(共46张PPT)
11.2 正弦定理
第2课时 正、余弦定理的综合问题
探究点一 利用余弦定理、正弦定理解三
角形
探究点二 判断三角形的形状
探究点三 三角形面积公式的应用
【学习目标】
1.熟练利用正余弦定理结合三角恒等变换解三角形.
2.理解三角形面积公式并能结合正余弦定理解较复杂的三角形问题.
知识点一 三角形中边与角之间的关系
1.利用余弦定理和正弦定理进行边角转化
（1）_________；_________； _________.
（2）___，___，__,其中为 的
外接圆半径.
2.在中，内角，，所对的边分别为，， .
（1）若，则， 为______三
角形；
（2）若，则， 为______三
角形；
钝角
直角
（3）若且且 ，则
， ，
， 为______三角形.
锐角
3.射影定理
在中，___； ___；
__.
【诊断分析】
若的三边满足，则 为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
[解析] 设，，，其中 ，
则 ，故A是锐角，
由，得，所以 是锐角三角形．
√
知识点二 三角形的面积公式
1.已知的内角，，的对边分别为，，，则
__________________ _________.
2.三角形中常用的结论
（1）在三角形中大边对大角，反之亦然；
（2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）已知三角形的三边长为,,,内切圆的半径为 ,则三角形的面积
.( )
×
[解析] 因为一个三角形可以分割成三个分别以,, 为底,
内切圆的半径为高的三角形,
所以三角形的面积 .
（2）在中,若,,则 .( )
×
[解析] 由,得,
所以, 所以 或 .
（3）在中,若,, ,则 的面积是6.( )
√
[解析] 的面积 .
（4）在中,若,则 .( )
×
[解析] 在中,若,则或 ,
即或 .
2.到目前为止,你知道的三角形的面积公式有几种形式
解：有三种形式:
①底乘高的一半;
②正弦定理的应用（即两边乘夹角正弦的一半）;
③海伦公式(设的三边分别为 ，
则 ).
探究点一 利用余弦定理、正弦定理解三角形
例1（1） 在中,内角,,的对边分别是,, ,已知
,且,则 ( )
A.9 B.6 C.3 D.18
[解析] 在中,由 及正弦定理得
,
由余弦定理得 ,
即,可得,
又 ,所以,所以 .故选A.
√
（2）在中,,求 的值.
解： ,
由正弦定理可得,, ,
由余弦定理可得 .
变式1 已知的内角,,的对边分别为,, ,若
,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ,
由正弦定理得,即 ,
由余弦定理得,又, .故选B.
√
变式2 在中，内角，，的对边分别为，， ，已知
.
（1）求角 的大小；
解：因为 ，所以由正弦定理得
，
所以 ，
又，所以，又，所以 .
（2）若，，求 的值.
解：由余弦定理得，即，所以 .
［素养小结］
求三角形中的一些基本量,主要指求三角形的三边、三角等,它的实质
是将几何问题转化为代数问题,解题关键是正确分析边角关系,依据题
设条件合理地设计解题步骤,利用三角形内角和定理、正弦定理及余
弦定理等进行边角关系的互化.
拓展 在中，已知，，，点
是的平分线与边 的交点.
（1）求 的值；
解：因为， ，所以 ，
所以为锐角，所以 ，
所以 .
（2）求 的长.
解：在中，由正弦定理得 ，
即，所以， .
因为点是的平分线与边的交点，所以 ，
又，所以， .
在 中，由余弦定理得
，所以 .
探究点二 判断三角形的形状
例2 在中，已知 ，判断
的形状．
解：方法一：由 ，得
，即 ，
由正弦定理得， ，
由余弦定理得 ，
，
整理得，即 ，
或 ， 是等腰三角形或直角三角形．
方法二：由 ,
得 ，
由正弦定理得，
，， ,
，即 ．
，是三角形的内角，或 ，
即 或， 是等腰三角形或直角三角形．
变式 在中，内角，，的对边分别为，， ，若
，判断 的形状.
解：，， ，
， .
方法一：结合正弦定理得 ，
即， ，
，， 为等腰三角形．
方法二：结合余弦定理得 ，
，， ，
为等腰三角形．
［素养小结］
判断三角形形状通常是根据正弦定理或余弦定理将已知条件变换成
只含边或只含角的式子．主要有以下两种途径：（1）在变换时，可
用正弦定理的变形，， 化边为角，
再用相关的三角公式加以解决；（2）也可用正弦定理的变形
,, 和余弦定理化角为边，再通过熟知的
代数式加以解决．要注意等式化简过程中出现的公因式不能随便约
去，因为其中可能包含着三角形形状的重要信息．
探究点三 三角形面积公式的应用
例3 [2024·江苏连云港期末] 在中，内角,, 的对边分别为
，，，且 .
