微突破(一) 三角形中的最值、范围问题
【典型例题】
例1 B [解析] 由正弦定理得==,所以BC===4.因为在锐角三角形ABC中,C=,所以0
所以tan B>,所以∈,所以4∈,即边BC的长的取值范围是.故选B.
例2 解:(1)∵sin Ccos=cos Csin,
∴sin Ccos+cos Csin=0,
∴sin=0.
∵0∴B+C+=π,即B+C=,∴A=.
(2)∵bc=16,∴由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=b2+c2-16,∴a==,∴a+b+c=+b+c≥+2=+8=12,
当且仅当b=c=4时,等号成立,
故△ABC的周长的最小值为12.
例3 [解析] 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,所以sin C=-cos A,所以cos=cos A,则A∈,C∈,得C+∈,所以+C=A,又A+B+C=π,所以B=π-A-C=-2C,所以sin B+2sin C=sin+2sin C=cos 2C+2sin C=-2sin2C+2sin C+1.根据二次函数的性质可知,当sin C=时,sin B+2sin C取得最大值,此时C=.
例4 解:(1)由asin=csin A,可得sin Asin=sin Csin A,即sin Acos=
sin Csin A,
因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以cos=sin C=2sincos,又∈,所以cos>0,
所以sin=,所以=,所以C=.
(2)由(1)知C=,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,
即4=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当a=b时,等号成立,所以ab≤4,则S△ABC=absin C≤×4×sin=,所以△ABC的面积的最大值为.微突破(一) 三角形中的最值、范围问题
1.D [解析] 依题意得5-32.C [解析] 因为B=,所以A+C=,即C=-A.因为△ABC为锐角三角形,所以即解得,所以0<<,所以<+<,所以的取值范围为.故选C.
3.B [解析] 在△ABC中,由c2=a(a+b),得c2-a2=ab>0,则c>a,所以C>A,所以04.ACD [解析] 对于A,因为4S△ABC=(a2+c2-b2),所以S△ABC=acsin B=(a2+c2-b2)=×2accos B,整理得tan B=,又B∈(0,π),所以B=,故A正确;对于B,因为B=,所以cos Acos C=cos Acos=cos A=sin Acos A
-cos2A=sin 2A-=sin-,又A∈,所以2A-∈,所以sin∈,所以cos Acos C的取值范围为,故B错误;对于C,因为D为边AC的中点,所以2=+,则4=(+)2=+2·+,可得12=a2+c2+2·=a2+c2+ac≥3ac,即ac≤4,当且仅当a=c=2时,等号成立,所以△ABC的面积的最大值为×4×=,故C正确;对于D,由题意得S△ABE+S△BCE=S△ABC,即c×BE×sin+a×BE×sin=c×a×sin,整理得2(a+c)=ac,即+=,可得a+4c=2(a+4c)=2≥2=18,当且仅当a=2c=6时,等号成立,故D正确.故选ACD.
5.(5,7) [解析] 因为△ABC是钝角三角形,最大边为c,所以C为钝角.在△ABC中,由余弦定理可得cos C==<0,所以c>5,又c6.解:(1)因为2bsin A=atan B,所以由正弦定理可得2sin Bsin A=sin Atan B=,
又A,B∈(0,π),所以sin A>0,sin B>0,所以2=,
即cos B=,所以B=.
(2)由(1)可知B=,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,又a+c=2b,即b=,
所以=a2+c2-ac,整理得(a-c)2=0,可得a=c,
所以△ABC为等边三角形.
(3)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac≥ac,所以ac≤7,当且仅当a=c=时,等号成立,
所以△ABC的面积的最大值为×7×=.
7.解:(1)由acos C+ccos A=2bcos B及正弦定理可得2sin Bcos B=sin Acos C+
cos Asin C=sin (A+C)=sin B,因为B∈(0,π),所以sin B>0,
所以cos B=,所以B=.
因为b=12,所以由余弦定理得144=b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c=12时,等号成立,所以S△ABC=acsin B=ac≤36,
故△ABC的面积的最大值为36.
