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12.4 复数的三角形式
探究点一 复数三角形式的有关概念
探究点二 复数的代数形式与三角形式的
互化
探究点三 复数的乘除法运算的三角表示
探究点四 复数乘、除法运算的三角表示
的几何意义的应用
【学习目标】
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解辐角、辐角主
值的概念.
2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,会进行复数的代
数表示式和三角表示式之间的互化.
3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.
知识点一 复数的三角形式的相关概念
1.辐角：如图所示,以 轴的非负半轴为始边、向
量所在的射线（起点是原点）为终边的角
叫作复数的______. 是复
数的辐角，_______________也都是复数的辐角.
辐角
2.辐角主值：我们把其中适合于___________的辐角 的值叫作复数
的辐角主值,记作______,即 .
3.两个非零的复数相等，当且仅当它们的____与__________分别相等.
模
辐角主值
4.由任意角三角函数的定义知：设复数 的
辐角为 ，则__________________，其中 .
,
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） .( )
√
（2）每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值,并且由它的模与
辐角主值唯一确定.( )
√
知识点二 复数的代数形式与三角形式的互化
1.复数的三角形式：复数可以用复数的模 和辐
角 来表示：，其中_________, __,
__.称为复数的三角形式，称为复数
的代数形式.
2.复数的两种形式互化
（1）在中,_________,__,
__.
（2）在中,_______, _______.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）是复数的三角形式,其中 的值
有无数个.( )
√
（2）在中, , .( )
×
知识点三 复数乘法和除法的三角形式及几何表示
1.复数乘法运算与除法运算的三角表示
设，，且 ，则
.
.
（1）复数乘法的几何意义
如图，在复平面内分别画出与复数,对应的向量
,（假定, 均取辐角主值，其他取值不影
响讨论），然后把向量按逆时针方向旋转一个
角___得 （模仍为）,再把的模 变为原来的___倍，
2.复数乘、除法运算三角形式的几何意义
从而得到一个新的向量， 所对应的复数_______________________
____________即为 .
（2）复数除法的几何意义
如图所示,复数, 对应的向量分别为,,把绕点 按顺时针
方向旋转角___,再把它的模变为原来的___,得到向量,表示的复
数就是 .
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若, ，则
．( )
×
（2）若,，则 的辐角
主值是 ．( )
√
（3）若 ,
，则 ．( )
√
（4）若,，则 的辐角主
值是 ．( )
√
探究点一 复数三角形式的有关概念
例1（1） 复数 的一个辐角是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为为复数的三角形式，所以 的一个
辐角为 ，故选A．
√
（2）复数 的辐角主值是( )
A. B. C. D.
[解析] ，所以其
辐角主值是 ，故选D．
√
（3）下列复数的表示形式是三角形式的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据复数的三角形式的特点可知只有
是复数的三角形式，故选D.
√
［素养小结］
判断复数的三角形式与求解复数的辐角主值，要严格按照复数的三
角表示式，对于不是以复数的三角形式表示的式子，要根据复数三
角形式的定义将其转化，再进一步判断．
探究点二 复数的代数形式与三角形式的互化
例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
（1） ；
解：复数 对应的向量如图所示，则，
， .
因为在复平面内复数对应的点在第一象限，
所以 ，
所以 ．
（2） ．
解：复数 对应的向量如图所示，则，
， ．
因为在复平面内复数 对应的点在第二象限，
所以，
所以 ．
例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并
把这些复数表示成代数形式：
（1） ；
解：复数的模，一个辐角 ，
对应的向量如图所示．
所以 ．
（2） ．
解：复数的模 ，一个辐角
，对应的向量如图所示．
所以 ．
变式（1） 复数 的一个三角形式为( )
A. B.
C. D.
[解析] ，故选B．
√
（2）复数 的代数形式为( )
A. B.
C. D.
[解析]
，故选D．
√
［素养小结］
（1）将复数的代数形式化为三角形式，其步骤是求模 、确定复数
对应的点所在的象限、求辐角 、写成三角形式 ．
（2）将复数的三角形式化为代数形式，先求复数的实部
和虚部 ，再将复数写成代数形式 ．
探究点三 复数的乘除法运算的三角表示
例4 计算下列复数,并将结果化为代数形式.
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
变式 计算:
（1） ___;
[解析]
.
（2） _________;
[解析] 原式
.
（3） _ _______.
[解析] 原式
.
