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第3节 电势差与电场强度的关系
学习任务一 电势差与静电力做功
学习任务二 匀强电场中电场强度与电势差的关系
学习任务三 非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析
素养提升
随堂巩固
备用习题
学习任务一 电势差与静电力做功
［教材链接］ 阅读教材，完成以下填空.
1.定义：在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差，电势差也叫作电压.
2.定义式：_________，由此可知.
3.静电力做功与电势差的关系：_____，适用于所有静电场.
例1 (多选)下列说法正确的是( )
A.电势差与电势都具有相对性，与零电势点的选取有关
B.电势差是标量，但是正值和负值的意义不同
C.因为静电力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关
D.电场中、两点之间的电势差是恒定的，不随零电势点的不同而改变，所以
√
√
[解析] 电势具有相对性，电场中各点的电势与零电势点的选取有关，而电势差是标量，有正、负之分，但电势差与零电势点的选取无关，故A错误，B正确；由于，故，D错误；电势差为电场中两点电势之差，与移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关，故C正确.
例2 [2024·三明二中期末] 某点电荷的电荷量为，在静电场中从点移动到点，除静电力以外的其他力对它做功，点电荷的动能增加了，则、两点间的电势差为___________.
[解析] 根据动能定理有，得.
【要点总结】
关于电势差的四点说明
(1)电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关.在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值.
(2)讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差.、间的电势差记为，、间的电势差记为.
(3)电势差为标量，有正、负之分，电势差的正、负表示电场中两点间的电势的高、低.
(4)电场中两点间的电势差与零电势点的选取无关.
学习任务二 匀强电场中电场强度与电势差的关系
［科学论证］ 如图所示为一个匀强电场，电场强度大小为，、两点连线与电场方向平行，其电势差为，、相距为.现将一个电荷量为的电荷由点移到点.
(1) 从力和位移的角度计算，静电力所做的功_____;通过、间的电势差计算，静电力所做的功______.
(2) 两次计算出的功相等，可以得出电势差与电场强度的关系为__________.
(3) 、在同一等势面上，与电场强度的关系为__________.
(4) 结论：
① 匀强电场中两点间的电势差等于__________________________________的乘积.
电场强度与这两点沿电场方向的距离
② 关系式：________.
③ 适用条件：______电场，是沿______方向两点间的距离.
匀强
电场
例3 如图所示是匀强电场中的一组等势面，若、、、相邻两点间距离都是，则该电场的场强大小为_ ______，到点距离为的点电势为______.
[解析] 因为电场是匀强电场，所以，
例4 [2024·三明一中月考] 图中、、三点都在匀强电场中，已知， ，，把一个电荷量的正电荷从移到，电场力做功为零；从移到，电场力做功为，则该匀强电场的场强大小和方向是( )
A.，垂直向左 B.，垂直斜向下
C.，垂直向右 D.，垂直斜向上
√
[解析] 把一个正电荷从A移到B，电场力做功为零，可知为等势面，间的电势差为，根据沿电场线电势降低，匀强电场的场强方向为垂直斜向下，该匀强电场的场强大小为
，故选B.
【要点总结】
关系式表明了电场强度与电势差的关系
(1)大小关系：由可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势，电场强度是电势对空间位置的变化率，电势随空间位置变化的快慢，反映了电场强度的大小.
(2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向.
学习任务三 非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析
［科学思维］
1.只适用于匀强电场中的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题.由可得，等差等势面越密的地方电场强度就越大.
2.如图所示，、、为某条电场线上的三个点，且距离，由于不知电场的性质，故电势差与的大小关系不能确定.
例5 [2024·同安一中月考] 如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，、两点的电势分别为，，则、连线的中点的电势应为( )
A. B.
C. D.无法判断的高低
[解析] 由图看出，段电场线比段电场线密，段场强较大，根据公式可知，、间电势差大于、间电势差，即，得到，故B正确.
√
【要点总结】
沿场强方向相同距离的两点间，场强越大，电势差越大，也可得出，等差等势面越密，电场强度越大.
匀强电场中电势差与电场强度关系的两个推论
推论1：匀强电场中的任意一线段的中点的电势.
推论2：匀强电场中若两线段，且，则(或).
示例1 如图所示，、、、是匀强电场中的四个点，它们正好是一个梯形的四个顶点.电场线与梯形所在的平面平行.平行于，且边长为边长的一半.已知点的电势是 m>，点的电势是，点的电势是，则点的电势为( )
A. B. C.D.
<
√
[解析] 在匀强电场中，沿任意平行方向的相等的长度上，电势变化量相等，故，可得点的电势，选项C正确.
示例2 [2024·泉州二中月考] 如图所示，水平面内有、、、、、六个点，它们均匀分布在半径为的同一圆周上，空间有一方向与圆平面平行的匀强电场.已知、、三点的电势分别为，，，下列判断不正确的是( )
A.圆心的电势 B.、连线为等势线
C.该圆周上电势最高为 D.电场强度的大小为
√
[解析] 设中点为，如图所示，则根据匀强电场的性质可解得该点的电势为，则，C、连线为等势线，圆心的电势，故A、B正确，不符合题意；
、A两点间的电势差为,、A两点间的距离,根据电场强度公式可得，沿着电场线方向电势逐渐降低，因此点电势最高，有，而，解得，故C正确，不符合题意，D错误，符合题意.
