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12.1 复数的概念
探究点一 复数的概念
探究点二 复数的分类应用
探究点三 复数的相等及其应用
【学习目标】
1.了解引进复数的必要性,了解数系扩充的方法,通过方程的解认识复数.
2.理解复数的基本概念,理解复数的代数表示,掌握复数的分类,理解两
个复数相等的充要条件.
知识点一 复数的有关概念
1.虚数单位
规定：（1）________；（2）实数可以与 进行四则运算，进行四则
运算时，原有的加法、乘法运算律仍然______.
成立
2.复数与复数集
（1）定义:形如 的数叫作复数,复数通常用_______表
示,即___________________,叫作复数的______, 叫作复数的______.
（2）__________所组成的集合叫作复数集.记作___.
字母
实部
虚部
全体复数
C
3.复数的分类
（1）复数
（2）如图所示,用图示法表示了复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之
间的关系.
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若,为实数,则 为虚数.( )
×
[解析] 当时, 为实数.
（2）若,则 为纯虚数.( )
×
[解析] 当且时,为纯虚数;
当时, 为实数.
（3）若，，且，则 .( )
×
[解析] 两个虚数不能比较大小.
（4）若，则 .( )
×
[解析] 当，时， .
2.复数的实部、虚部一定分别是, 吗
解：不一定.只有,时,,才分别是复数 的实部、虚部.
3.用 或 填空：_______________ ．
[解析] 根据各数集的含义可知， .
知识点二 两个复数相等
两个复数相等的充要条件是它们的______与______分别相等,即,, ,
,与 相等当且仅当______且______.
实部
虚部
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果两个复数的实部的差和虚部的差都为零,则这两个复数相等.
( )
√
[解析] 由题知这两个复数的实部和虚部分别相等,故这两个复数相等.
（2）任何两个复数都不能比较大小.( )
×
[解析] 当这两个复数中至少有一个是虚数时,不能比较大小.
探究点一 复数的概念
例1（1） 给出下列三个说法：①若，则； 的虚
部是； 的实部是0.其中正确说法的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 对于①，若，则 ，所以①的说法错误；
对于②， ，其虚部为2，所以②的说法错误；
对于③， ，其实部是0，所以③的说法正确.
故选B.
√
（2）已知复数 的实部和虚部分别是2和3，
则_____， ___.
5
[解析] 由题意得，，所以， .
（3）在复数，，，，0， 中，
哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？其中虚数的实部与虚部
分别是什么？
解：0，为实数；，，， 为虚
数； 为纯虚数.
对于，实部为1，虚部为；对于，实部为0，虚部为 ；
对于，实部为，虚部为 ；
对于，实部为7，虚部为 .
探究点二 复数的分类应用
例2 当实数为何值时，复数 是：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
解：（1）当即时， 是实数.
（2）当即且时， 是虚数.
（3）当即或时， 是纯虚数.
变式 当实数 满足什么条件时:
（1）复数 是实数 虚数
解：若复数 是实数,则
,解得或 .
若复数是虚数,则 ,
解得且 .
（2）复数 是纯虚数
解：若复数 是纯虚数,
则且.
由 ,可得或.
当时,不存在；
当 时,.
所以 .
［素养小结］
求解复数的分类问题的关键：
（1）要判定一个复数是什么类型的数，首先要分清复数的实部和虚
部及它们对复数分类的影响，然后结合定义求解．
（2）依据复数的类型求参数时要先确定参数的取值使代数式有意义，
再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数
为纯虚数的充要条件是且 ．
探究点三 复数的相等及其应用
例3 若，求实数, 的值.
解：由复数相等的充要条件，得解得
变式（1） 已知，均是实数，且满足 ，
求与 的值.
解：由复数相等的充要条件得解得
（2）已知,求实数 的值.
解：因为,,所以由 ,可得
消去,得 .
（3）已知，求实数 的值．
解：由题意，得解得 ．
［素养小结］
已知两个复数相等,可根据复数相等的充要条件将其转化为方程（组）
来求解,体现了化归与转化的思想.当两个复数相等时,应先分清两个复
数的实部与虚部,然后让实部与实部相等,虚部与虚部相等.
拓展 已知复数 ,
,若,则 的取值范围是______.
[解析] , .
