(共34张PPT)
12.2 复数的运算
第2课时 复数的乘方与除法运算
探究点一 复数的乘方与的
周期性
探究点二 复数的除法运算
探究点三 复数集内解方程
【学习目标】
掌握复数代数表示式的乘方与除法运算,并能熟练地进行计算.
知识点一 复数的正整数指数幂运算律
（1） .
（2） .
（3） （其中,，, ）.
【诊断分析】
（1）__,____,____,___, .
1
[解析] ,,, .
（2） __________.
2或或0
[解析] 当,时，;
当, 时，;
当,时， .
知识点二 复数的除法法则
复数的除法法则
____________________,,, ，且
.
两个复数的商仍是一个______.
复数
【诊断分析】
（1）若复数满足（是虚数单位），则 的共轭复
数 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，，， ，所以
，则
， .故选C.
√
（2）复数的除法与实数的除法有何不同
解：实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为
复数,一般不能直接约分化简.由于两个共轭复数的积是一个实数,因此,
两个复数相除时,可以先把式子写成分式的形式,然后把分子、分母同
乘分母的共轭复数（注意是分母的共轭复数）,再把结果化简即可.
知识点三 复数的平方根
1.实数的平方根
设,当时,的平方根为实数0;当时, 的平方根是两个实数
;当时,的平方根是两个纯虚数 ,这是由于
.
2.虚数的平方根
设,且,若是 的平方
根,则有,即 ,所以有
解方程组求出, 的值即可.
探究点一 复数的乘方与 的周期性
例1（1） 计算：，,, .
解：,,, .
（2）若复数，求 .
解：因为，，，，所以 ,
所以，
则 ，
所以 .
（3）设，求，及 的值.
解：由 ，可得
，
，
.
变式 计算：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
［素养小结］
乘方计算时常用结论：
（1），，， ；
（2） ；
（3）设，则， ；
（4） ；
（5） ；
（6） .
探究点二 复数的除法运算
例2 计算：
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
变式 计算：
（1） ;
解： .
（2） .
解：
.
［素养小结］
（1）复数的除法是先将式子写成分式形式,再将分子、分母同时乘分
母的共轭复数,然后按复数的乘法法则进行运算,最后化简.
（2）记住以下结论可以提高运算速度.
,;, ; .
探究点三 复数集内解方程
例3（1） 在复数范围内解方程 .
解：由 ，
可得，则 ，
所以方程的解为或 .
（2）已知是方程的一个根（, 为实数）.
①求, 的值;
解：由题知,即 ,
所以解得
②试判断 是否为该方程的根.
解：由①知,原方程为 ,
因为,所以 是该方程的根.
变式（1） 在复数范围内解方程 .
解：由,得 ,
故,解得, .
（2）已知是关于的方程的一个根,其中 ,
,求 .
解：方法一:由题意得 ,
化简得,
所以解得 所以 .
方法二:因为是关于的方程 的一个根,所以
也是方程 的根,
所以由根与系数的关系得,,
解得, ,所以 .
［素养小结］
解实系数方程，通常利用配方法、公式法进行求解.
1.复数代数形式的除法运算的实质是分母“实数化”,即分子以及分母
同乘分母的“实数化”因式.类似于以前所学的把分母“有理化”.
2.有关虚数单位 的运算
虚数的乘方及其规律:,,,,, ,
,, .可见,, ,
,即 的乘方具有周期性且最小正周期为4.
3.复数常见的运算小结论
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） ；
（5） .
4.在复数范围内,实系数一元二次方程 的求根
公式为
（1）当时,;
（2）当时, .
1.复数与函数
例1 [2024·江苏南通启东中学月考] 已知
，则集合， 中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] ,
，，，
集合， 中元素的个数为2.故选B.
2.复数与方程
例2 已知复数，其中是正实数， 是虚数单位.
（1）如果为纯虚数，求实数 的值；
解：因为 为纯虚数，
所以解得 （负值舍去）.
（2）如果，是关于的方程
的一个根，求 的值.
解： ，
则 ，
故也是关于的方程 的一个根，
故解得
故 .第2课时 复数的乘方与除法运算
【课前预习】
知识点一
诊断分析
(1)i -1 -i 1 (2)2或-2或0 [解析] (1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.
(2)当n=4k,k∈N*时,in+(-i)n=2;当n=4k+2,k∈N时,in+(-i)n=-2;当n=2k+1,k∈N时,in+(-i)n=0.
知识点二
=+i 复数
诊断分析
(1)C [解析] 因为i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,…,所以(1+i)z=2i2023=2i505×4+3=-2i,则z===-1-i,∴=-1+i.故选C.
(2)解:实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为复数,一般不能直接约分化简.由于两个共轭复数的积是一个实数,因此,两个复数相除时,可以先把式子写成分式的形式,然后把分子、分母同乘分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数),再把结果化简即可.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)(1+i)2=2i,(1+i)3=2i-2,(1+i)4=-4,(1+i)9=16+16i.