（1）求角 的大小；
解：由 ，
结合正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 .
（2）若，的面积为，求 的值.
解：因为的面积为，且， ，
所以，解得 .
变式 在中，内角，，所对的边分别为，， ，已知
，，若的面积为，求， .
解：由余弦定理及已知条件，得，
因为 的面积为，所以，即 .
由可得
［素养小结］
三角形的面积公式，， 中含
有三角形的边角关系，因此求三角形的面积与解三角形有密切的关系．
1.运用正、余弦定理解三角形分为四种类型：
（1）已知两角和任一边：这种类型应先利用三角形的内角和定理求
出第三个角，再利用正弦定理求另外两边.
（2）已知两边和其中一边的对角：这种类型应先利用正弦定理求出
另一边的对角，再利用三角形的内角和定理及正弦定理或余弦定理
求出第三边和第三个角.
（3）已知三边：这种类型应先利用余弦定理求出两个角，再由三角
形的内角和定理求出第三个角.
（4）已知两边及其夹角：这种类型应先利用余弦定理求出第三边，
再利用正弦定理或余弦定理求出另外两角.
2.三角形的面积公式
（1）已知的两边,及其夹角,则的面积为 .
（2）已知三边,先用余弦定理求出一个角,再应用面积公式;
（3）已知两边及一边的对角,先用正弦定理求出另一边的对角,再用
三角形的内角和定理求已知两边的夹角，最后应用面积公式;
（4）已知一边及两角,先用三角形的内角和定理求出第三个角，再用
正弦定理求边,最后应用面积公式.
3.将余弦定理的表达式变形为方程的形式，如
，可将其视为以 为未知数的一元二次方程
，与一元二次方程的有关知识综合使用
便可使余弦定理的应用更加灵活.将正弦定理变形得 ，
，，其中为 外接圆的半径，结合余
弦定理，得 等，它们是由
三角函数表达的，叫作余弦定理的三角式，应用这些公式解决某些
三角形问题，可以避开烦琐的边角转化运算，简化解题过程.
1.已知两边及一角解三角形的方法:①当已知两边及它们的夹角时,先
用余弦定理求解第三边,再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外
两角;②当已知两边及其中一边的对角时,可用正弦定理求解,也可用
余弦定理求解,但都要注意对解的情况进行讨论.
例1 在中,内角,,所对的边分别为,,,若, ,
,则 的值为( )
A. B.
C.或 D.
√
[解析] 方法一:由正弦定理得.
, , 或 .
当 时, ,
；
当 时, ,
.故选C.
方法二:由余弦定理得,即 ,
即,解得或 .
2.判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关
系入手,从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关
系或求出角与角的关系或大小,从而作出准确判断.
例2 （多选题）[2024·福建宁德高一期中] 已知的内角 ，
，的对边分别为，， ，则下列说法中正确的有( )
A.若，则 为等腰三角形
B.若，则 为直角三角形
C.若，则 为钝角三角形
D.若，则
√
√
[解析] 对于A，在中，由及正弦定理得 ，
所以为等腰三角形，故A正确；
对于B，在 中，由，得或，
所以 不一定是直角三角形，故B不正确；
对于C，由 ，
得，
所以 ，即，
所以 ，所以角C为钝角，
所以为钝角三角形，故C正确；
对于D，由得 ，所以角B为锐角，则 ，
所以 ，
故D不正确. 故选 .
3.在解三角形时,要关注解三角形与三角恒等变换、多三角形中的几何
性质结合的综合问题.在求与三角函数有关的最值问题时，通过转化为
三角函数利用函数性质解决或者转化为边结合基本不等式解决问题.
例3 [2024·江苏吴江中学高一月考] 在中，为 的中点，且
.
（1）求 的值；
解：由 ，可得 ，
在中，由正弦定理得 ，所以 ，
在中，由正弦定理得 ，所以 ，
所以，因为为 的中点，所以，所以 .
（2）若，求 的值.
解：由（1）不妨设,,则, ,
在中，由余弦定理得 ,
在中，由余弦定理得 ,
所以 ,整理得 .
故 .
例4 在中，内角，，所对的边分别为，， ，已知
.
（1）求角 的大小；
解：在中，由正弦定理及 ，
得，即 ，
由余弦定理得，
又 ，所以 ．
（2）记的面积为，的周长为，若，求 的取值
范围．
解：由（1）知，，即 ，
所以 .
