本章总结提升
【知识辨析】
1.× 2.× 3.× 4.√ 5.×
【素养提升】
题型一
例1 (1)A (2)C [解析] (1)因为z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,所以所以m=2.故选A.
(2)因为x+y+(x-y)i=2,所以解得所以xy=1.故选C.
变式 (1)A (2)AD [解析] (1)3i-的虚部为3,3i2+i=-3+i的实部为-3,所以所求复数为3-3i,故选A.
(2)因为复数z与其共轭复数的实部相等,虚部互为相反数,所以z+∈R,A正确;当z为实数时,也为实数,则z-是实数,B错误;若z=cos+isin,则|z|=≠1,C错误;设z=x+yi(x,y∈R),若|z-i|=1,则z在复平面内对应的点在以(0,1)为圆心,1为半径的圆上,又|z|=表示z对应的点到原点的距离,所以|z|的最大值为2,D正确.故选AD.
题型二
例2 (1)A (2)B (3)BCD [解析] (1)因为z====-i,所以=i,所以z-=-i-i=-i.故选A.
(2)z=1+2i+3i2+4i3+…+2024i2023=(1+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+…+(2021+2022i-2023-
2024i)=(-2-2i)+(-2-2i)+…+(-2-2i)=-1012-1012i,则z的虚部为-1012.故选B.
(3)设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.对于选项A,例如z1=i,则|z1|2=1,=-1,显然|z1|2≠,故A错误;对于选项B,因为z2≠0,所以===+i,则=-i,又因为=a-bi,=c-di,所以===-i,所以=,故B正确;对于选项C,因为z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=0,所以则a=b=0或c=d=0,即z1=0或z2=0,所以z1,z2至少有1个为0,故C正确;对于选项D,若z1,z2是两个虚数,则b≠0,d≠0,因为z1+z2=(a+c)+(b+d)i∈R,所以b+d=0,即b=-d,又因为z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i∈R,所以ad+bc=0,即ad-dc=0,可得a=c,所以z1=c-di=,即z1,z2为共轭复数,故D正确.故选BCD.
变式 (1)B (2)B (3)-2 ±2 [解析] (1)由z-i=1+i可得z=1+2i,所以====2-i.故选B.
(2)由题意得Δ=4-4(-a+1)<0,得a<0,方程x2-2x-a+1=0(a∈R)的虚数根为x==1±i,因为在复平面内两虚根对应的点之间的距离为2,所以2=2,得a=-3.故选B.
(3)∵z1=1+i,z2=2+ai,∴z1·z2=(1+i)(2+ai)=(2-a)+(a+2)i,又z1·z2为实数,∴a+2=0,得a=-2.由|z1·z2|=4,得=4,解得a=±2.
题型三
例3 (1)A (2)A [解析] (1)因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以(1+3i)(3-i)在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A.
(2)在复平面内,∵A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,2-i,-3+i,∴A(1,3),B(2,-1),C(-3,1).设D(x,y),∵=(1,-4),=(-3-x,1-y),四边形ABCD是平行四边形,∴解得∴点D对应的复数为-4+5i,故选A.
变式 (1)A (2) [解析] (1)因为复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标是(2,1),所以z=2-i,则z(1-i)=(2-i)(1-i)=2-2i-i-1=1-3i.故选A.
(2)∵z1=i(-4+3i)=-3-4i,z2=7+i,∴=(-3,-4),=(7,1),∴·=-21-4=-25,||=5,||=5,∴cos∠Z1OZ2==-,又∠Z1OZ2∈[0,π],∴∠Z1OZ2=.
例4 (1)A (2)2 (3)3 [解析] (1)|z|====.故选A.
(2)方法一:设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=+i-(a+bi)=(-a)+(1-b)i,故
即又z1-z2=(2a-)+(2b-1)i,∴|z1-z2|2=(2a-)2+(2b-1)2=4a2+4b2-4a-4b+4=2(a2+b2)+2(a2+b2-2a-2b)+4=2×4+4=12,∴|z1-z2|=2.
方法二:在复平面内,设z1,z2对应的向量分别为a,b,则|a|=|b|=2,且a+b=(,1).∵(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,∴4+(a-b)2=16,得|a-b|=2,即|z1-z2|=2.