(2)因为i=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,所以i+i2+i3+i4=0,所以z=i+i2+i3+…+i10=i+i2+i3+i4+i4(i+i2+i3+i4)+i8·i+i8·i2=i+i2=-1+i,则=-1-i,所以z·=(-1+i)·(-1-i)=2.
(3)由z=--i,可得z2==+i-=-+i,z3=z2·z==+=1,z2+z+1=-+i--i+1=0.
变式 解:(1)(1-i)10=[(1-i)2]5=(-2i)5=-32i.
(2)====--i=--i.
(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+(25-25i)=47-39i.
探究点二
例2 解:(1)+=+=i-i=0.
(2)===
==-1+i.
变式 解:(1)+(--i)3+=-i++=-i-8i+i=-8i.
(2)===
==-2-2i.
探究点三
例3 解:(1)由x2-10x+27=(x-5)2+2=0,
可得(x-5)2=-2=(i)2,则x-5=±i,
所以方程x2-10x+27=0的解为x=5-i或x=5+i.
(2)①由题知(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,所以解得
②由①知,原方程为z2-2z+2=0,因为(1-i)2-2(1-i)+2=0,所以1-i是该方程的根.
变式 解:(1)由z2-4z+5=0,得(z-2)2=-1,
故z-2=±i,解得z1=2+i,z2=2-i.
(2)方法一:由题意得2(-2+i)2+m(-2+i)+n=0,化简得-2m+n+6+(m-8)i=0,所以解得所以m+n=18.
方法二:因为-2+i是关于x的方程2x2+mx+n=0的一个根,所以-2-i也是方程2x2+mx+n=0的根,所以由根与系数的关系得-2+i-2-i=-,(-2+i)(-2-i)=,解得m=8,n=10,所以m+n=18.第2课时 复数的乘方与除法运算
1.D [解析] z===-i.故选D.
2.C [解析] 由题意可知,====+i,所以z=-i.故选C.
3.D [解析] (1+i)12=(2i)6=-26.故选D.
4.C [解析] 由题可得z=(1+i)(z-1),则z==1-i.
5.B [解析] ∵==+i为实数,∴a+1=0,即a=-1.故选B.
6.A [解析] 因为i是方程x2+ax+b=0的根,所以i2+ai+b=b-1+ai=0,所以所以所以a+b=1,a-b=-1.故选A.
7.B [解析] 因为i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,i4k+4=1,所以f(n)=in+=k∈N,所以f(n)的值域中,元素有3个.故选B.
8.ABD [解析] 对于选项A,z===1+i,故A正确;对于选项B,z的虚部为1,故B正确;对于选项C,z的共轭复数为1-i,故C错误;对于选项D,z-z2=1+i-(1+i)2=1+i-1-2i+1=1-i,故D正确.故选ABD.
9.BC [解析] M={m|m=in,n∈N*},当n=4k+1(k∈N)时,in=i,当n=4k+2(k∈N)时,in=-1,当n=4k+3(k∈N)时,in=-i,当n=4k+4(k∈N)时,in=1,∴M={-1,1,i,-i}.对于选项A,(1-i)(1+i)=2 M;对于选项B,==-i∈M;对于选项C,==i∈M;对于选项D,(1-i)2=-2i M.故选BC.
10.-1+i [解析] ==i(1+i)=-1+i.
11.-i [解析] 由(z+2)i=zi+2i=2z-1,得(2-i)z-(1+2i)=0,则z====i,所以=-i.
12.1 [解析] 设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则=a-bi,因为z+=a+bi+=+i为实数,所以b-=0,则a2+b2=1,故z·=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=1.
13.解:(1)∵===-i,
∴=(-i)3=i.
(2)===
===+i.
(3)(1+i)10-(1-i)10=[(1+i)2]5-[(1-i)2]5=(2i)5-(-2i)5=32i+32i=64i.
(4)-=-
=-=-=+i+-i=.
14.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),
则z+2i=a+(2+b)i为实数,所以b=-2,
==为实数,
所以a=4,所以z=4-2i,
所以z2=(4-2i)2=16-16i-4=12-16i.
(2)因为复数z是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个解,
所以(4-2i)2+(4-2i)m+n=0,
整理可得解得所以m-n=-28.
15.ACD [解析] 由题意知,Δ=b2-4<0,则x=,不妨设z1=,z2=.对于A,==z2,故A正确;对于B,====-i,=+i,故B不正确;对于C,z1·z2=×==1,故C正确;对于D,当b=1时,z1=,z2=,则==+-i=--i,==++i=-+i,所以=·z1==-i2=1,=·z2==-i2=1,所以==1,故D正确.故选ACD.
16.解:(1)因为z1=(a+i)2,z2=4-3i,z1=iz2,
所以(a+i)2=a2-1+2ai=3+4i,
所以解得a=2,故实数a的值为2.