［素养小结］
（1）积的模等于模的积,积的辐角等于辐角之和，做复数乘法运算时,
三角形式和代数形式可以交替使用,但是结果一般保留代数形式.
（2）商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角,结果一般保留代数形式.商的辐角主值不一定等于
被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的差,实际上, 与
,的关系是 .
探究点四 复数乘、除法运算的三角表示的几何意义的应用
例5 如图所示,四边形是矩形,点和点 对
应的复数分别为,,且,
求点和点 对应的复数.
解：连接,,要求点对应的复数,即求向量 对
应的复数,结合图形知 ,故可以先求向量对应的复数.
向量可以看作由向量 的长度扩大为原来的倍,并绕点按顺
时针方向旋转 后得到,
因为向量对应的复数为
,所以向量 对应的复数为
,
所以点 对应的复数为 .
同理可得点对应的复数为 .
变式 已知在复平面内,复数对应的点为, 对
应的点为,把向量绕点按顺时针方向旋转后,得到向量 ,求
向量和点 对应的复数.
解：由题意知向量 对应的复数是 .
由复数乘法的几何意义得,向量 对应的复数是
.
设为坐标原点,连接, ,由复数加法的几何意义及向量,
得向量对应的复数是 ,
故点对应的复数为 .
1.（1）复数的代数形式是唯一的,但三角形式不唯一.
（2）复数三角形式的特点:非负、同角、加号、前余后正.
（3）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等.
2.任何一个不为零的复数的辐角都有无限多个值,且这些值相差 的
整数倍,但辐角主值只有一个.例如复数的辐角是 ,其中 可
以取任何整数.几类特殊复数的辐角主值,一定要在理解的基础上记熟.
如:当为正实数时,有,, ,
.
3.与代数形式中有序实数对确定复数 一样,复数的三角形
式实质上是用一个有序实数对来确定一个复数 ,
此式即为复数的三角形式.要准确地掌握它,必须注意其下述三个特征:
（1）模;（2）的实部是 ,虚部是 ;（3） 与
之间用加号连接.
4.两个复数相乘,积的模等于模的积,辐角为两辐角之和,其几何意义是
模的伸缩及对应向量的旋转.当推广到 个复数相乘的时候,可得
,
特别地,复数的次幂的模等于这个复数的模的 次幂,它的辐角等于
这个复数的辐角的 倍,这个定理就是棣莫弗定理.
5.两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的
辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差,其几何意义是模的
伸缩及对应向量的旋转.
6.利用复数三角形式乘除运算的几何意义,可解决向量或图形的旋转
问题,如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形顶点间
的几何关系都可利用复数的乘除运算来表示.
1.求复数的辐角主值
例1 当时,复数 的辐角主值是( )
A. B. C. D.
[解析]
,故选B.
√
2.将复数的代数形式化为三角形式
例2 将复数 化成三角形式.
解：
.
3.复数的模与辐角主值
例3 将复数的共轭复数 表示成代数形式,并
写出 的模和辐角主值.
解：因为,所以,
的模,,所以 的辐角主
值 .12.4 复数的三角形式*
【课前预习】
知识点一
1.辐角 θ+2kπ(k∈Z) 2.0≤θ<2π arg z
3.模 辐角主值 4.cos θ=,sin θ=
诊断分析
(1)√ (2)√
知识点二
1.
2.(1) (2)rcos θ rsin θ
诊断分析
(1)√ (2)×
知识点三
2.(1)θ2 r2 r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] (2)θ2
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)D (3)D [解析] (1)因为z=cos 60°+isin 60°为复数的三角形式,所以z的一个辐角为60°,故选A.
(2)z=2(cos 30°-isin 30°)=2(cos 330°+isin 330°),所以其辐角主值是330°,故选D.
(3)根据复数的三角形式的特点可知只有z=(cos 30°+isin 30°)是复数的三角形式,故选D.
探究点二
例2 解:(1)复数1+i对应的向量如图所示,
则r==,cos θ=,sin θ=.
因为在复平面内复数1+i对应的点在第一象限,所以arg(1+i)=,
所以1+i=.
(2)复数-+i对应的向量如图所示,
则r==1,cos θ=-,sin θ=.
因为在复平面内复数-+i对应的点在第二象限,所以arg=,所以-+i=cos+isin.
例3 解:(1)复数cos+isin的模r=1,一个辐角θ=,对应的向量如图所示.
所以cos+isin=0+i=i.
(2)复数2的模r=2,一个辐角θ=,对应的向量如图所示.