又,, .
1.数系逐步扩充的过程
数系的每一次扩充都与实际需求密切相关,例如,
计数的需要 自然数（正整数和零）;
负数;
分数（分数集 有限小数集和无限循环小
数集）;
无理数（无理数集 无限不循环小数集）;
复数.
2.自然数、整数、有理数、实数和复数,用图形表示包含关系如下:
3.虚数单位 是数学家想象出来的,由此可以得到复数集.实数恰可以看
成是特殊的复数（虚部为零）,另外,由复数相等的充要条件可以知道
复数由实部和虚部唯一确定.
4.注意分清复数分类中的条件:
设复数 ,则
为实数,为虚数,为纯虚数 且
,且 .
5.两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小,如与 不
能比较大小.若两个复数能比较大小,则这两个复数必定都为实数.
1.复数与充要条件
例1 “”是“ 是纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
[解析] 若 是纯虚数，则
解得，
故“ ”是“ 是纯虚数”的充要条件.
故选D.
√
2.复数与方程
例2 若关于的方程有实根,求实数
的值.
解：设原方程的实根为,则 ,
所以解得或
故实数的值为11或 .第12章 复数
12.1 复数的概念
【课前预习】
知识点一
1.i2=-1 成立
2.(1)字母z z=a+bi(a,b∈R) 实部 虚部
(2)全体复数 C
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)× [解析] (1)当b=0时,z=a+bi为实数.
(2)当a=0且b≠0时,z=a+bi为纯虚数;当b=0时,z=a+bi为实数.
(3)两个虚数不能比较大小.
(4)当x=1,y=i时,x2+y2=0.
2.解:不一定.只有m,n∈R时,m,n才分别是复数m+ni的实部、虚部.
3. [解析] 根据各数集的含义可知,N* N Z Q R C.
知识点二
实部 虚部 a=c b=d
诊断分析
(1)√ (2)× [解析] (1)由题知这两个复数的实部和虚部分别相等,故这两个复数相等.
(2)当这两个复数中至少有一个是虚数时,不能比较大小.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)± 5 [解析] (1)对于①,若z=i,则z2=-1<0,所以①的说法错误;对于②,2i-1=-1+2i,其虚部为2,所以②的说法错误;对于③,2i=0+2i,其实部是0,所以③的说法正确.故选B.
(2)由题意得a2=2,-(2-b)=3,所以a=±,b=5.
(3)解:0,2+为实数;1-2i,i,-5+i,7+(-2)i为虚数;i为纯虚数.
对于1-2i,实部为1,虚部为-2;对于i,实部为0,虚部为;对于-5+i,实部为-5,虚部为;
对于7+(-2)i,实部为7,虚部为-2.
探究点二
例2 解:(1)当即m=5时,z是实数.
(2)当即m≠5且m≠-3时,z是虚数.
(3)当即m=3或m=-2时,z是纯虚数.
变式 解:(1)若复数z=m2+m-2+(m2+5m+6)i是实数,则m2+5m+6=0,解得m=-3或m=-2.
若复数z=m2+m-2+(m2+5m+6)i是虚数,则m2+5m+6≠0,解得m≠-3且m≠-2.
(2)若复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)是纯虚数,则log2(m2-3m-3)=0且log2(3-m)≠0.由log2(m2-3m-3)=0,可得m=-1或m=4.当m=4时,log2(3-m)不存在;当m=-1时,log2(3-m)=2.所以m=-1.
探究点三
例3 解:由复数相等的充要条件,得解得
变式 解:(1)由复数相等的充要条件得解得
(2)因为a,m∈R,所以由a2+am+2+(2a+m)i=0,可得消去m,得a=±.
(3)由题意,得解得m=2.
拓展 [3,5] [解析] ∵z1=z2,∴∴λ=4-cos θ.又-1≤cos θ≤1,∴3≤4-cos θ≤5,∴λ∈[3,5].第12章 复数
12.1 复数的概念
1.B [解析] 由虚部的定义可知,复数1-5i的虚部为-5.故选B.
2.B [解析] 由题意可知B A C.故选B.
3.B [解析] 当a=0,b≠0时,复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数,故a=0,不能推出复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数;当复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数时,a=0,b≠0,故复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数能推出a=0.故“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的必要不充分条件.故选B.