1. (多选)如图所示为孤立的正点电荷所激发电场的三条电场线,某条直线与一条电场线垂直相交,交点为b,该直线上还有a、c、d三点,且ab=bc=cd.下列说法正确的是 ( )
A.a、c两点的电场强度相同
B.a、c两点的电势相等
C.b、a两点的电势差大于c、d两点的电势差
D.b、d两点的电势差等于b、a两点电势差的2倍
√
√
[解析] 由数学知识可知a点与c点到场源电荷的距离相等,因此a、c两点的电场强度大小相等,但方向不同,选项A错误;
a点与c点到场源电荷的距离相等,因此在同一等势线上,所以a、c两点的电势相等,选项B正确;
a、c两点的电势相等,d点比b点到场源电荷的距离大,所以b到c处的平均电场强度比c到d处的平均电场强度大,根据U=d可知,Uba=Ubc>Ucd,Ubd=Ubc+Ucd<2Ubc=2Uba,选项C正确,D错误.
2.如图所示,a、b、c表示点电荷的电场中的三个等势面,它们的电势分别为φa=0.6 V、φb=0.4 V和φc=0.15 V.一质子从等势面a上某处由静止释放,仅受静电力作用而运动,它经过等势面b时的速率为v,则对质子的运动有下列判断:
①质子从等势面a运动到等势面c,电势能增加0.45 eV;
②质子从等势面a运动到等势面c,动能增加0.45 eV;
③质子经过等势面c时的速率为2.25v;
④质子经过等势面c时的速率为1.5v.
上述判断正确的是 ( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
√
[解析] 由于φa=0.6 V,φb=0.4 V,φc=0.15 V,则Uab=φa-φb=0.6 V-0.4 V=0.2 V,Uac=φa-φc=0.6 V-0.15 V=0.45 V,所以Wab=qUab=0.2 eV,Wac=qUac=0.45 eV,质子从等势面a运动到等势面c,静电力做功为0.45 eV,则电势能减小0.45 eV,动能增加0.45 eV,①错误,②正确;质子从等势面a运动到等势面b,静电力做功为0.2 eV,则动能增加0.2 eV,即质子经过等势面b时的动能是0.2 eV,同理,质子经过等势面c时的动能是0.45 eV,所以Ekc=2.25Ekb,由于Ek=mv2,联立可知vc=1.5vb,③错误,④正确,故选项D正确.
3. (多选)如图所示,边长为2 m的正方形ABCD放在一匀强电场中,匀强电场方向与正方形ABCD所在平面平行(图中未画出).已知A、B、C三点的电势分别为3 V、-1 V、-3 V,则下列说法中正确的是 ( )
A.D点的电势为1 V
B.电场强度方向由A指向C
C.该匀强电场的场强大小为E= V/m
D.该匀强电场的场强大小为E= V/m
√
√
[解析] 根据沿同一匀强电场中任何一个相同方向上,相距同样距离的两点间的电势差都是相同的,有φA-φB=φD-φC,代入已知数得φD=1 V,故A正确;
在AB上取一点M,使AM=MB,则φM=1 V,连接DM,则DM表示等势面,由于电场线跟等势面垂直,过A点作DM的垂线AN,就是电场线,如图所示,方向指向电势降低方向,因此指向右下方,故B错误;
由几何知识可得= = AN= m,可得该匀强
电场的场强大小为E=== V/m= V/m,故C正确,D错误.
4.在静电除尘器除尘机理的示意图中,a、b是直流高压电源的两极,图示位置的P、M、N三点在同一直线上,且PM=MN.尘埃在电场中通过某种机制带上负电,在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积,以达到除尘目的.由此可知a是直流高压电源的 (填“正极”“负极”),电场中P、M两点间的电势差的绝对值 (填“大于”“等于”或“小于”)M、N两点间的电势差的绝对值.
负极
大于
[解析] 尘埃带负电,在电场力作用下向集尘极迁移并沉积,说明集尘极带正电,所以a是直流高压电源的负极;根据电势差与距离的关系有U=Ed,由图可知PM段的平均场强大于MN段的平均场强,所以P、M两点间的电势差的绝对值大于M、N两点间的电势差的绝对值.
5. (多选)如图所示,平行放置的A、B两板间电势差为600 V,A板带正电并接地,A、B两板间距离为12 cm,C点到A板的距离为4 cm,下列说法正确的是( )
A.A、B两板间电场强度E=2000 V/m,C点的电势φC=200 V
B.A、B两板间的电场强度E=5000 V/m,C点的电势φC=-200 V
C.电子在C点具有的电势能为-200 eV
D.电子在C点具有的电势能为200 eV
√
√
[解析] A板接地,则其电势为零,因为A板带正电且A、B两板间电势差为600 V,则B板电势为-600 V,由此知C点电势为负值,则A、B两板间的电场强度E===50 V/cm=5000 V/m,C点的电势φC=-EdAC=-50 V/cm×4 cm=-200 V,
A错误,B正确;
电子在C点具有的电势能为200 eV,C错误,D正确.
6.如图所示,A、B、C、D是匀强电场中的四个点,D是BC的中点,A、B、C构成一个直角三角形,AB长为2 m,电场线与三角形所在的平面平行.将一电子从A点移到B点的过程中,电子克服电场力做功为10 eV,从A点移到C点过程中,电场力对电子做功为10 eV,由此可以判断 ( )
A.电场强度的方向由C指向B
B.电场强度的方向垂直A、D连线斜向上
C.电场强度的大小为5 V/m
D.电场强度的大小为 V/m
√
[解析] 一电子从A点移到B点的过程中,电子克服电场力做功为10 eV,有UAB=φA-φB==10 V,从A点移到C点过程中,电场力对电子做功为10 eV,则UAC=φA-φC==-10 V,且φD==φA,所以A、D连线为等势线,所以场强方向垂直AD指向B,根据几何关系可知,B到A、D连线的距离d= m,所以E== V/m,选项A、B、C错误,D正确.