所以2=2cos+i=2×+2×i=+i.
变式 (1)B (2)D [解析] (1)z=3+i=2=2,故选B.
(2)z=4=4×+4×i=-2-2i,故选D.
探究点三
例4 解:(1)原式====+i.
(2)原式==2=2=-+i.
变式 (1)3i (2)4+4i (3)+i
[解析] (1)(cos 60°-isin 240°)×6(cos 30°-isin 210°)=(cos 60°+isin 60°)×
6(cos 30°+isin 30°)=3[cos(60°+30°)+isin(60°+30°)]=3(cos 90°+isin 90°)=3i.
(2)原式=2×4=8=8=4+4i.
(3)原式=10÷==5=5=+i.
探究点四
例5 解:连接OC,OB,要求点C对应的复数,即求向量对应的复数,结合图形知=+,故可以先求向量对应的复数.向量可以看作由向量的长度扩大为原来的倍,并绕点B按顺时针方向旋转90°后得到,因为向量对应的复数为(-1+2i)-(1+i)=-2+i,所以向量对应的复数为(-2+i)××[cos(-90°)+isin(-90°)]=+2i,所以点C对应的复数为(+2i)+(1+i)=(+1)+(2+1)i.
同理可得点D对应的复数为(-1)+(2+2)i.
变式 解:由题意知向量对应的复数是z2-z1=(-3+4i)-(-2+i)=-1+3i.
由复数乘法的几何意义得,向量对应的复数是(-1+3i)·=3+i.
设O为坐标原点,连接OP,OP1,由复数加法的几何意义及向量=+,得向量对应的复数是(-2+i)+(3+i)=1+2i,故点P对应的复数为1+2i.12.4 复数的三角形式*
1.D [解析] 复数cos-isin=-i=cos+isin,所以复数cos-isin的辐角主值是.故选D.
2.B [解析] 因为cos=,sin=,所以+i=cos+isin.故选B.
3.D [解析] z2=()2×=2i.故选D.
4.A [解析] 因为i=cos+isin,所以对应的复数是cos+isin=cos+isin=+i.故选A.
5.A [解析] =2=2=-1-i.故选A.
6.B [解析] 设arg z2=θ,z2===(-1+i)2=--i,则复数z2在复平面内对应的点的坐标是,该点位于第三象限,且tan θ=,所以arg z2=.故选B.
7.D [解析] 由复数的几何意义可知z=cos θ+isin θ在复平面内对应的点在单位圆上,而|z-2-2i|表示复平面上z对应的点到复数2+2i对应的点Z(2,2)的距离.如图,连接OZ(O为坐标原点),交单位圆于点A,由图可知,|z-2-2i|的最小值为点A到Z的距离,因为||==2,圆的半径为1,所以|z-2-2i|的最小值为2-1.故选D.
8.ABC [解析] ∵z=-+i,∴|z|==1,故A正确;=--i=cos+isin,故B正确;∵z3=cos+isin=1,∴z3-1=0,故C正确;∵-z=-i,∴复数-z的辐角主值为,故D错误.故选ABC.
9.BD [解析] 由题意可知z1=z2,又z2=-1-i=2,所以z1==
=2=2=2=-+i,则z1的辐角主值为,故可以作为复数-+i的辐角的是+2kπ,k∈Z,当k=1时,+2π=.故选BD.
10. [解析] 复数1+i的模是=.设1+i的辐角主值为θ,∵1+i在复平面内对应的点在第一象限,且tan θ=1,∴arg(1+i)=,∴1+i的三角形式为.
11.-243 [解析] =35=243(cos π+
isin π)=-243.
12.--i [解析] 因为-2i=2,所以由题意可得对应的复数为2×=3=3=3×=--i.
13.解:(1)设复数2-2i的辐角主值为θ1,复数2-2i所对应的向量如图①所示,
则r==2,cos θ1=.
因为复平面内2-2i对应的点在第四象限,所以arg(2-2i)=,
所以2-2i=2.
(2)设复数--i的辐角主值为θ2,复数--i所对应的向量如图②所示,
则r==2,cos θ2=-.
因为复平面内--i对应的点在第三象限,
所以arg(--i)=,
所以--i=2.
14.解:(1)z1z2==cos+isin=cos+isin=0+i×1=i.
(2)===4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]=4(cos 45°+
isin 45°)=2+2i.
15.cos θ-isin θ [解析] 原式=
=cos(9θ-2θ-6θ-2θ)+isin(9θ-2θ-6θ-2θ)=cos(-θ)+isin(-θ)=
cos θ-isin θ.