因为，当且仅当 时取等号，
所以，所以 ，
又，所以，所以 ，
故的取值范围为 .第2课时 正、余弦定理的综合问题
1.C [解析] 由题意及正弦定理可得8a=5c,令a=5k(k>0),则b=7k,c=8k,
所以cos B===,因为B∈(0°,180°),所以B=60°.故选C.
2.B [解析] 由题意及正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶4,设a=2k,b=3k,c=4k,k>0,
则cos C===-.故选B.
3.B [解析] 由题意得cos A==,∴sin A==,∴边AC上的高为AB·sin A=.故选B.
4.B [解析] 方法一:因为acos B+bcos A=a,所以a×+b×=a,整理得c=a,所以△ABC是等腰三角形.故选B.
方法二:由acos B+bcos A=a及正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=sin A,即sin(A+B)=
sin A,所以A+B+A=π,可得A=C,所以△ABC是等腰三角形.故选B.
5.D [解析] 由2sin A=3sin B及正弦定理可得2BC=3AC,又AB=2AC,所以AC∶BC∶AB=2∶3∶4,不妨设AC=2k,BC=3k,AB=4k,k>0,由余弦定理得cos C==-.故选D.
6.B [解析] 因为S=accos B=acsin B,所以cos B=sin B,所以tan B=,又B∈(0,π),所以B=.因为a=4,b=12,所以由正弦定理得=,可得sin A===,又a
7.C [解析] 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,因为a2+c2-b2+2ac=2bcsin A,所以2accos B+2ac=2bcsin A,所以acos B+a=bsin A,由正弦定理得sin Acos B+sin A=
sin Bsin A,又A∈(0,π),所以sin A>0,所以cos B+1=sin B,又sin2B+cos2B=1,所以cos B=0,又B∈(0,π),所以B=.故选C.
8.ABC [解析] 由余弦定理可得cos A==,所以b2+c2-bc=9≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时取等号,所以S△ABC=bcsin A≤.故选ABC.
9.ACD [解析] 对于A,在△ABC中,过点A作AD⊥BC于点D,则BC=BD+CD,即a=ccos B+bcos C,故A正确;对于B,由a20,结合A∈(0,π),可知A为锐角,但不能确定B,C的大小,故不能确定△ABC为锐角三角形,故B错误;对于C,若sin A>sin B,由正弦定理可得a>b,则A>B,故C正确;对于D,若cos A>sin B,因为
sin B>0,所以cos A>0,所以A为锐角,若B为锐角,则cos A>cos,可得A<-B,则A+B<,所以C>,故△ABC为钝角三角形,若B为钝角,则cos A>cos,可得AA+,符合题意,此时△ABC为钝角三角形,故D正确.故选ACD.
10.1 [解析] =====1.
11.2 [解析] ∵S△ABC=acsin B=×1×c×=,∴c=2,
∴b2=a2+c2-2accos B=1+4-2×1×2×=3,∴b=,∴===2.
12. [解析] 因为C=2B,所以sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理可得c=2bcos B,由余弦定理可得c=2b×=,所以c=,整理得(-2)c2=6,所以c=,即AB的长为.
13.解:(1)由=,整理可得bc=b2+c2-a2,
由余弦定理可得cos A===,
∵0(2)证明:由b-c=a及正弦定理得sin B-sin C=sin A=,
∴sin B-sin=sin B-cos B-sin B=sin B-cos B=sin=.
∵B∈,∴B-∈,∴B-=,
∴B=,∴△ABC是直角三角形.
14.解:(1)由题知asin B-acos B=b-c,
由正弦定理可得sin Asin B-sin Acos B=sin B-sin C,
因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin Asin B+cos Asin B=sin B,
又B∈(0,π),所以sin B≠0,所以sin A+cos A=,
整理得sin=.
因为A∈(0,π),所以A+∈,
所以A+=,所以A=.
(2)因为S△ABC=bcsin A=bc=,所以bc=4,
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=(6-a)2-12,解得a=2.
15.A [解析] 由asin A-bsin B=4csin C及由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2.由余弦定理得cos A====-,∴=6.故选A.
16.解:(1)由=及正弦定理得=,
整理可得b2+c2-a2=bc,
由余弦定理可得cos A===,
又A∈(0,π),所以A=.
(2)因为cos B=,且B∈(0,π),所以sin B==,
可得sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.