7.如图所示,在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R=0.1 m的圆,P为圆周上的一点,O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场,场强大小E=100 V/m,则O、P两点的电势差可表示为 ( )
A.UOP=-10sin θ(V) B.UOP=10sin θ(V)
C.UOP=-10cos θ(V) D.UOP=10cos θ(V)
√
[解析] 由题图可知匀强电场的方向是沿y轴负方向的,沿着电场线的方向电势是降低的,所以P点的电势高于O点的电势,O、P两点的电势差UOP为负值.根据电势差与场强的关系可得UOP=-Ed=-ERsin θ=-10sin θ(V),选项A正确.
8. (多选) 如图所示,匀强电场中有A、B、C三点,AC⊥BC,∠B=53°,BC=6 m,一个带电荷量为1.5×10-6 C的负电荷由A点移到B点,电势能增加1.2×10-5 J,由B点移到C点,电场力做功WBC=0.下列说法正确的是 ( )
A.该电场的电场强度大小为1 V/m
B.该电场的电场强度方向沿着BC方向,由B指向C
C.B点的电势比A点的电势低8 V
D.带电荷量为4×10-6 C的正电荷由A点移到C点,电势能减少8×10-6 J
√
√
[解析] 负电荷由A点移到B点,电势能增加1.2×10-5 J,根据电场力做功等于电势能的减少量可知,负电荷由A点移到B点,电场力做功为WAB=-1.2×10-5 J,A、B两点处的电势差UAB=φA-φB== V=8 V,则A点的电势比B点的电势高8 V,选项C正确;
根据UBC==0,则B、C两点的电势相等,所以BC连线为
等势线,则电场强度方向沿AC方向,由A指向C,选项B错误;
根据UAB=UAC=8 V,AC=BCtan 53°=8 m,联立得电场强度为E== V/m=
1 V/m,选项A正确;
正电荷由A点移到C点的过程中,电场力做功为W=q'UAC=4×10-6×8 J=3.2×10-5 J,即电势能减少3.2×10-5 J,选项D错误.
1. (静电力做功与电势差的关系)(多选)对和的理解,下列说法正确的是( )
A.电场中、两点的电势差和两点间移动电荷的电荷量成反比
B.在电场中、两点间移动不同的电荷,静电力做的功和电荷量成正比
C.与、无关,与是否移动电荷也没有关系
D.与、无关,与电荷移动的路径无关
√
√
[解析] 电场中A、B两点间的电势差与这两点在电场中的位置有关,与是否移动电荷和移动电荷的电荷量及静电力做的功都无关,选项A错误,C正确;移动电荷时,静电力做的功与这两点间的电势差和所移动电荷的电荷量都有关,但与电荷移动的路径无关,选项B正确，D错误.
2. (匀强电场中电势差与电场强度的关系)关于匀强电场中场强和电势差的关系，下列说法正确的是( )
A.任意两点之间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
B.在任何方向上，若两点间距离相等，则它们之间电势差就相等
C.沿着电场线方向，相同距离上的电势差一定相等
D.电势降低的方向一定是电场强度的方向
√
[解析] 匀强电场中电势差与场强的关系为，其中是两点沿电场线方向的距离，并不是两点间的距离，故选项A错误；两点间距离相等，两点沿电场线方向的距离不一定相等，故选项B错误；由可知，沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降落一定相等，故选项C正确；电势降低最快的方向是电场强度的方向，故选项D错误.
3. (电势差和电场强度的定性分析)如图所示，、、是一条电场线上的三个点，电场线的方向由到，、间的距离等于、间的距离，用、、和、、分别表示、、三点的电势和电场强度，可以判定( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 只给出一条电场线，无法判断电场线的疏密，故无法判断
、、三点电场强度的大小，沿电场线方向电势降低，故，选项A正确.
4. (匀强电场电势差与电场强度的关系)[2024·三明期末] 如图所示，、为两平行金属板，两板间的距离，电势差，板间电场为匀强电场，其中板接地.则场强大小为_____，板的电势为____；点距板，点的电势为____.
300
30
21
[解析] 根据匀强电场电势差与电场强度的关系可知；板接地，电势为0，由于，可知；点距板，则点距板，根据，解得.第3节 电势差与电场强度的关系
[教材链接] 2.φA-φB 3.
例1 BC [解析] 电势具有相对性,电场中各点的电势与零电势点的选取有关,而电势差是标量,有正、负之分,但电势差与零电势点的选取无关,故A错误,B正确;由于UAB=φA-φB,UBA=φB-φA故UAB=-UBA,D错误;电势差为电场中两点电势之差,与移动电荷的路径无关,只跟这两点的位置有关,故C正确.
例2 3.0×104 V
[解析] 根据动能定理有qUMN+W其他=ΔEk,得UMN== V=3.0×104 V.
[科学论证] (1)qEd qUAB (2)UAB=Ed (3)UAC=Ed (4)①电场强度与这两点沿电场方向的距离 ②U=Ed
③匀强 电场
例3 -2.5
[解析] 因为电场是匀强电场,所以E=== V/m= V/m,UBP=E·PBsin 60°=×0.005× V=2.5 V,因UBP=φB-φP,φB=0,得φP=-2.5 V.
例4 B [解析] 把一个正电荷从A移到B,电场力做功为零,可知AB为等势面,BC间的电势差为UBC== V=-173 V,根据沿电场线电势降低,匀强电场的场强方向为垂直AB斜向下,该匀强电场的场强大小为E== V/m=1000 V/m,故选B.