(3)复数z满足1≤|z+1+i|≤,即1≤|z-(-1-i)|≤,即在复平面内复数z对应的点Z到点C(-1,-1)的距离d满足1≤d≤.设P(1,1),|z-1-i|表示点Z到点P(1,1)的距离,数形结合可知|z-1-i|的最大值为+=3.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)因为z=1+i,所以z2=(1+i)2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z+1|=|2i-2-2i+1|=|-1|=1.故选A.
(2)设z=a+bi(a,b∈R),则|z-i|+|z+i|=2表示z在复平面内对应的点(a,b)到点A(0,1)和点B(0,-1)的距离之和为2,∴点(a,b)在线段AB上.∵|z|表示点(a,b)到点(0,0)的距离,∴|z|max=1.故选A.
题型四
例5 (1)A [解析] z1z2=2(cos π+isin π)×=2(cos π+
isin π)×=2×=2=2=2=-+i,故选A.
(2)解:z1=-+i=2=2(cos 150°+isin 150°),则根据题设条件得z2=2(cos 150°+isin 150°)×[cos(-120°)+isin(-120°)]=2[cos(150°-120°)+isin(150°-120°)]=2(cos 30°+
isin 30°)=+i.
变式 (1)C [解析] 由已知得=cos+isin=--i,∴复数在复平面内对应的点的坐标为,该点位于第三象限.故选C.
(2)解:①8×2=16=16=8+8i.
②8(cos 240°+isin 240°)÷[2(cos 150°-isin 150°)]==4(cos 390°+
isin 390°)=4(cos 30°+isin 30°)=2+2i.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.形如a+bi的数叫作复数,其中a,b分别是它的实部和虚部. ( )
2.互为共轭复数的两数之差一定是纯虚数. ( )
3.设z=(2t2+5t-3)+(t2-2t+2)i(t∈R),则z在复平面内对应的点Z在第一象限. ( )
4.复数的模|z|==||,它表示复平面内的点Z(a,b)到原点O的距离,一般地,|z1-z2|表示z1与z2对应的两点间的距离. ( )
5.复数z=-2(cos 30°+isin 30°)的辐角主值是30°.( )
◆ 题型一 复数的概念与分类
[类型总述] (1)复数的分类;(2)实部、虚部、纯虚数;(3)复数相等.
例1 (1)若复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,则实数m的值为 ( )
A.2 B.3
C.2或3 D.0或3
(2)若实数x,y满足x+y+(x-y)i=2,则xy的值是 ( )
A.-2 B.2 C.1 D.-3
变式 (1)以3i-的虚部为实部,以3i2+i的实部为虚部的复数是 ( )
A.3-3i B.3+i
C.-+i D.+i
(2)(多选题)[2024·惠州三校高一月考] 设复数z的共轭复数为,i为虚数单位,则下列说法正确的是 ( )
A.z+∈R
B.z-是纯虚数
C.若z=cos+isin,则|z|=1
D.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2
◆ 题型二 复数代数形式的四则运算
[类型总述] (1)复数代数形式的加、减、乘、除运算;(2)in(n∈N*)的周期性.
例2 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知z=,则z-= ( )
A.-i B.i
C.0 D.1
(2)[2024·江苏连云港高级中学月考] 复数z=1+2i+3i2+4i3+…+2024i2023的虚部为 ( )
A.-1011 B.-1012
C.1011 D.1012
(3)(多选题)[2024·江苏南通海安实验中学高一期中] 已知z1,z2∈C,下列说法正确的是 ( )
A.|z1|2=
B.=(z2≠0)
C.若z1·z2=0,则z1,z2至少有1个为0
D.若z1,z2是两个虚数,z1+z2∈R,z1·z2∈R,则z1,z2为共轭复数
变式 (1)[2024·江苏扬州高一期末] 设复数z满足z-i=1+i,则= ( )
A.2+i B.2-i
C.-i D.i
(2)[2024·江苏宿迁高一期中] 已知关于x的方程x2-2x-a+1=0(a∈R)有两个虚数根,在复平面内两虚根对应的点之间的距离为2,则a的值为 ( )
A.-2 B.-3
C.-4 D.-5
(3)已知复数z1=1+i,z2=2+ai(其中i为虚数单位),若z1·z2为实数,则实数a的值为 ;若|z1·z2|=4,则实数a的值为 .
