(共38张PPT)
12.2 复数的运算
第1课时 复数的加法、减法运算、
乘法运算
探究点一 复数的加、减运算
探究点二 复数的乘法运算
探究点三 共轭复数
【学习目标】
1.掌握复数代数表示式的加、减、乘运算法则,并能熟练地进行运算.
2.了解共轭复数的概念,能利用共轭复数解决一些简单的数学问题.
知识点一 复数的加（减）法运算
1.复数的加法法则
设, 是任意两个复数,那么
（______）（______） .
两个复数相加,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相____.显然，两
个复数的和仍是一个______.
加
复数
2.复数的减法法则
设,,,,则（______）（______） .两个
复数相减,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相____.显然，两个复
数的差仍是一个______.
减
复数
【诊断分析】
复数的加、减法与多项式的加、减法有何不同
解：复数的加、减法与多项式的加、减法类似，不同的是实部与实
部、虚部与虚部分别相加（减）.
知识点二 复数的加法运算律
对任意的,,,有交换律: ________,结合律:
_____________.
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）复数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意复数， ，
，都有， .( )
√
（2）若复数，满足，则 .( )
×
2.复数的加法满足交换律、结合律，试着证明.
证明:设, ,则
, ,显然,
.同理可得 .
知识点三 复数的乘法法则及运算律
1.复数的乘法法则
设, 是任意两个复数,那么它们的
积 _____________________.两个复数的积
仍是一个______.
复数
2.复数乘法的运算律
对于任意,, ,有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
【诊断分析】
复数的乘法与多项式的乘法有何不同
解：复数的乘法与多项式的乘法是类似的,有一点不同的是必须在所
得结果中把换成 .
知识点四 共轭复数
我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为__________.
复数的共轭复数记作，即 _______.
共轭复数
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两个互为共轭复数的复数的和是实数.( )
√
（2）实数的共轭复数仍是本身,即, .( )
√
2.若复数,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为复数,所以 .
√
探究点一 复数的加、减运算
例1（1） 计算： ；
解： .
（2）计算： ；
解： .
（3）设，，且 ，求
.
解：因为，， ，
所以，
所以解得
所以 .
变式（1） _______.
[解析] .
（2）已知，， ，
则___， ____.
6
11
[解析] 由已知得 ，
解得
（3）已知， ，
若，则 ___.
3
[解析] ，
解得 .
［素养小结］
对于复数代数形式的加、减运算，只要把实部与实部、虚部与虚部
分别相加、减即可.类比实数的加、减运算，若有括号，先计算括号
内的；若没有括号，可从左到右依次进行计算.
探究点二 复数的乘法运算
例2 计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解： .
（3） .
解：原式 .
变式 计算：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
［素养小结］
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公
式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.
探究点三 共轭复数
例3（1） 已知复数，则复数 的虚部为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可得，故的虚部为 .故选B.
√
（2）若复数满足（为虚数单位），为复数 的共轭
复数，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 设，
由 ，得，即,
,，,,, ,
，， ，
.故选B.
√
变式 已知，为的共轭复数，若，求 .
解：设，则 ，
由题意得 ，
即 ，
则解得或
所以或 .
［素养小结］
若，则 ，关于共轭复数的一些常用结论：
（1）, .
（2） .
（3） .
（4） .
1.两个实数的差是实数,但是两个虚数的差不一定是虚数,例如
.
2.把复数的代数形式看成关于“ ”的多项式,则复数的加、减法类似于
多项式的加、减法,只需要“合并同类项”就可以了.
3.复数的乘法与多项式的乘法的区别
复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中
把换成 ,再把实部、虚部分别合并.
4.共轭复数及其应用
（1） ,利用这个性质可证明一个复数为实数.
（2）若且,则 为纯虚数,利用这个性质可证明一个复
数为纯虚数.
（3）若，则 .
（4）若,则, .
（5）, .
5.常用公式
; ;
.
6.（1）设出复数的代数形式 ,用代入法解题是
一种基本而常用的方法;
（2）复数的相等 是实
现复数运算转化为实数运算的重要方法.
1.共轭复数问题
例1（1） 对任意复数, 为虚数单位,下列结论中
正确的是( )
A. B.
C.不可能为实数 D. 可能为虚数
[解析] 由题知,,则,故A错误;
当 时,,为实数,故C错误;
,为实数,故B正确,D错误.