16.解:(1)由z=-3i,得|z|==2,
则z=2=2.
(2)设模为1的复数为z1=cos θ+isin θ,则=(cos θ+isin θ)3=cos3θ+3(cos2θ)·(isin θ)+
3cos θ·(isin θ)2+(isin θ)3=cos3θ+i(3cos2θ·sin θ)-3cos θsin2θ-isin3θ=(cos3θ-
3cos θsin2θ)+i(3cos2θ·sin θ-sin3θ)=[cos3θ-3cos θ(1-cos2θ)]+i[3(1-sin2θ)sin θ-
sin3θ]=(4cos3θ-3cos θ)+i(3sin θ-4sin3θ),由复数乘方公式可得=cos 3θ+isin 3θ,
故sin 3θ=3sin θ-4sin3θ,cos 3θ=4cos3θ-3cos θ.12.4 复数的三角形式*
【学习目标】
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解辐角、辐角主值的概念.
2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,会进行复数的代数表示式和三角表示式之间的互化.
3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.
◆ 知识点一 复数的三角形式的相关概念
1.辐角:如图所示,以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ 叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的 .θ是复数的辐角, 也都是复数的辐角.
2.辐角主值:我们把其中适合于 的辐角θ的值叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的辐角主值,记作 ,即0≤arg z<2π.
3.两个非零的复数相等,当且仅当它们的 与 分别相等.
4.由任意角三角函数的定义知:设复数z=a+bi(z≠0,a,b∈R)的辐角为θ,则 ,其中r=.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)arg 2020=0. ( )
(2)每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值,并且由它的模与辐角主值唯一确定. ( )
◆ 知识点二 复数的代数形式与三角形式的互化
1.复数的三角形式:复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复数的模r和辐角θ来表示:z=r(cos θ+isin θ),其中r= ,cos θ= ,sin θ= .r(cos θ+isin θ)称为复数z的三角形式,a+bi称为复数z的代数形式.
2.复数的两种形式互化
(1)在a+bi=r(cos θ+isin θ)中,r= ,cos θ= ,sin θ= .
(2)在r(cos θ+isin θ)=a+bi中,a= ,b= .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)z=r(cos θ+isin θ)是复数z=a+bi的三角形式,其中θ的值有无数个. ( )
(2)在r(cos θ+isin θ)=a+bi中,a=rsin θ,b=rcos θ. ( )
◆ 知识点三 复数乘法和除法的三角形式及几何表示
1.复数乘法运算与除法运算的三角表示
设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z2≠0,则z1z2=[r1(cos θ1+isin θ1)]·[r2(cos θ2+isin θ2)]=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
==[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
2.复数乘、除法运算三角形式的几何意义
(1)复数乘法的几何意义
如图,在复平面内分别画出与复数z1,z2对应的向量,(假定θ1,θ2均取辐角主值,其他取值不影响讨论),然后把向量按逆时针方向旋转一个角 得(模仍为r1),再把的模r1变为原来的 倍,从而得到一个新的向量,所对应的复数
即为z1z2.
(2)复数除法的几何意义
如图所示,复数z1,z2对应的向量分别为,,把绕点O按顺时针方向旋转角 ,再把它的模变为原来的 ,得到向量,表示的复数就是.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2-isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. ( )
(2)若z1=2,z2=2,则z1z2的辐角主值是. ( )
(3)若z1=r1(cos θ1+isin θ1)(z1≠0),z2=r2(cos θ2+isin θ2)(z2≠z1),则=[cos(θ2-θ1)+isin(θ2-θ1)]. ( )
(4)若z1=2,z2=2,则的辐角主值是. ( )
◆ 探究点一 复数三角形式的有关概念
例1 (1)复数z=cos 60°+isin 60°的一个辐角是 ( )
A.60° B.120°
C.240° D.330°
(2)复数z=2(cos 30°-isin 30°)的辐角主值是( )
A.30° B.150°
C.210° D.330°
(3)下列复数的表示形式是三角形式的是 ( )
A.z=(cos 60°-isin 60°)
B.z=(sin 60°+icos 60°)
C.z=(cos 30°+isin 60°)
D.z=(cos 30°+isin 30°)
[素养小结]
判断复数的三角形式与求解复数的辐角主值,要严格按照复数的三角表示式,对于不是以复数的三角形式表示的式子,要根据复数三角形式的定义将其转化,再进一步判断.