例5 B [解析] 由图看出,ac段电场线比bc段电场线密,ac段场强较大,根据公式U=Ed可知,c、a间电势差Uca大于b、c间电势差Ubc,即φc-φa>φb-φc,得到φc>=35 V,故B正确.
素养提升
示例1 C [解析] 在匀强电场中,沿任意平行方向的相等的长度上,电势变化量相等,故φa-φb=φe-φc=φd-φe,可得d点的电势φd=3 V,选项C正确.
示例2 D [解析] 设AE中点为G,如图所示,则根据匀强电场的性质可解得该点的电势为φG==2 V,则φC=φG,C、F连线为等势线,圆心O的电势φO=2 V,故A、B正确,不符合题意;E、A两点间的电势差为UEA=φE-φA=2 V,E、A两点间的距离d=2Rsin 60°=4 cm,根据电场强度公式可得E== V/m=50 V/m,沿着电场线方向电势逐渐降低,因此H点电势最高,有UHO=ER=2 V,而UHO=φH-φO,解得φH=4 V,故C正确,不符合题意,D错误,符合题意.
随堂巩固
1.BC [解析] 电场中A、B两点间的电势差UAB与这两点在电场中的位置有关,与是否移动电荷和移动电荷的电荷量q及静电力做的功WAB都无关,选项A错误,C正确;移动电荷时,静电力做的功WAB与这两点间的电势差UAB和所移动电荷的电荷量q都有关,但与电荷移动的路径无关,选项B正确,D错误.
2.C [解析] 匀强电场中电势差与场强的关系为U=Ed,其中d是两点沿电场线方向的距离,并不是两点间的距离,故选项A错误;两点间距离相等,两点沿电场线方向的距离不一定相等,故选项B错误;由U=Ed可知,沿着电场线方向,任何相同距离上的电势降落一定相等,故选项C正确;电势降低最快的方向是电场强度的方向,故选项D错误.
3.A [解析] 只给出一条电场线,无法判断电场线的疏密,故无法判断a、b、c三点电场强度的大小,沿电场线方向电势降低,故φa>φb>φc,选项A正确.
4.300 30 21
[解析] 根据匀强电场电势差与电场强度的关系可知E==300 V/m;Q板接地,电势为0,由于UPQ=φP-φQ,可知φP=30 V;A点距P板3 cm,则A点距Q板d'=7 cm,根据UAQ=φA=Ed',解得φA=21 V.第3节 电势差与电场强度的关系
1.B [解析] 电势差是标量,静电力做的功也是标量,故A错误;根据UAB=知,在两点间移动电荷时,静电力不做功,则两点间的电势差为零,故B正确;两点间的电势差与移动的电荷量无关,由电场本身决定,故C错误;根据UAB=知,静电力做正功,电势差不一定大于零,若电荷为负,则电势差小于零,故D错误.
2.A [解析] 该电荷在A点的电势能大于在B点的电势能,则从A逆着电场线到B静电力做正功,所以该电荷一定为负电荷,故选项A正确,选项B错误;静电力做功WAB=EpA-EpB=1.2×10-8 J-0.80×10-8 J=0.40×10-8 J,选项D错误;由UAB=得UAB= V=-4.0 V,选项C错误.
3.A [解析] 根据动能定理得Wab+6.0×10-5 J=8.0×10-5 J,则Wab=8.0×10-5 J-6.0×10-5 J=2.0×10-5 J,由Uab=得Uab= V=1×104 V,选项A正确.
4.(1)-100 V (2)-300 V (3)-300 V
[解析] (1)A、N间的电势差UAN== V=-100 V,
又UAN=φA-φN,则A点的电势φA=-100 V.
(2)A、M间的电势差UAM== V=200 V,又UAM=φA-φM,则M板的电势φM=-300 V.
(3)M、N间的电势差UMN=φM-φN=-300 V.
5.BC [解析] UAB=Ed中的d为A、B两点沿电场线方向的距离,选项A、D错误;由UAB=Ed可知,沿电场线方向电势降落最快,且相同距离上电势降落必相等,选项B、C正确.
6.C [解析] 由于在匀强电场中,平行等间距的两条线段的两端点电势差相等,则有UBO=UOE,又由于UBO=φB-φO,UOE=φO-φE,解得φE=1 V,同理UAC=UEF,又由于UAC=φA-φC,UEF=φE-φF,解得φF=-3 V,故选C.
7.B [解析] A、B两点在电场强度方向上的距离d=·cos (180°-120°)=10× cm=5 cm.由于φA<φB,则UAB=-Ed=-100×5×10-2 V=-5 V,故B正确.
8.200
[解析] 由于a、c两点电势相等,故ac为一条等势线,电场方向与等势线垂直,且由电场方向从高电势指向低电势可知,电场方向垂直ac,且指向斜上方,则电场强度的大小为E== V/cm=200 V/m.
9.C [解析] 从电场线的分布情况可以看出φA-φC>φC-φB,所以φC<=5 V,C正确,A、B错误;负电荷在电势高的地方电势能小,D错误.
10.AC [解析] 电场线的疏密程度表示电场的强弱,故N点的场强比M点的场强大,故A正确;沿着电场线的方向电势降低,所以Q点的电势比P点的电势低,故B错误;P点电势高于Q点电势,根据Ep=φq可知,负电荷在P点时的电势能小于在Q点时的电势能,故C正确;根据电场线分布可知,M、O两点间的平均电场强度比O、N两点之间的平均电场强度小,故由公式U=Ed可知,M、O两点间的电势差小于O、N两点间的电势差,故D错误.
