将上面求解异面直线AM 与CN 夹角问题的方法应用到一般情况呢？
问题1 如何用空间向量求两条直线的夹角？
’
从高维向低维转化的思想
1.两条直线夹角的取值范围是什么？
2.两条直线的夹角与它们方向向量的夹角有什么关系？
问题2 如何用空间向量求直线与平面所成的角？
1.直线与平面所成角的取值范围？
//
是的斜线
l
l
l
A
B
C
2.直线与平面所成的角有什么关系？
B
C
二面角的大小用它的平面角来度量.
α
β
l
在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角．
α
β
l
3. 二面角的大小是如何度量的？
4. 二面角的平面角是如何定义的？
α
β
6.两个平面夹角的取值范围是什么？
5.两个平面夹角与这两个平面形成的二面角有何关系？
平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.
α
β
l
α
β
l
问题3 如何用空间向量求平面与平面所成的角？
范围
图形
公式
异面直线
所成角
直线与平
面所成角
平面与平
面所成角
角的类型
知识归纳
例2 如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，， ．求平面与平面夹角的余弦值.
解：以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角．
因为平面，
因为，，，
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为
又
所以
所以， ．
取 (3，4，2),
求平面与平面夹角的余弦值.
用空间向量求平面与平面的夹角的步骤与方法：
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
①转化为求平面，的法向量，的夹角
③平面与平面夹角的余弦值
方法归纳
本节课你学到了哪些知识与方法？
几何问题
向量问题
向量运算
几何解释
1.已知点A(0，1，1)，B(2，-1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )
A
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
C
3.已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为 .
45°(共20张PPT)
1.4.2 课时3 空间向量在立体几何中的综合应用
1.进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用，并能灵活运用综合法、向量法、坐标法解决立体几何中的距离、角度等问题.
范围
图形
公式
异面直线
所成角
直线与平
面所成角
平面与平
面所成角
角的类型
立体几何中的角度问题：
例1.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的夹角均为已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度取，精确到).
分析：①降落伞匀速下落时8根绳子拉力的合力的大小=礼物重力的大小
②8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量.
想一想：现在你能求解出每根绳子拉力的大小吗
用空间向量解决实际问题，综合问题
例1.图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的夹角均为已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度取，精确到).
解：如图，设水平面的单位法向量为，其中一根绳子的拉力为.
因为，所以在上的投影向量为.
所以8根绳子拉力的合力
又因为降落伞匀速下落，所以
所以
所以
例2.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求平面与平面的夹角的大小.
问1：要证明线面平行、 线面垂直你能想到哪些方法？
问2：它们的夹角是哪个角，如何求解会比较方便？
【分析】对于问题(1)、(2)：直线与平面平行和垂直的判定，问题(3)：计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题．
例2.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求平面与平面的夹角的大小.
解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
向量法
设.
(1)证明：连接，交于点，连接.
例2.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.
(1)求证：平面；
(1)证明：连接，交于点，连接.
依题意得.
因为底面是正方形，所以点是它的中心，
故点的坐标为，且，.
所以，即.
而平面，且平面，因此平面.
例2.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.
(2)求证：平面；
(2)证明：依题意得.
又，故
所以.
由已知，且，所以平面.
(3)求平面与平面的夹角的大小.
(3)已知，由(2)可知，故是平面与
平面的夹角.由(2)可知点的坐标为，则.
因为，所以
即.设，
则.所以，点的坐标为.
又点的坐标为，所以.
所以.
所以，即平面与平面的夹角大小为.
讨论：在例1，例2的问题解决中，我们用到了哪些方法，结合以下框图，谈谈你的收获？
用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素
进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系
把运算结果“翻译”成相应的几何意义
解决立体几何中的问题，可用三种方法：
综合法、向量法、坐标法，三种方法都有各自的特点.
①综合法以逻辑推理作为工具解决问题；
②向量法利用向量的概念及其运算解决问题；
③坐标法经常与向量法结合起来使用；
对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法.
知识归纳
如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.
(1)求证：平面 ；
(2)若求二面角的正弦值.
(1)证明：由已知得，平面，平面，
故.又，，所以平面.
(2)由(1)知.由题设知，
所以，故
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
练一练
(2)若求二面角的正弦值.
(2)则，，，，，
，.
设平面的法向量为，
则即
所以可取.
设平面的法向量为，
则即
所以可取
于是.
所以二面角的正弦值为.
利用向量法求两个平面夹角的步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)确定两平面夹角的大小.
方法再现
用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素
进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系
把运算结果“翻译”成相应的几何意义
解决立体几何中的问题，可用三种方法：
1.综合法；
2.向量法；
3.坐标法．
1.