◆ 探究点二 复数的代数形式与三角形式的互化
例2 画出下列复数对应的向量,并把这些复数表示成三角形式:
(1)1+i;(2)-+i.
例3 分别指出下列复数的模和一个辐角,画出它们对应的向量,并把这些复数表示成代数形式:
(1)cos+isin;(2)2.
变式 (1)复数z=3+i的一个三角形式为 ( )
A.z=2
B.z=2
C.z=4
D.z=4
(2)复数z=4的代数形式为 ( )
A.z=2+2i B.z=-2+2i
C.z=2-2i D.z=-2-2i
[素养小结]
(1)将复数的代数形式化为三角形式,其步骤是求模r、确定复数对应的点所在的象限、求辐角θ、写成三角形式r(cos θ+isin θ).
(2)将复数的三角形式化为代数形式,先求复数的实部a=rcos θ和虚部b=rsin θ,再将复数写成代数形式a+bi.
◆ 探究点三 复数的乘除法运算的三角表示
例4 计算下列复数,并将结果化为代数形式.
(1)×;
(2)8÷.
变式 计算:(1)(cos 60°-isin 240°)×6(cos 30°-isin 210°)= ;
(2)2×4= ;
(3)10÷= .
[素养小结]
(1)积的模等于模的积,积的辐角等于辐角之和,做复数乘法运算时,三角形式和代数形式可以交替使用,但是结果一般保留代数形式.
(2)商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角,结果一般保留代数形式.商的辐角主值不一定等于被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的差,实际上,arg与arg z1,arg z2的关系是arg=arg z1-arg z2+2kπ(k∈Z).
◆ 探究点四 复数乘、除法运算的三角表示的几何意义的应用
例5 如图所示,四边形ABCD是矩形,点A和点B对应的复数分别为-1+2i,1+i,且||∶||=1∶,求点C和点D对应的复数.
变式 已知在复平面内,复数z1=-2+i对应的点为P1,z2=-3+4i对应的点为P2,把向量绕点P1按顺时针方向旋转后,得到向量,求向量和点P对应的复数.12.4 复数的三角形式*
一、选择题
1.复数cos-isin的辐角主值是 ( )
A. B.
C. D.
2.把复数+i化成三角形式,正确的是 ( )
A.cos+isin B.cos+isin
C.cos+isin D.cos+isin
3.若复数z=,则z2= ( )
A.-2i B.1+i
C.1-i D.2i
4.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转,得到向量,则对应的复数是 ( )
A.+i B.-+i
C.--i D.-i
5.计算:= ( )
A.-1-i B.1+i
C.--i D.+i
6.设z1=-1+i,z2=,则arg z2= ( )
A. B.
C. D.
7.若z=cos θ+isin θ(θ∈R,i是虚数单位),则|z-2-2i|的最小值是 ( )
A.2 B.
C.2+1 D.2-1
8.(多选题)已知复数z=cos+isin,则下列结论中正确的是 ( )
A.|z|=1
B.=cos+isin
C.复数z是方程x3-1=0的一个根
D.复数-z的辐角主值为-
9.(多选题)把复数z1与z2对应的向量,分别绕点O按逆时针方向旋转和后,重合于向量,且与的模相等,已知z2=-1-i,则复数z1的代数形式和它的辐角分别是 ( )
A.--i,
B.-+i,
C.--i,
D.-+i,
二、填空题
10.复数1+i的模是 ,辐角主值是 ,三角形式是 .
11.= .
12.在复平面中,已知O为坐标原点,向量对应的复数为-2i,将绕点O按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量,则对应的复数是 .
三、解答题
13.(1)在复平面内画出复数2-2i所对应的向量,并将复数2-2i表示成三角形式.
(2)在复平面内画出复数--i所对应的向量,并将复数--i表示成三角形式.
14.(1)已知复数z1=,z2=cos+isin,求z1z2并把结果化为代数形式.
(2)已知复数z1=8i,z2=2(cos 45°+isin 45°),求并把结果化为代数形式.
15.化简:= .
16.[2024·重庆育才中学高一期中] 棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立.设两个复数用三角形式表示为z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].令z1=z2=…=zn=z,则能导出复数乘方公式:zn=rn(cos nθ+isin nθ).请用以上知识解决以下问题.
(1)试将z=-3i写成三角形式;
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式:sin 3θ=3sin θ-4sin3θ,cos 3θ=4cos3θ-3cos θ.