11.AD [解析] ac垂直于bc,电场强度沿ca和cb两个方向的分量大小分别为E1==2 V/cm、E2==1.5 V/cm,根据矢量合成可知E=2.5 V/cm,A正确;根据在匀强电场中平行线上等距的两点间的电势差相等,有φO-φa=φb-φc,解得φO=1 V,B错误;电子在a、b、c三点的电势能分别为-10 eV、-17 eV和-26 eV,故电子在a点的电势能比在b点的高7 eV,C错误;电子从b点运动到c点,电场力做功为W=(-17 eV)-(-26 eV)=9 eV,D正确.
12.9 10 等于
[解析] 因为匀强电场是平行于纸面的,所以等势线垂直于电场方向,而B、C两点电势相等,所以BC为等势线,电场方向平行于AB,而A点电势小于B点,所以电场方向是从B指向A,并且AD也是等势线,所以D点电势等于A点电势,为9 V;匀强电场的电场强度为E== V/m=10 V/m;电场力做功取决于初、末位置电势差,所以W1=qUAC=W2,所以W1等于W2.
13.(1)-54 V -6 V -48 V (2)0.108 J 0.012 J (3)0.096 J
[解析] (1)由E=得UBC=EdBC=1.2×103×4.5×10-2 V=54 V
因为φB=0,UBC=φB-φC,所以φC=-54 V
同理可得φD=-6 V
所以UCD=φC-φD=-48 V.
(2)由Ep=qφ得
EpC=q1φC=-2×10-3×(-54) J=0.108 J
EpD=q1φD=-2×10-3×(-6) J=0.012 J.
(3)把q2由C点匀速移到D点,静电力做负功,由于匀速移动,所以外力做功与静电力做功代数和为零,W外=-W电=-q2UCD=-2×10-3×(-48) J=0.096 J.
14.(1) - (2)
[解析] (1)粒子从C到B,根据动能定理得qUCB=m-m
解得UCB=
粒子从C到A,根据动能定理得qUCA=m-m
解得UCA=-
(2)根据(1)结果得UAC==UCB
如图所示,D、E两点将AB边三等分,根据匀强电场的电势分布特点可知,CD为
等势线
过A点作AF垂直CD,则AF=Lcos 30°=L
匀强电场的电场强度大小E==
专题课:静电场中的图像问题
1.BD [解析] 速度—时间图线上每一点的切线斜率表示瞬时加速度,由图像可知粒子由a点到b点运动过程中加速度逐渐减小,故A错误;粒子从a到b做加速度减小的变速运动,在b点时粒子运动的加速度为零,则粒子所受静电力为零,所以b点的电场强度为零,故B正确;由于b点的电场强度为零,所以有k=k,由于r2b2.BD [解析] 从C点到A点电场力一直做正功,故电势能一直减小,电势一直减小,故A、C错误;由乙图可知,小球在B点的加速度最大,加速度由电场力提供,故受电场力最大,B点的电场强度最大,由a=,a=,解得E=1.2 V/m,故B正确;由C点到B点电场力做功为W=m-0,C、B两点间的电势差为U==0.9 V,故D正确.
3.C [解析] 将正试探电荷从带正电荷的小球处沿两个小球连线向带负电荷的小球移动,静电力做正功,电势能不断减少,电势不断降低,选项B、D错误;考虑到该电场为非匀强电场,电势不会均匀降低,选项A错误,C正确.
4.D [解析] 由于电子的初始动能未知,所以电子到达O点时,动能不能确定,故A错误;根据能量守恒定律可知,电子从A到O点,电势能减小,则动能增大,φ-x图像的斜率代表电场强度,则电子从A到O点,先做匀速运动,后做加速度逐渐增大的加速运动,故B错误;从A到B,电子的动能不变,从B到C电子动能增加,从C到D动能不变,故C错误;根据电势能的计算公式Ep=eφ,可知整个运动过程中,电子的电势能减少了40 eV,故D正确.
5.D [解析] φ-x图像切线的斜率表示电场强度,故A错误;沿电场线方向电势降低,由图可知,x1和x2之间的电势先增大后减小,所以场强的方向先沿x轴负方向,再沿x轴正方向,故B错误;粒子由静止释放,电场力先做正功后做负功,所以电势能先减小后增大,故C错误;粒子运动的加速度为a==,从x=0到x=x2的过程中,切线的斜率的绝对值先减小后增大,所以电场强度先减小后增大,则加速度先减小后增大,故D正确.
6.BC [解析] 由题意可知,在x1左侧的电场强度方向沿x轴正方向,在x1右侧的电场强度方向沿x轴负方向,带正电的点电荷由x1运动到x4的过程中,静电力始终做负功,电势能增大,故选项A错误,选项B正确;由x1到x4,电场强度先增大后减小,则点电荷由x1运动到x4的过程中,静电力先增大后减小,故选项C正确,选项D错误.
7.D [解析] 由图像与x轴所围面积表示电势差,可知x1、x2两点处的电势不同,故A错误;由图像可知,球体内部的电场强度不是处处相等,所以内部电场为非匀强电场,故B错误;根据沿着电场线方向电势逐渐降低,可知球体内电势比球体表面高,故C错误;由图像可知,x1处与x2处场强大小相等,方向相同,故D正确.
8.CD [解析] 根据电场力做功与电势能的变化关系可知,带负电粒子仅在电场力作用下沿x轴正方向运动,电势能减小,则电场力做正功,因此电场强度方向沿 x轴负方向,故A错误;由题图可知,电势能的变化率不变,所以负电荷受到的电场力不变,该电场为匀强电场,根据公式W=qEx=-ΔEp,可知,电场强度E==2 N/C,故B错误;由图可知,x=5 m处的电势能Ep为零,根据公式Ep=qφ可知,x=5 m处的电势φ==0,故C正确;电子从原点O运动到x=4 m处的过程中,只有电场力做功,电势能降低了8 eV,那么动能增加了8 eV,故D正确.