4.B [解析] 因为z=(m2-2m-8)+(m2-3m-4)i是纯虚数,所以解得m=-2.故选B.
5.C [解析] ∵复数z=a+(2-b)i(a,b∈R)的实部和虚部分别是2和3,∴a=2,2-b=3,∴b=-1,∴a,b的值分别是2,-1.
6.D [解析] 由z1=z2,可得2-ai=b-1+2i,则解得a=-2,b=3.故选D.
7.D [解析] 由题意,可知cos α+cos 2α=0,所以cos α+2cos2α-1=0,解得cos α=-1
或cos α=,因为0<α<2π,所以α=π或α=或α=.故选D.
8.ABD [解析] 若a=0,且b≠0,则a+bi为纯虚数,故A中说法错误;若z=3-2i,则a=3,b=-2,故B中说法错误;若b=0,则a+bi为实数,故C中说法正确;若a=b=0,则z为实数,是复数,故D中说法错误.故选ABD.
9.BCD [解析] 对于A,两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等,即它们的实部的差与虚部的差都等于0,故A中说法正确;对于B,当a=0时,ai是实数0,故B中说法不正确;对于C,若复数x+yi是实数,则y=0,x∈R,故C中说法不正确;对于D,当b=0时,复数a+bi是实数,故D中说法不正确.故选BCD.
10.1 [解析] ∵x,y∈R,(x+y-3)+(x-2)i=0,∴解得故x-y=2-1=1.
11.3 [解析] ∵复数z=(m2-2m-3)+(m+1)i(i为虚数单位)是纯虚数,∴m2-2m-3=0且m+1≠0,解得m=3.
12.2 [解析] 由题知z=m-2+(m2-4)i为实数,因此解得m=2.
13.解:由m2+5m+6=0,得m=-2或m=-3.由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.
(1)当m2-2m-15=0时,复数z为实数,∴m=5或m=-3.
(2)当m2-2m-15≠0时,复数z为虚数,∴m≠5且m≠-3.
(3)当时,复数z是纯虚数,∴m=-2.
(4)当时,复数z是0,∴m=-3.
14.解:(1)由(x-2y)-(3x+y)i=3-6i,可得解得
(2)由(x+y-3)+(x-y-2)i=0,可得解得
(3)由x+y+4i=2y+x2i,可得解得或
(4)由+(x2-2x-3)i=0,
可得解得x=3.
15.1 [解析] 集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A B,则有2m+(m-1)i=-2i或2m+(m-1)i=2,解得m=1.
16.解:(1)由z1为纯虚数,得解得m=-2.
(2)由z1=z2,得
∴λ=4-cos2θ-sin θ=+,
∵-1≤sin θ≤1,∴当sin θ=时,λmin=,当sin θ=-1时,λmax=+=5,∴实数λ的取值范围是.第12章 复数
12.1 复数的概念
【学习目标】
1.了解引进复数的必要性,了解数系扩充的方法,通过方程的解认识复数.
2.理解复数的基本概念,理解复数的代数表示,掌握复数的分类,理解两个复数相等的充要条件.
◆ 知识点一 复数的有关概念
1.虚数单位i
规定:(1) ;(2)实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然 .
2.复数与复数集
(1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,复数通常用 表示,即 ,a叫作复数的 ,b叫作复数的 .
(2) 所组成的集合叫作复数集.记作 .
3.复数的分类
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)
(2)如图所示,用图示法表示了复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系.
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.( )
(2)若ab=0,则z=a+bi为纯虚数. ( )
(3)若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i. ( )
(4)若x2+y2=0,则x=y=0. ( )
2.复数m+ni的实部、虚部一定分别是m,n吗
3.用 或 填空:N* N Z Q R C.
◆ 知识点二 两个复数相等
两个复数相等的充要条件是它们的 与 分别相等,即a,b,c,d∈R,a+bi与c+di相等当且仅当 且 .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果两个复数的实部的差和虚部的差都为零,则这两个复数相等. ( )
(2)任何两个复数都不能比较大小. ( )
◆ 探究点一 复数的概念
例1 (1)给出下列三个说法:①若z∈C,则z2≥0;②2i-1的虚部是2i;③2i的实部是0.其中正确说法的个数为 ( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
(2)已知复数z=a2-(2-b)i(a,b∈R)的实部和虚部分别是2和3,则a= ,b= .