故选B.
√
（2）（多选题）[2024·江苏常州溧阳期末] 已知， ，则下列
结论正确的是( )
A.若，则 为纯虚数
B.
C.若，是方程的两个解，则
D.
√
√
√
[解析] 对于A，设，则 ，所以
，A错误；
对于B，设 ，，则
，，B正确；
对于C，方程 的解为，则 ，C正确；
对于D，设， ，则
，则
， ，D正确.
故选 .
2.复数的加法、减法、乘法运算
例2 设复数，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为复数，所以 ,所以
.故选A.
√12.2 复数的运算
第1课时 复数的加法、减法运算、乘法运算
【课前预习】
知识点一
1.a+c b+d 加 复数 2.a-c b-d 减 复数
诊断分析
解:复数的加、减法与多项式的加、减法类似,不同的是实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).
知识点二
z2+z1 z1+(z2+z3)
诊断分析
1.(1)√ (2)×
2.证明:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z2+z1=(c+a)+(d+b)i,显然,z1+z2=z2+z1.同理可得(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
知识点三
1.(ac-bd)+(ad+bc)i 复数
2.z1·(z2·z3) z1z2+z1z3
诊断分析
解:复数的乘法与多项式的乘法是类似的,有一点不同的是必须在所得结果中把i2换成-1.
知识点四
共轭复数 a-bi
诊断分析
1.(1)√ (2)√
2.A [解析] 因为复数z=4+3i,所以=4-3i.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)(-1+i)+(3-2i)=(-1+3)+(-2)i=2-i.
(2)--=+i=+i.
(3)因为z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i,所以(x+3)+(2-y)i=5-6i,所以解得所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i.
变式 (1)8+2i (2)6 11 (3)3 [解析] (1)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i)=[6+3-3-(-2)]+[-3+2-(-4)-1]i=8+2i.
(2)由已知得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,∴解得
(3)∵z1-z2=a+(a+1)i-[-3b+(b+2)i]=+(a-b-1)i=4,∴
解得∴a+b=3.
探究点二
例2 解:(1)原式=24i-21=-21+24i.
(2)(1-i)(1+i)=(1-i)(1+i)=(1-i2)=2=-1+i.
(3)原式=(24+8i-6i+2)-(28+21i-4i+3)=(26+2i)-(31+17i)=-5-15i.
变式 解:(1)(+4i)(-4i)=()2-(4i)2=3-(-16)=19.
(2)(2+i)2=22+4i+i2=3+4i.
(3)(1+2i)(3-4i)(-2-i)=(11+2i)(-2-i)=-20-15i.
探究点三
例3 (1)B (2)B [解析] (1)由题可得=--i,故的虚部为-.故选B.
(2)设z=a+bi(a,b∈R),由(z-2)·i=z,得(a-2+bi)i=a+bi,即-b+(a-2)i=a+bi,∴-b=a,a-2=b,∴a=1,b=-1,∴z=1-i, =1+i,∴z2=(1-i)2=-2i,z·=(1-i)(1+i)=2,+i=1+2i,z+=2.故选B.
变式 解:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,
即a2+b2-3b-3ai=1+3i,
则解得或所以z=-1或z=-1+3i.12.2 复数的运算
第1课时 复数的加法、减法运算、乘法运算
一、选择题
1.已知i为虚数单位,复数z1=2+i,z2=1-2i,则z1+z2等于 ( )
A.1+i B.2-i
C.3-i D.-i
2.已知复数z=(2+i)2,则z的虚部为 ( )
A.3 B.3i
C.4 D.4i
3.[2024·江苏盐城五校高一月考] 若复数z=(m-2023)-(m+1)i(m∈R)为纯虚数,则复数z的共轭复数为 ( )
A.-2024i B.2024i
C.-2025i D.2025i
4.设m∈R,复数z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z为纯虚数,则m= ( )
A.-1 B.3
C. D.-1或3
5.已知i是虚数单位,若复数z满足z·i=3+i,则z的虚部为 ( )
A.-1 B.-3i
C.1 D.-3
6.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a= ( )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
7.已知复数z=-1+i,z-a=-6+bi(a,b∈R),则b= ( )
A.-5 B.-4
C.-3 D.-1
8.(多选题)[2024·辽宁大连二十四中月考] 设z=1-i,则 ( )
A.z=2 B.z+i=0
C.|z|2= D.z-=
9.(多选题)[2024·江苏连云港海新中学高一期中] 关于复数z1,z2,下列说法正确的是 ( )
A.若z1-z2>0,则z1>z2
B.若z1z2=0,则z1=0或z2=0
C.=+
D.若+<0,则z1,z2中至少有一个是虚数
二、填空题
10.写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z= .
