滚动习题(六)
1.C [解析] |z|==.
2.A [解析] 根据题意,复数z=a+(a2-1)i是纯虚数,所以a=0且a2-1≠0,得a=0.故选A.
3.D [解析] 因为==-i,所以=(-i)2024=i2024=i4×506=(i4)506=1.故选D.
4.B [解析] 由题意可知,z===--i,所以=-+i,所以=-+i在复平面内对应的点为,位于第二象限.故选B.
5.C [解析] 因为z1=2+i,所以其在复平面内对应的点为(2,1),(2,1)关于直线y=x对称的点为(1,2),则z2=1+2i,所以|z2+1-3i|=|1+2i+1-3i|=|2-i|==.故选C.
6.C [解析] 设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),由题可得a2-b2-2a+m+(2ab-2b)i=0,所以可得因为|z|==,所以b2=1,则m=2.故选C.
7.ABD [解析] 对于A选项,z=3+4i的虚部为4,A正确;对于B选项,=3-4i,B正确;对于C选项,z2=(3+4i)2=32+24i+16i2=9-16+24i=-7+24i,|z|2=32+42=9+16=25,故z2≠|z|2,C错误;对于D选项,(2+i)2=4+4i+i2=3+4i,故2+i是z的一个平方根,D正确.故选ABD.
8.BCD [解析] 对于A,当z=-i时,z2=-1,所以A错误;对于B,令z=a+bi(a,b∈R),则z2=(a2-b2)+2abi,所以|z2|====a2+b2,因为|z|2=a2+b2,所以|z2|=|z|2,所以B正确;对于C,设z1,z2在复平面内对应的向量分别为,,则|z1-z2|=|-|=||,|z1|-|z2|=||-||,因为||≥||-||,所以|z1-z2|≥|z1|-|z2|,所以C正确;对于D,令z=a+bi(a,b∈R),则z在复平面内对应的点为(a,b),由|z+1+i|=2,得点(a,b)在以(-1,-1)为圆心,2为半径的圆上,所以|z|的最小值为2-,最大值为2+,即|z|的取值范围为[2-,2+],所以D正确.故选BCD.
9.7-i [解析] (+i)·(-2i)=5+i-2i+2=7-i.
10.-12 [解析] 由于3-i是方程2x2+mx+n=0的一个根,则3+i是方程2x2+mx+n=0的另一个根,所以3+i+3-i=6=-,得m=-12.
11. [解析] 依题意,A(-2,1),B(1,-3),O(0,0),则||==,||==,||==5.在△AOB中,由余弦定理得cos∠AOB===-,又∠AOB∈,
所以∠AOB=.
12.解:(1)复数z=(m2-1)+(m2-m-2)i的实部为m2-1,虚部为m2-m-2,
若z为纯虚数,则解得m=1.
(2)因为z在复平面内对应的点为(m2-1,m2-m-2),且点在直线x-y+1=0上,
所以m2-1-(m2-m-2)+1=0,解得m=-2.
13.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),
则=a-bi,2z+=2(a+bi)+(a-bi)=3a+bi=3+2i,
∴解得故z=1+2i.
(2)∵z是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,
∴是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的另一个根,
∴解得
∴====,即复数的模为.
14.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则w=z+=a+bi+=a+bi+=a++i,
∵w∈R,∴b-=0,∵b≠0,∴a2+b2=1,∴|z|=1,此时w=2a,
∵-1
即z的实部的取值范围为.
(2)证明:u===
=,
∵a2+b2=1,∴u==-i,
∵b≠0,-(3)w-u2=2a+=2a+=2a+=2-3,
∵-0,则(a+1)+≥2,当且仅当a=0时取等号,∴w-u2≥2×2-3=1,
当且仅当a=0时,w-u2取得最小值1.滚动习题(六)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.[2024·新课标Ⅱ卷] 已知z=-1-i,则|z|= ( )
A.0 B.1
C. D.2
2.[2024·江苏南通期末] 若复数z=a+(a2-1)i是纯虚数,则实数a的值为 ( )
A.0 B.1
C.-1 D.±1
3.[2024·广东深圳实验中学期中] 已知i为虚数单位,则= ( )
A.i B.-1
C.-i D.1
4.[2024·江苏宿迁期末] 已知复数z满足=-1+2i(i为虚数单位),则z的共轭复数在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.[2024·辽宁东北育才学校期中] 在复平面内,复数z1,z2对应的点关于直线y=x对称,若z1=2+i,则|z2+1-3i|= ( )
A. B.5
C. D.1
6.若虚数z是关于x的方程x2-2x+m=0(m∈R)的一个根,且|z|=,则m= ( )
A.6 B.4
C.2 D.1
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2024·江苏镇江期末] 已知复数z=3+4i(i是虚数单位),是z的共轭复数,则下列说法中正确的是 ( )
A.z的虚部为4
B.=3-4i
C.z2=|z|2
D.2+i是z的一个平方根
8.[2024·江苏南京六校联合体期末] 下列有关复数的说法正确的是 ( )
A.若z2=-1,则z=i
B.|z2|=|z|2
C.|z1-z2|≥|z1|-|z2|
D.若|z+1+i|=2,则|z|的取值范围为[2-,2+]
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.[2024·天津卷] 已知i是虚数单位,则复数(+i)·(-2i)= .
10.[2024·菏泽期末] 若虚数3-i是关于x的实系数方程2x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根,则m= .
11.设复数-2+i与复数1-3i在复平面内对应的点分别为A,B,若O为坐标原点,则钝角∠AOB的大小为 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)[2024·扬州一中月考] 已知复数z=(m2-1)+(m2-m-2)i,m∈R.
(1)若z是纯虚数,求m的值;
(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y+1=0上,求m的值.
13.(15分)已知复数z和它的共轭复数满足2z+=3+2i.
(1)求z;
(2)若z是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,求复数的模.
14.(15分)[2024·江苏南京外国语学校月考] 设z是虚数,w=z+∈R,且-1(1)求|z|及z的实部的取值范围;
(2)求证:u是纯虚数;
(3)求w-u2的最小值.