(2)因为S△ABC=acsin B=ac=4,所以ac=16,
所以b===
=,
所以a+b+c=a+c+≥2+=8+=12,当且仅当a=c=4时,等号成立,故△ABC的周长的最小值为12.微突破(一) 三角形中的最值、范围问题
【知识综述】
三角形中的取值范围和最值问题一直是考试的热点和难点,解决此类问题要灵活运用三角形的性质和正弦定理及余弦定理、面积公式、三角恒等变换、基本不等式等知识,大多再与命题、函数、不等式等知识结合.
类型一 与边长或周长有关的最值或范围问题
例1 在锐角三角形ABC中,C=,AC=4,则边BC的长的取值范围是 ( )
A. B.
C.(2,+∞) D.
例2 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin Ccos=cos Csin.
(1)求角A的大小;
(2)若bc=16,求△ABC的周长的最小值.
类型二 与角有关的最值或范围问题
例3 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+2bcsin C,则当sin B+2sin C取得最大值时,C= .
类型三 与面积有关的最值或范围问题
例4 [2024·江苏无锡高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asin=csin A.
(1)求角C的大小;
(2)若c=2,求△ABC的面积的最大值.微突破(一) 三角形中的最值、范围问题
1.在△ABC中,a=3,b=5,A.(2,8) B.(1,4)
C.(4,+∞) D.(2,4)
2.[2024·泰州中学高一月考] 已知△ABC为锐角三角形,B=,则的取值范围为 ( )
A. B.(,2)
C. D.
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=a(a+b),∈,则A的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
4.(多选题)[2024·南京六校高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,4S△ABC=(a2+c2-b2),则下列说法正确的是 ( )
A.B=
B.cos Acos C的取值范围是
C.若D为边AC的中点,且BD=,则△ABC的面积的最大值为
D.若角B的平分线交AC于点E,且BE=2,则a+4c的最小值为18
5.已知△ABC是钝角三角形,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,b=4,则最大边c的取值范围是 .(结果用区间表示)
6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsin A=atan B.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=2b,试判断△ABC的形状;
(3)若b=,求△ABC的面积的最大值.
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acos C+ccos A=2bcos B.
(1)当b=12时,求△ABC的面积的最大值;
(2)当△ABC的面积为4时,求△ABC的周长的最小值.(共11张PPT)
微突破（一） 三角形中的最值、范
围问题
【知识综述】
三角形中的取值范围和最值问题一直是考试的热点和难点,解决
此类问题要灵活运用三角形的性质和正弦定理及余弦定理、面积公
式、三角恒等变换、基本不等式等知识,大多再与命题、函数、不等
式等知识结合.
类型一 与边长或周长有关的最值或范围问题
例1 在锐角三角形中，，，则边 的长的取值范
围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由正弦定理得 ，
所以.
因为在锐角三角形 中，，所以，且，
所以 ，所以，所以，
所以 ，
即边的长的取值范围是 .故选B.
例2 已知的内角，，的对边分别为，， ，且
.
（1）求角 的大小；
解： ，
， .
， ，
，即， .
（2）若，求 的周长的最小值.
解：, 由余弦定理可得
，
，
，当且仅当 时，等号成立，
故 的周长的最小值为12.
类型二 与角有关的最值或范围问题
例3 已知的内角，，的对边分别为，， ，且
，则当取得最大值时， __.
[解析] 由余弦定理可得 ，
所以，所以，则，
，得，所以，
又 ，所以，
所以
.
根据二次函数的性质可知，当时， 取得最大
值，此时 .
类型三 与面积有关的最值或范围问题
例4 [2024·江苏无锡高一期中] 在中，内角,, 的对边分别
是,,，且 .
（1）求角 的大小；
解：由，可得 ，
即 ，
因为，所以，所以 ，
又，所以 ，
所以，所以，所以 .
（2）若，求 的面积的最大值.
解：由（1）知，由余弦定理得 ，
即 ，
当且仅当时，等号成立，所以 ，
则，
所以 的面积的最大值为 .