11.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z= .
12.若复数z满足z2=-7-24i,则z= .
三、解答题
13.计算:(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i);
(2)(1+4i)×(7-2i);
(3)(3-2i)×[(-4+3i)+(5+i)];
(4)(-2-i)(3-2i)(-1+3i);
(5)[(5-4i)+(1+3i)](5+2i).
14.[2024·河北沧州高一期中] 已知复数z=(2-i)m2-(1+3i)m-3+i(m∈R).
(1)当m为何值时,z为纯虚数
(2)当m=2时,求z·.
15.[2024·上海行知中学期末] 已知复数z1和复数z2满足z1+z2=-i,-=2+i,则-= .
16.[2024·安庆一中高一期中] 定义一种运算:(a,b)=ac+bd.
(1)已知z为复数,且(3,)=7-3i,求z;
(2)已知x,y为实数,(y+sin 2x,2)-(1,sin2x)也是实数,将y表示为x的函数.12.2 复数的运算
第1课时 复数的加法、减法运算、乘法运算
1.C [解析] 由题意,z1+z2=(2+i)+(1-2i)=3-i.故选C.
2.C [解析] ∵z=(2+i)2=4+4i+i2=3+4i,∴z的虚部为4.故选C.
3.B [解析] 因为z=(m-2023)-(m+1)i(m∈R)为纯虚数,所以解得m=2023,所以z=-2024i,所以=2024i.故选B.
4.C [解析] 由题得 z=(2m2+m-1)+(3-m2+2m)i,因为 z为纯虚数,所以解得m=,故选C.
5.D [解析] 由z·i=3+i,得z·i·(-i)=(3+i)(-i)=1-3i,即z=1-3i,∴z的虚部为-3.
6.A [解析] (1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,由已知得a-2=2a+1,解得a=-3.
7.B [解析] 由题得(-1+i)-a(-1-i)=-6+bi,故a-1+(1+a)i=-6+bi,所以解得故选B.
8.AB [解析] 由z=1-i可得=1+i,所以z=(1+i)(1-i)=1-i2=2,故A正确;z+i=1-i+(1+i)i=1-i+i+i2=0,故B正确;|z|2=12+(-1)2=2,=(1+i)2=1+2i+i2=2i,显然|z|2≠,故C错误;z-=1-i-(1+i)=-2i,而===-1-i,故D错误.故选AB.
9.BCD [解析] 对于A,设z1=2+i,z2=1+i,则z1-z2=1>0,但z1,z2不能比较大小,故A错误;对于B,因为z1z2=0,所以z1=0或z2=0,故B正确;对于C,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,=(a+c)-(b+d)i,+=a-bi+c-di=a+c-(b+d)i,故=+,故C正确;对于D,若z1,z2中全是实数,则+≥0,与+<0矛盾,故z1,z2中至少有一个是虚数,故D正确.故选BCD.
10.1+2i(答案不唯一) [解析] 设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+3=(a+bi)2+3=a2-b2+3+2abi为纯虚数,所以a2-b2+3=0且2ab≠0,可取a=1,b=2,此时z=1+2i.
11.1-2i [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.∵2z+=3-2i,∴2a+2bi+a-bi=3-2i,∴3a=3,b=-2,∴a=1,则z=1-2i.
12.3-4i或-3+4i [解析] 设z=a+bi,a,b∈R,则z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi=-7-24i,所以
解得或所以z=3-4i或z=-3+4i.
13.解:(1)原式=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.
(2)(1+4i)×(7-2i)=7-2i+28i-8i2=15+26i.
(3)(3-2i)×[(-4+3i)+(5+i)]=(3-2i)×(1+4i)=3+12i-2i-8i2=11+10i.