由正弦定理得=,则a==7,
因为BD为AC边上的中线,所以=(+),
所以=(+)2=(+2·+)=×=21,
所以AC边上的中线BD的长为.第2课时 正、余弦定理的综合问题
一、选择题
1.在△ABC中,若7a=5b,8sin A=5sin C,则B= ( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
2.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则cos C= ( )
A.- B.-
C.- D.
3.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为 ( )
A. B.
C. D.3
4.[2024·江苏连云港高一期中] 在△ABC中,若acos B+bcos A=a,则△ABC的形状是 ( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
5.在△ABC中,2sin A=3sin B,AB=2AC,则cos C= ( )
A. B.-
C. D.-
6.[2024·连云港中学高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若a=4,b=12,S=accos B,则A= ( )
A.或 B.
C. D.
7.[2024·河南濮阳高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2+c2-b2+2ac=2bcsin A,则B= ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2024·绍兴一中高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,A=,则△ABC的面积可能为 ( )
A. B.2
C. D.
9.(多选题)[2024·江苏武进高级中学期末] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法中正确的有 ( )
A.a=bcos C+ccos B
B.若a2C.若sin A>sin B,则A>B
D.若cos A>sin B,则△ABC为钝角三角形
二、填空题
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=5,c=6,则= .
11.在△ABC中,B=60°,a=1,S△ABC=,则= .
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,C=2B,则AB的长为 .
三、解答题
13.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
(1)求角A的大小;
(2)若b-c=a,证明:△ABC是直角三角形.
14.[2024·扬州一中高一月考] 已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,且a(sin B-cos B)=(b-c).
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积为,周长为6,求a的值.
15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则= ( )
A.6 B.5
C.4 D.3
16.[2024·南京六校高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
(1)求角A的大小;
(2)若cos B=,c=5,求AC边上的中线BD的长.第2课时 正、余弦定理的综合问题
【课前预习】
知识点一
1.(1) (2)a b c
2.(1)钝角 (2)直角 (3)锐角 3.①a ②b ③c
诊断分析
A [解析] 设a=2k,b=k,c=k,其中k>0,则cos A===>0,故A是锐角,由a>c>b,得A>C>B,所以△ABC是锐角三角形.
知识点二
1.absin C bcsin A acsin B
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)因为一个三角形可以分割成三个分别以a,b,c为底,内切圆的半径为高的三角形,所以三角形的面积S=ar+br+cr=(a+b+c)r.
(2)由S△ABC=bcsin A,得×2×2×sin A=,所以sin A=,所以A=60°或A=120°.
(3)△ABC的面积S=absin C=×6×4×sin 30°=6.
(4)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A=-B.
2.解:有三种形式:
①底乘高的一半;
②正弦定理的应用(即两边乘夹角正弦的一半);
③海伦公式.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A [解析] 在△ABC中,由sin Acos C=2sin Ccos A及正弦定理得
acos C=2ccos A,由余弦定理得a·=2c·,即a2+b2-c2=2(b2+c2-a2),可得a2-c2=,又a2-c2=3b,所以=3b,所以b=9.故选A.
(2)解:∵sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,
∴由正弦定理可得a∶b∶c=3∶5∶7,∴a=,c=,
由余弦定理可得cos C===-.
变式1 B [解析] ∵(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,∴由正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c-b),即b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A==,又A∈(0,π),∴A=.故选B.
变式2 解:(1)因为2bcos C+c=2a,
所以由正弦定理得2sin Bcos C+sin C=2sin A=2sin(B+C)=2sin Bcos C+2cos Bsin C,所以sin C=2cos Bsin C,
又sin C≠0,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=.
(2)由余弦定理得cos B=,即=,所以c=8.
拓展 解:(1)因为cos∠ACB=,sin A=,
所以sin∠ACB=>sin A,
所以A为锐角,所以cos A=,所以sin B=sin(A+∠ACB)=×+×=.
(2)在△ABC中,由正弦定理得==,
即==,所以AC=4,AB=3.
因为点D是∠ACB的平分线与边AB的交点,所以===2,又AD+BD=AB=3,所以AD=2,DB=1.
在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AD·ACcos A=16+4-2×2×4×=6,所以CD=.
探究点二
例2 解:方法一:由(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,得(a2+b2)(sin Acos B-
cos Asin B)=(a2-b2)(sin Acos B+cos Asin B),即a2sin Bcos A=b2sin Acos B,
由正弦定理得asin B=bsin A,∴acos A=bcos B,
由余弦定理得a×=b×,∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),整理得a4-a2c2+b2c2-b4=0,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b或a2+b2=c2,
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
方法二:由(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,
得a2sin Bcos A=b2sin Acos B,
由正弦定理得sin2Asin Bcos A=sin2Bsin Acos B,∵sin A≠0,sin B≠0,∴sin Acos A=
sin Bcos B,
∴2sin Acos A=2sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.