9.AD [解析] 在两电荷连线的中点,由于两个电荷在此处产生的场强大小相等、方向相反,故该处场强为零,而在无穷远处场强也为零,所以从两点电荷连线的中点到无穷远处的场强先增大后减小,且场强大小关于电荷连线对称,两点电荷连线的中垂线上(中点除外)场强方向从中点指向无穷远,电势逐渐降低,且中点处的电势不是无穷大,A、D正确.
10.D [解析] φ-x图像切线的斜率表示电场强度,沿电场方向电势降低,因而在x=0的左侧,电场向左,且为匀强电场,故A错误;由于粒子带负电,粒子的加速度在x=0左侧为正值,在x=0右侧为负值,且大小不变,故B错误;在x=0左侧粒子向右做匀加速运动,在x=0右侧向右做匀减速运动,速度与位移不成正比,故C错误;在x=0左侧,根据动能定理得qEx=Ek-Ek0,在x=0的右侧,根据动能定理得-qEx=Ek-Ek0,故D正确.
11.D [解析] 粒子仅受电场力作用,先做初速度为零的加速直线运动,电场力做功等于电势能的减小量,故F=||,即Ep-x图像上某点的切线斜率的绝对值表示电场力大小,电场力逐渐减小,根据F=Eq可知,电场强度也逐渐减小,故A错误;根据动能定理有F·Δx=ΔEk,故Ek-x图线上某点切线的斜率表示电场力,由于电场力逐渐减小,故B错误;按照C图,速度随着位移均匀增加,因为速度在逐渐增大,所以经过相同位移所用时间越来越短,要想在相同位移内增加相同的速度,加速度要逐渐增大,即电场力要逐渐增大,故C错误;因为电场力逐渐减小最后趋近于0,粒子先做加速度减小的加速运动,速度达到某一值后做匀速运动,故D正确.
12.D [解析] x1处至x2处电势升高,根据沿着电场线方向电势降低,可得x1处至x2处电场的方向沿着x轴的负方向,A错误;φ-x图像的斜率表示场强,所以有O处至x1处电场强度的大小为E=,B错误;E-x图像与横轴围成的面积为电势差的大小,根据图像可得O处到x2处场强一直为正值,所以O处到x2处电场的方向一直沿着x轴的正方向,坐标原点O处与x2处之间的电势差为U=·(E1+E0)·x1+·(E1+E2)·(x2-x1)=,C错误,D正确.第3节 电势差与电场强度的关系
学习任务一 电势差与静电力做功
[教材链接] 阅读教材,完成以下填空.
1.定义:在电场中,两点之间电势的差值叫作电势差,电势差也叫作电压.
2.定义式:UAB= ,由此可知UAB=-UBA.
3.静电力做功与电势差的关系:UAB= ,适用于所有静电场.
例1 (多选)下列说法正确的是 ( )
A.电势差与电势都具有相对性,与零电势点的选取有关
B.电势差是标量,但是正值和负值的意义不同
C.因为静电力做功跟移动电荷的路径无关,所以电势差也跟移动电荷的路径无关,只跟这两点的位置有关
D.电场中A、B两点之间的电势差是恒定的,不随零电势点的不同而改变,所以UAB=UBA
[反思感悟]
例2 [2024·三明二中期末] 某点电荷的电荷量为q=+3.2×10-10 C,在静电场中从M点移动到N点,除静电力以外的其他力对它做功W=8.4×10-6 J,点电荷的动能增加了1.8×10-5 J,则M、N两点间的电势差UMN为 .
[反思感悟]
【要点总结】
关于电势差的四点说明
(1)电场中两点间的电势差,由电场本身决定,与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关.在确定的电场中,即使不放入电荷,任何两点间的电势差也有确定值.
(2)讲到电势差时,必须明确所指的是哪两点的电势差.A、B间的电势差记为UAB,B、A间的电势差记为UBA.
(3)电势差为标量,有正、负之分,电势差的正、负表示电场中两点间的电势的高、低.
(4)电场中两点间的电势差与零电势点的选取无关.
学习任务二 匀强电场中电场强度与电势差的关系
[科学论证] 如图所示为一个匀强电场,电场强度大小为E,A、B两点连线与电场方向平行,其电势差为UAB,A、B相距为d.现将一个电荷量为q的电荷由A点移到B点.
(1)从力和位移的角度计算,静电力所做的功W= ;通过A、B间的电势差计算,静电力所做的功W= .
(2)两次计算出的功相等,可以得出电势差与电场强度的关系为 .
(3)B、C在同一等势面上,UAC与电场强度的关系为 .
(4)结论:①匀强电场中两点间的电势差等于 的乘积.
②关系式: .
③适用条件: 电场,d是沿 方向两点间的距离.
例3 如图所示是匀强电场中的一组等势面,若A、B、C、D相邻两点间距离都是2 cm,则该电场的场强大小为 V/m,到A点距离为1.5 cm的P点电势为 V.