(4)(-2-i)(3-2i)(-1+3i)=(-6+4i-3i+2i2)(-1+3i)=(-8+i)(-1+3i)=8-24i-i+3i2=5-25i.
(5)[(5-4i)+(1+3i)](5+2i)=(6-i)(5+2i)=30+12i-5i-2i2=32+7i.
14.解:(1)由已知得z=(2m2-m-3)+(-m2-3m+1)i,若z为纯虚数,则解得m=-1或m=.
(2)当m=2时,z=3-9i,=3+9i,
所以z·=(3-9i)·(3+9i)=32-81i2=9+81=90.
15.-i [解析] 因为-=2+i,所以z1-z2=2-i,又z1+z2=-i,所以-=(z1+z2)(z1-z2)=(-i)=2-i-4i+i2=-i.
16.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),
因为(3,)=3z+4=3(a+bi)+4(a-bi)=7a-bi=7-3i,所以即则z=1+3i.
(2)因为(y+sin 2x,2)-(1,sin2x)=(2y-sin x)+(y+sin 2x-2sin2x)i为实数,
所以y+sin 2x-2sin2x=0,所以y=-sin 2x+2sin2x=-sin 2x+2×=
-(sin 2x+cos 2x)+=-2sin+.12.2 复数的运算
第1课时 复数的加法、减法运算、乘法运算
【学习目标】
1.掌握复数代数表示式的加、减、乘运算法则,并能熟练地进行运算.
2.了解共轭复数的概念,能利用共轭复数解决一些简单的数学问题.
◆ 知识点一 复数的加(减)法运算
1.复数的加法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么(a+bi)+(c+di)=( )+( )i.
两个复数相加,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相 .显然,两个复数的和仍是一个 .
2.复数的减法法则
设a,b,c,d∈R,则(a+bi)-(c+di)=( )+( )i.两个复数相减,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相 .显然,两个复数的差仍是一个 .
【诊断分析】 复数的加、减法与多项式的加、减法有何不同
◆ 知识点二 复数的加法运算律
对任意的z1,z2,z3∈C,有交换律:z1+z2= ,结合律:(z1+z2)+z3= .
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数的加法运算满足交换律、结合律,即对任意复数z1,z2,z3,都有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). ( )
(2)若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2. ( )
2.复数的加法满足交换律、结合律,试着证明.
◆ 知识点三 复数的乘法法则及运算律
1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积z1·z2=(a+bi)(c+di)= .两个复数的积仍是一个 .
2.复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1·z2=z2·z1
结合律 (z1·z2)·z3=
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=
【诊断分析】 复数的乘法与多项式的乘法有何不同
◆ 知识点四 共轭复数
我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为 .复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数记作,即= .
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个互为共轭复数的复数的和是实数. ( )
(2)实数a的共轭复数仍是a本身,即z∈C,z= z∈R. ( )
2.若复数z=4+3i,则= ( )
A.4-3i B.-4-3i
C.3-4i D.-3+4i
◆ 探究点一 复数的加、减运算
例1 (1)计算:(-1+i)+(3-2i);
(2)计算:--;
(3)设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,求z1-z2.
变式 (1)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i)= .
(2)已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x= ,y= .
(3)已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,则a+b= .
[素养小结]
对于复数代数形式的加、减运算,只要把实部与实部、虚部与虚部分别相加、减即可.类比实数的加、减运算,若有括号,先计算括号内的;若没有括号,可从左到右依次进行计算.
◆ 探究点二 复数的乘法运算
例2 计算:(1)(-8-7i)(-3i);
(2)(1-i)(1+i);
(3)(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i).
变式 计算:(1)(+4i)(-4i);
(2)(2+i)2;
(3)(1+2i)(3-4i)(-2-i).
[素养小结]
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等.
◆ 探究点三 共轭复数
例3 (1)已知复数z=i-,则复数的虚部为 ( )
A. B.-
C.- D.
(2)若复数z满足(z-2)·i=z(i为虚数单位),为复数z的共轭复数,则下列说法正确的是 ( )
A.z2=2i B.z·=2
C.+i=1 D.z+=0
变式 已知z∈C,为z的共轭复数,若z·-3=1+3i,求z.
[素养小结]
若z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,关于共轭复数的一些常用结论:
(1)z+=2a,z-=2bi.
(2)=+.
(3)=-.
(4)=·.