(3)在复数1-2i,2+,i,-5+i,0,7+(-2)i中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数 其中虚数的实部与虚部分别是什么
◆ 探究点二 复数的分类应用
例2 当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m-15)i是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
变式 当实数m满足什么条件时:
(1)复数z=m2+m-2+(m2+5m+6)i是实数 虚数
(2)复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)是纯虚数
[素养小结]
求解复数的分类问题的关键:
(1)要判定一个复数是什么类型的数,首先要分清复数的实部和虚部及它们对复数分类的影响,然后结合定义求解.
(2)依据复数的类型求参数时要先确定参数的取值使代数式有意义,再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.
◆ 探究点三 复数的相等及其应用
例3 若(x+y)+yi=(x+1)i,求实数x,y的值.
变式 (1)已知x,y均是实数,且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i,求x与y的值.
(2)已知a2+am+2+(2a+m)i=0(m∈R),求实数a的值.
(3)已知(m2-1)+(m2-2m)i>1,求实数m的值.
[素养小结]
已知两个复数相等,可根据复数相等的充要条件将其转化为方程(组)来求解,体现了化归与转化的思想.当两个复数相等时,应先分清两个复数的实部与虚部,然后让实部与实部相等,虚部与虚部相等.
拓展 已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3cos θ)i(λ,θ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是 . 第12章 复数
12.1 复数的概念
一、选择题
1.[2024·湖南常德一中高一月考] 复数1-5i的虚部是 ( )
A.5 B.-5
C.5i D.-5i
2.[2024·北京朝阳区陈经纶中学月考] 设集合A={z|z为虚数},B={z|z为纯虚数},C={z|z为复数},则A,B,C间的关系为 ( )
A.A B C B.B A C
C.B∈C A D.A∈C B
3.[2024·上海徐汇中学期末] “a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知i是虚数单位,若z=(m2-2m-8)+(m2-3m-4)i是纯虚数,则实数m= ( )
A.-1 B.-2
C.3 D.4
5.已知复数z=a+(2-b)i(a,b∈R)的实部和虚部分别是2和3,则a,b的值分别是 ( )
A.2,5 B.1,3
C.2,-1 D.2,1
6.已知复数z1=2-ai,z2=b-1+2i(a,b∈R,i为虚数单位),若z1=z2,则 ( )
A.a=-1,b=1
B.a=2,b=-3
C.a=2,b=3
D.a=-2,b=3
7.[2024·江苏镇江高一期中] 已知复数z=cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数,则α的取值不可能为 ( )
A. B. C.π D.
8.(多选题)[2024·江苏泰州期中] 对于复数z=a+bi(a,b∈R),下列结论中错误的是 ( )
A.若a=0,则a+bi为纯虚数
B.若z=3-2i,则a=3,b=2
C.若b=0,则a+bi为实数
D.若a=b=0,则z不是复数
9.(多选题)下列说法不正确的是 ( )
A.如果两个复数的实部的差与虚部的差都等于0,那么这两个复数相等
B.ai是纯虚数(a∈R)
C.如果复数x+yi(x,y∈R)是实数,那么x=0,y=0
D.复数a+bi(a,b∈R)不是实数
二、填空题
10.已知(x+y-3)+(x-2)i=0(x,y∈R),则x-y= .
11.已知复数z=(m2-2m-3)+(m+1)i(i为虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为 .
12.若m为实数,复数z=m-2+(m2-4)i≥0,则m= .
三、解答题
13.实数m分别取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)0.
14.求满足下列条件的实数x,y的值.
(1)(x-2y)-(3x+y)i=3-6i;
(2)(x+y-3)+(x-y-2)i=0;
(3)x+y+4i=2y+x2i;
(4)+(x2-2x-3)i=0.
15.[2024·江苏南通高一期中] 设m∈R,i为虚数单位.若集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A B,则m= .
16.已知复数z1=4-m2+(m-2)i,z2=λ+sin θ+(cos θ-2)i,其中i是虚数单位,m,λ,θ∈R.
(1)若z1为纯虚数,求m的值;
(2)若z1=z2,求λ的取值范围.