[反思感悟]
例4 [2024·三明一中月考] 图中A、B、C三点都在匀强电场中,已知AC⊥BC,∠ABC=60°,BC=20 cm,把一个电荷量q=10-5 C的正电荷从A移到B,电场力做功为零;从B移到C,电场力做功
为-1.73×10-3 J,
则该匀强电场的场强大小和方向是 ( )
A.865 V/m,垂直AC向左
B.1000 V/m,垂直AB斜向下
C.865 V/m,垂直AC向右
D.1000 V/m,垂直AB斜向上
【要点总结】
UAB=Ed关系式表明了电场强度与电势差的关系
(1)大小关系:由E=可知,电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势,电场强度是电势对空间位置的变化率,电势随空间位置变化的快慢,反映了电场强度的大小.
(2)方向关系:电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向.
学习任务三 非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析
[科学思维]
1.UAB=Ed只适用于匀强电场中的定量计算,在非匀强电场中,不能进行定量计算,但可以定性地分析有关问题.由E=可得,等差等势面越密的地方电场强度就越大.
2.如图所示,a、b、c为某条电场线上的三个点,且距离ab=bc,由于不知电场的性质,故电势差Uab与Ubc的大小关系不能确定.
例5 [2024·同安一中月考] 如图所示,实线表示电场线,虚线表示等势线,a、b两点的电势分别为φa=20 V,φb=50 V,则a、b连线的中点c的电势φc应为
( )
A.φc=35 V
B.φc>35 V
C.φc<35 V
D.无法判断φc的高低
【要点总结】
沿场强方向相同距离的两点间,场强越大,电势差越大,也可得出,等差等势面越密,电场强度越大.
匀强电场中电势差与电场强度关系的两个推论
推论1:匀强电场中的任意一线段AC的中点B的电势φB=.
推论2:匀强电场中若两线段AB∥CD,且AB=CD,则UAB=UCD(或φA-φB=φC-φD).
示例1 如图所示,a、b、c、d是匀强电场中的四个点,它们正好是一个梯形的四个顶点.电场线与梯形所在的平面平行.ab平行于cd,且ab边长为cd边长的一半.
已知a点的电势是3 V,b点的电势是5 V,c点的电势是7 V,则d点的电势为( )
A.1 V B.2 V C.3 V D.4 V
示例2 [2024·泉州二中月考] 如图所示,水平面内有A、B、C、D、E、F六个点,它们均匀分布在半径为R=4 cm的同一圆周上,空间有一方向与圆平面平行的匀强电场.已知A、C、E三点的电势分别为φA=(2-) V,φC=2 V,φE=(2+) V,下列判断不正确的是
( )
A.圆心O的电势2 V
B.C、F连线为等势线
C.该圆周上电势最高为4 V
D.电场强度的大小为100 V/m
1.(静电力做功与电势差的关系)(多选)对UAB=和WAB=qUAB的理解,下列说法正确的是 ( )
A.电场中A、B两点的电势差和两点间移动电荷的电荷量q成反比
B.在电场中A、B两点间移动不同的电荷,静电力做的功WAB和电荷量q成正比
C.UAB与q、WAB无关,与是否移动电荷也没有关系
D.WAB与q、UAB无关,与电荷移动的路径无关
2.(匀强电场中电势差与电场强度的关系)关于匀强电场中场强和电势差的关系,下列说法正确的是( )
A.任意两点之间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
B.在任何方向上,若两点间距离相等,则它们之间电势差就相等
C.沿着电场线方向,相同距离上的电势差一定相等
D.电势降低的方向一定是电场强度的方向
3.(电势差和电场强度的定性分析)如图所示,a、b、c是一条电场线上的三个点,电场线的方向由a到c,a、b间的距离等于b、c间的距离,用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度,可以判定( )
A.φa>φb>φc B.Ea>Eb>Ec
C.φa-φb=φb-φc D.Ea=Eb=Ec
4.(匀强电场电势差与电场强度的关系)[2024·三明期末] 如图所示,P、Q为两平行金属板,两板间的距离d=10 cm,电势差UPQ=30 V,板间电场为匀强电场,其中Q板接地.则场强大小为 V/m,P板的电势为 V;A点距P板3 cm,A点的电势为 V. 第3节 电势差与电场强度的关系建议用时:40分钟
◆ 知识点一 电势差与静电力做功
1.下列关于电势差和静电力做功的说法中正确的是( )
A.电势差是矢量,静电力做的功是标量
B.在两点间移动电荷时,静电力不做功,则两点间的电势差为零
C.在两点间被移动的电荷的电荷量越少,则两点间的电势差越大
D.在两点间移动电荷时,静电力做正功,则两点间的电势差大于零
2.电场中有A、B两点,一个点电荷在A点的电势能为1.2×10-8 J,在B点的电势能为0.80×10-8 J.已知A、B两点在同一条电场线上,如图所示,该点电荷的电荷量的绝对值为1.0×10-9 C,那么( )
A.该电荷为负电荷
B.该电荷为正电荷
C.A、B两点的电势差UAB=4.0 V
D.把该点电荷从A移到B,静电力做功为W=2.5×10-10 J
3.一个带正电的质点电荷量为q=2.0×10-9 C,在静电场中由a点移动到b点.在这一过程中除静电力外,其他力做的功为6.0×10-5 J,质点的动能增加了8.0×10-5 J,则a、b两点间的电势差Uab为( )
A.1×104 V B.-1×104 V
C.4×104 V D.-7×104 V
4.[2024·泉州一中月考] 如图所示,在平行金属带电极板M、N间电场中,将电荷量为-4×10-6 C的点电荷从A点移到M板,静电力做负功,大小为8×10-4 J,把该点电荷从A点移到N板,静电力做正功,大小为4×10-4 J,N板接地(规定大地电势为零).