(2)依题意得===,因为是纯虚数,所以解得a=2或a=-,
又因为a是正实数,所以a=2,所以=i,所以+++…+=i+i2+i3+i4+…+i2024=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2021+
i2022+i2023+i2024)=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+…+(i-1-i+1)=0+0+…+0=0.第2课时 复数的乘方与除法运算
【学习目标】
掌握复数代数表示式的乘方与除法运算,并能熟练地进行计算.
◆ 知识点一 复数的正整数指数幂运算律
(1)zm·zn=zm+n.
(2)(zm)n=zmn.
(3)(z1·z2)n=· (其中z1,z2∈C,m,n∈N*).
【诊断分析】 (1)i4n+1= ,i4n+2= ,i4n+3= ,i4n+4= ,n∈N.
(2)in+(-i)n= .
◆ 知识点二 复数的除法法则
复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)= (a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
两个复数的商仍是一个 .
【诊断分析】 (1)若复数z满足(1+i)z=2i2023(i是虚数单位),则z的共轭复数= ( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
(2)复数的除法与实数的除法有何不同
◆ 知识点三 复数的平方根
1.实数的平方根
设a∈R,当a=0时,a的平方根为实数0;当a>0时,a的平方根是两个实数±;当a<0时,a的平方根是两个纯虚数±i,这是由于(±i)2=(±)2·i2=-a·(-1)=a.
2.虚数的平方根
设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),若x+yi(x,y∈R)是z=a+bi的平方根,则有(x+yi)2=a+bi,即x2-y2+2xyi=a+bi,所以有解方程组求出x,y的值即可.
◆ 探究点一 复数的乘方与in(n∈N*)的周期性
例1 (1)计算:(1+i)2,(1+i)3,(1+i)4,(1+i)9.
(2)若复数z=i+i2+i3+…+i10,求z·.
(3)设z=--i,求z2,z3及z2+z+1的值.
变式 计算:(1)(1-i)10;
(2);
(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).
[素养小结]
乘方计算时常用结论:
(1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);
(2)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*);
(3)设ω=-+i,则ω2+ω+1=0,ω3=1;
(4)(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
(5)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
(6)(1±i)2=±2i.
◆ 探究点二 复数的除法运算
例2 计算:(1)+;
(2).
变式 计算:(1)+(--i)3+;
(2).
[素养小结]
(1)复数的除法是先将式子写成分式形式,再将分子、分母同时乘分母的共轭复数,然后按复数的乘法法则进行运算,最后化简.
(2)记住以下结论可以提高运算速度.
①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;②=-i,=i;③=-i.
◆ 探究点三 复数集内解方程
例3 (1)在复数范围内解方程x2-10x+27=0.
(2)已知1+i是方程z2+bz+c=0的一个根(b,c为实数).
①求b,c的值;
②试判断1-i是否为该方程的根.
变式 (1)在复数范围内解方程z2-4z+5=0.
(2)已知-2+i是关于x的方程2x2+mx+n=0的一个根,其中m,n∈R,求m+n.
[素养小结]
解实系数方程,通常利用配方法、公式法进行求解.第2课时 复数的乘方与除法运算
一、选择题
1.若z=,则复数z= ( )
A.1 B.-1
C.i D.-i
2.[2024·江苏南京外国语学校期末] 若=1-i,则复数z= ( )
A.-- B.-+
C.- D.+
3.[2024·重庆八中月考] 已知i为虚数单位,则(1+i)12= ( )
A.212 B.-212
C.26 D.-26
4.[2024·新课标Ⅰ卷] 若=1+i,则z= ( )
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
5.已知i为虚数单位,a∈R,若为实数,则a= ( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
6.[2024·江苏金陵中学月考] 已知i(i是虚数单位)是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的根,则 ( )
A.a+b=1 B.a-b=1
C.a+b=0 D.a-b=0
7.在f(n)=in+(n∈N*)的值域中,元素有 ( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.无数个
8.(多选题)已知复数z=(i为虚数单位),则 ( )
A.z=1+i
B.z的虚部为1
C.z的共轭复数为-1+i
D.z-z2=1-i
9.(多选题)[2024·福州三中高一期中] 已知集合M={m|m=in,n∈N*},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是 ( )
A.(1-i)(1+i) B.
C. D.(1-i)2
二、填空题
10.[2024·天津河西区期末] 设i为虚数单位,则复数= .
11.已知复数z满足(z+2)i=2z-1,则复数= .
12.[2024·江苏南京江宁高级中学月考] 已知虚数z满足z+为实数,则z·= .
三、解答题
13.计算:(1);
(2);
(3)(1+i)10-(1-i)10;
(4)-.
14.[2024·福建泉州五中期中] 已知z是复数,z+2i与均为实数.
(1)求z2;
(2)若复数z是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个解,求m-n的值.
15.(多选题)[2024·江苏泰兴中学月考] 已知复数z1,z2是关于x的方程x2+bx+1=0(-2A.=z2
B.=
C.z1·z2=1
D.若b=1,则==1
16.已知复数z1=(a+i)2(a∈R),z2=4-3i,其中i是虚数单位.
(1)若z1=iz2,求实数a的值;
(2)若是纯虚数,a是正实数,求+++…+.