◆ 题型三 复数的几何意义及其应用
[类型总述] (1)复数的表示(点和向量);(2)复数的模;(3)复数加、减法的几何意义.
例3 (1)[2023·新课标Ⅱ卷] 在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)[2023·江苏高邮高一期中] 四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,2-i,-3+i,则点D对应的复数为 ( )
A.-4+5i B.-2-3i
C.6+i D.2+3i
变式 (1)若复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标是(2,1),则z(1-i)= ( )
A.1-3i B.3-i
C.-3+i D.-3-i
(2)[2023·华南师大附中高一月考] 在复平面内,O为坐标原点,复数z1=i(-4+3i),z2=7+i对应的点分别为Z1,Z2,则∠Z1OZ2的大小为 .
例4 (1)[2024·江苏苏州高一期末] 设i为虚数单位,复数z满足(3-i)z=4+2i,则|z|= ( )
A. B.
C.2 D.4
(2)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|= .
(3)[2024·台州十校高一期中] 若i为虚数单位,复数z满足1≤|z+1+i|≤,则|z-1-i|的最大值为 .
变式 (1)若z=1+i,则|z2-2z+1|= ( )
A.1 B.
C.2 D.4
(2)[2023·江苏淮安高一期中] 设复数z满足|z-i|+|z+i|=2,其中i为虚数单位,则|z|的最大值为 ( )
A.1 B.2
C. D.
◆ 题型四 复数的三角形式
[类型总述] (1)复数三角形式的乘、除运算法则;(2)复数三角形式的乘、除运算的几何意义.
例5 (1)若复数z1=2(cos π+isin π),复数z2=,则z1z2= ( )
A.-+i B.-i
C.+i D.-i
(2)在复平面内,设z1=-+i对应的向量为(O为坐标原点),将绕点O按顺时针方向旋转120°,并将其模变为原来的,求所得向量对应的复数z2(用代数形式表示).
变式 (1)复数在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)计算:①8×2;
②8(cos 240°+isin 240°)÷[2(cos 150°-isin 150°)].(共33张PPT)
本章总结提升
题型一 复数的概念与分类
题型二 复数代数形式的四则运算
题型三 复数的几何意义及其应用
题型四 复数的三角形式
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1.形如的数叫作复数，其中， 分别是它的实部和虚部.( )
×
2.互为共轭复数的两数之差一定是纯虚数.( )
×
3.设，则 在复平面内对应
的点 在第一象限.( )
×
4.复数的模，它表示复平面内的点 到原
点的距离，一般地，表示与 对应的两点间的距离.( )
√
5.复数的辐角主值是 .( )
×
题型一 复数的概念与分类
［类型总述］（1）复数的分类；（2）实部、虚部、纯虚数；（3）
复数相等.
例1（1） 若复数 是纯虚数,则实数
的值为( )
A.2 B.3 C.2或3 D.0或3
[解析] 因为 是纯虚数,所以
所以 .故选A.
√
（2）若实数,满足,则 的值是( )
A. B.2 C.1 D.
[解析] 因为,所以解得 所以
.故选C.
√
变式（1） 以的虚部为实部,以 的实部为虚部的复数
是( )
A. B. C. D.
[解析] 的虚部为3,的实部为 ,所以所
求复数为 ，故选A.
√
（2）（多选题）[2024·惠州三校高一月考] 设复数 的共轭复数为
， 为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是纯虚数
C.若，则
D.若，则 的最大值为2
√
√
[解析] 因为复数与其共轭复数 的实部相等，虚部互为相反数，所
以，A正确；
当为实数时，也为实数，则 是实数，B错误；
若，则 ，C错误；
设，若，则 在复平面内对应的点在以
为圆心，1为半径的圆上，又表示 对应的点到原
点的距离，所以的最大值为2，D正确.
故选 .
题型二 复数代数形式的四则运算
［类型总述］（1）复数代数形式的加、减、乘、除运算;（2）
的周期性.
例2（1） [2023· 新课标Ⅰ卷]已知，则 ( )
A. B. C.0 D.1
[解析] 因为，所以 ，所以
.故选A.