∵A,B是三角形的内角,∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
变式 解:∵·=bccos A,·=accos B,·=·,∴bccos A=accos B,∴bcos A=acos B.
方法一:结合正弦定理得sin Bcos A=sin Acos B,
即sin Acos B-cos Asin B=0,∴sin(A-B)=0,
∵-π方法二:结合余弦定理得b·=a·,
∴b2+c2-a2=a2+c2-b2,∴a2=b2,∴a=b,
∴△ABC为等腰三角形.
探究点三
例3 解:(1)由sin2A+sin2C=sin2B+sin Asin C,
结合正弦定理得a2+c2=b2+ac,
所以cos B===,
又0(2)因为△ABC的面积为3+,且a=2,B=,
所以×2c×sin=3+,解得c=+.
变式 解:由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4,因为△ABC的面积为,所以absin C=,即ab=4.
由可得第2课时 正、余弦定理的综合问题
【学习目标】
1.熟练利用正余弦定理结合三角恒等变换解三角形.
2.理解三角形面积公式并能结合正余弦定理解较复杂的三角形问题.
◆ 知识点一 三角形中边与角之间的关系
1.利用余弦定理和正弦定理进行边角转化
(1)cos A= ;cos B= ;cos C= .
(2)2Rsin A= ,2Rsin B= ,2Rsin C= ,其中R为△ABC的外接圆半径.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a2>b2+c2,则cos A=<0,△ABC为 三角形;
(2)若a2=b2+c2,则cos A==0,△ABC为 三角形;
(3)若a20,cos B=>0,
cos C=>0,△ABC为 三角形.
3.射影定理
在△ABC中,①bcos C+ccos B= ;②ccos A+acos C= ;
③acos B+bcos A= .
【诊断分析】 若△ABC的三边满足a∶b∶c=2∶∶,则△ABC为 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
◆ 知识点二 三角形的面积公式
1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则S△ABC= = = .
2.三角形中常用的结论
(1)在三角形中大边对大角,反之亦然;
(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知三角形的三边长为a,b,c,内切圆的半径为r,则三角形的面积S=(a+b+c)r. ( )
(2)在△ABC中,若c=b=2,S△ABC=,则A=60°. ( )
(3)在△ABC中,若a=6,b=4,C=30°,则△ABC的面积是6. ( )
(4)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则A=B. ( )
2.到目前为止,你知道的三角形的面积公式有几种形式
◆ 探究点一 利用余弦定理、正弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin Acos C=2sin Ccos A,且a2-c2=3b,则b= ( )
A.9 B.6
C.3 D.18
(2)在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,求cos C的值.
变式1 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则A= ( )
A. B.
C. D.
变式2 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bcos C+c=2a.
(1)求角B的大小;
(2)若a=5,b=7,求c的值.
[素养小结]
求三角形中的一些基本量,主要指求三角形的三边、三角等,它的实质是将几何问题转化为代数问题,解题关键是正确分析边角关系,依据题设条件合理地设计解题步骤,利用三角形内角和定理、正弦定理及余弦定理等进行边角关系的互化.
拓展 在△ABC中,已知sin A=,cos∠ACB=,BC=2,点D是∠ACB的平分线与边AB的交点.
(1)求sin B的值;
(2)求CD的长.
◆ 探究点二 判断三角形的形状
例2 在△ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,判断△ABC的形状.
变式 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若·=·,判断△ABC的形状.
[素养小结]
判断三角形形状通常是根据正弦定理或余弦定理将已知条件变换成只含边或只含角的式子.主要有以下两种途径:(1)在变换时,可用正弦定理的变形a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C化边为角,再用相关的三角公式加以解决;(2)也可用正弦定理的变形sin A=,sin B=,sin C=和余弦定理化角为边,再通过熟知的代数式加以解决.要注意等式化简过程中出现的公因式不能随便约去,因为其中可能包含着三角形形状的重要信息.
◆ 探究点三 三角形面积公式的应用
例3 [2024·江苏连云港期末] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2A+sin2C=sin2B+sin Asin C.
(1)求角B的大小;
(2)若a=2,△ABC的面积为3+,求c的值.
变式 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2,C=,若△ABC的面积为,求a,b.
[素养小结]
三角形的面积公式S=absin C,S=bcsin A,S=acsin B中含有三角形的边角关系,因此求三角形的面积与解三角形有密切的关系.