√
（2）[2024·江苏连云港高级中学月考]复数
的虚部为( )
A. B. C.1011 D.1012
[解析]
,则的虚部为 .故选B.
√
（3）（多选题）[2024·江苏南通海安实验中学高一期中] 已知 ,
，下列说法正确的是( )
A.
B.
C.若，则, 至少有1个为0
D.若,是两个虚数，，，则, 为共轭复数
√
√
√
[解析] 设,,,,,.对于选项A，例如 ，
则,，显然 ，故A错误；
对于选项B，因为，所以 ，
则，又因为, ，所以
，所以 ，故B正确；
对于选项C，因为
，所以 则或，即或，
所以 ,至少有1个为0，故C正确；
对于选项D，若, 是两个虚数，则,，因为
，所以 ，即 ，又因为
，所以，
即，可得，所以 ，即,为共轭复
数，故D正确.故选 .
变式（1） [2024·江苏扬州高一期末]设复数满足 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由可得 ，所以
.故选B.
√
（2）[2024·江苏宿迁高一期中]已知关于 的方程
有两个虚数根，在复平面内两虚根对应的点之间的距离为，
则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，得 ，方程
的虚数根为 ，
因为在复平面内两虚根对应的点之间的距离为，所以 ，
得 .故选B.
√
（3）已知复数,（其中为虚数单位）,若
为实数,则实数的值为_____;若,则实数 的值为_____.
[解析] , ,
,
又 为实数, ,得.
由,得 ,解得 .
题型三 复数的几何意义及其应用
［类型总述］（1）复数的表示（点和向量）;（2）复数的模;（3）
复数加、减法的几何意义.
例3（1） 新课标Ⅱ卷］ 在复平面内， 对应的
点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为 ，所以
在复平面内对应的点为 ，位于第一象限，故选A.
√
（2）[2023·江苏高邮高一期中]四边形 是复平面内的平行四边
形,,,三点对应的复数分别是,,,则点 对应的复数
为( )
A. B. C. D.
[解析] 在复平面内,,B,C三点对应的复数分别是, ,
,,,.
设, ,,四边形是平行四
边形, 解得 点D对应的复数为 ,故选A.
√
变式（1） 若复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标是 ,
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标是 ,所以
,则 .故选A.
√
（2）[2023·华南师大附中高一月考] 在复平面内, 为坐标原点,复数
,对应的点分别为,,则 的大小为
____.
[解析] ,,
, ,
,, ,
,
又， .
例4（1） [2024·江苏苏州高一期末]设为虚数单位，复数 满足
，则 ( )
A. B. C.2 D.4
[解析] .故选A.
√
（2）设复数,满足,,则
_____.
[解析] 方法一：设 ,则
,
故 即
又 ,
, .
方法二：在复平面内，设, 对应的向量分别为,，则 ,且
,
,得，即 .
（3）[2024·台州十校高一期中] 若为虚数单位，复数 满足
，则 的最大值为_____.
[解析] 复数满足，即 ，
即在复平面内复数对应的点到点
的距离 满足.
设，表示点到点 的距
离，数形结合可知的最大值为
.
变式（1） 若,则 ( )
A.1 B. C.2 D.4
[解析] 因为,所以, ,所以
.故选A.
√
（2）[2023·江苏淮安高一期中]设复数满足 ,其中
为虚数单位,则 的最大值为( )
A.1 B.2 C. D.
[解析] 设,则表示 在复平面
内对应的点到点和点的距离之和为2, 点
在线段上.
表示点到点的距离, .故选A.
√
题型四 复数的三角形式
［类型总述］（1）复数三角形式的乘、除运算法则;（2）复数三角
形式的乘、除运算的几何意义.
例5（1） 若复数 ,复数,
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析]
,故选A.
（2）在复平面内,设对应的向量为（ 为坐标原
点）,将绕点按顺时针方向旋转 ,并将其模变为原来的 ,求
所得向量对应的复数 （用代数形式表示）.
解： ,
则根据题设条件得
.
变式（1） 复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由已知得, 复数
在复平面内对应的点的坐标为 ,该点位于第
三象限.故选C.
√
（2）计算:
① ;
解： .
② .
解：
.