(1)A点的电势φA是多少
(2)M板的电势φM是多少
(3)UMN为多少
◆ 知识点二 电势差与电场强度的关系
5.(多选)关于匀强电场中的场强和电势差的关系,下列说法正确的是 ( )
A.任意两点间的电势差等于电场强度和这两点间距离的乘积
B.沿电场线方向,相同距离上电势降落一定相等
C.电势降低最快的方向一定是电场强度的方向
D.在相同距离的两点上,电势差越大,则其电场强度越大
6.[2024·泉州五中月考] 如图所示,匀强电场中的六个点A、B、C、D、E、F为正八面体的六个顶点.已知BE中点O的电势为零,A、B、C三点的电势分别为7 V、-1 V、3 V,
则E、F两点的电势分别为( )
A.2 V,-2 V
B.-1 V,-5 V
C.1 V,-3 V
D.-2 V,-4 V
7.如图所示,A、B两点相距10 cm,匀强电场的电场强度E=100 V/m,AB与电场线方向的夹角θ=120°,则A、B两点间的电势差为( )
A.5 V
B.-5 V
C.10 V
D.-10 V
8.[2024·武平一中期中] 如图所示,在△abc中,bc=4 cm,∠acb=30°.匀强电场的电场线平行于△abc所在平面,
且a、b、c三点的电势分别为3 V、-1 V、3 V,则匀强电场的场强大小为 V/m.
◆ 知识点三 非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析
9.如图所示,在某电场中画出了三条电场线,C点是A、B连线的中点.已知A点的电势为φA=30 V,B点的电势为φB=-20 V,则下列说法正确的是
( )
A.C点的电势φC=5 V
B.C点的电势φC>5 V
C.C点的电势φC<5 V
D.负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
10.(多选)[2024·福安一中期末] 如图所示为一空腔导体周围的电场线分布图,电场方向如图中箭头所示,M、N、P、Q是以O点为圆心的一个圆周上的四点,其中M、N两点在一条直电场线上,P、Q两点在一条弯曲电场线上,下列说法正确的有 ( )
A.M点的电场强度比N点的电场强度小
B.P点的电势比Q点的电势低
C.负电荷在P点的电势能小于其在Q点的电势能
D.M、O两点间的电势差等于O、N两点间的电势差
11.(多选)[2024·上杭一中月考] 一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内a、b、c三点的位置如图所示,三点的电势分别为10 V、17 V、26 V.下列说法正确的是 ( )
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为2 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点,电场力做功为9 eV
12.[2024·宁德期末] 如图所示,以A、B、C、D为顶点的长方形处于平行于纸面的匀强电场中,AB的长度为0.10 m,BC的长度为0.06 m,A、B、C三点的电势分别为9 V、10 V、10 V.则D点电势为 V,匀强电场的电场强度为 V/m;一点电荷从A点经B点移到C点电场力做功为W1,
从A点经D点移到C点电场力做功为W2,则W1 W2(选填“等于”或“不等于”).
13.[2024·福州一中月考] 如图所示,平行金属带电极板A、B间可看作匀强电场,场强E=1.2×103 V/m,极板间距离d=5 cm,电场中C点和D点分别到A、B板的距离均为0.5 cm,B极板接地,求:
(1)C、D两点的电势和两点间的电势差;
(2)点电荷q1=-2×10-3 C分别在C和D两点的电势能;
(3)将点电荷q2=2×10-3 C从C点匀速移到D点时外力所做的功.
14.[2024·古田一中月考] 如图所示,A、B、C是匀强电场中的三点,也是直角三角形的三个顶点,匀强电场与△ABC平面平行.从C点向某一方向以大小为v0的速度射出一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子,粒子仅在电场力作用下恰好能先后通过A、B两点,粒子通过A、B两点时的速度大小分别为v0、v0,已知∠A=90°,∠C=60°,AB边长为L,粒子重力不计.求:
(1)C、B两点间及C、A两点间的电势差;
(2)匀强电场的电场强度大小.
专题课:静电场中的图像问题建议用时:40分钟
◆ 知识点一 v-t图像
1.(多选)如图甲所示,Q1、Q2为两个固定的点电荷,a、b是它们连线的延长线上的两点.现有一带正电的粒子只在静电力作用下以一定的初速度从a点开始经b点向远处运动,粒子经过a、b两点时的速度分别为va、vb,其速度—时间图像如图乙所示,下列说法正确的是 ( )
A.粒子由a点到b点运动过程中加速度逐渐增大
B.b点的电场强度一定为零
C.Q1的电荷量一定小于Q2的电荷量
D.粒子由a点经b点向远处运动过程中,粒子的电势能先增大后减小
2.(多选)[2024·上杭一中月考] 如图甲所示,有一绝缘的竖直圆环,圆环上分布着正电荷.一光滑细杆沿垂直圆环平面的轴线穿过圆环,细杆上套有一质量为m=10 g的带正电的小球,小球所带电荷量为q=5.0×10-4 C,让小球从C点由静止释放.其沿细杆由C点经B点向A点运动的v-t图像如图乙所示,且已知小球运动到B点时,速度图线的切线斜率最大(图中标出了该切线),下列说法正确的是 ( )
A.由C点到A点的过程中,小球的电势能先减小后增大
B.在O点右侧杆上,B点场强最大,场强大小为E=1.2 V/m
C.沿着C点到A点的方向,电势先降低后升高
D.C、B两点间的电势差为UCB=0.9 V
◆ 知识点二 φ-x图像
3.[2024·南平一中期中] 两个小球分别带有电荷量+2Q和-Q,则下列图中可以最恰当地表示两球连线上各点的电势φ与到正电荷距离x之间函数关系的是 ( )
4.[2024·陕西西安期末] 如图所示为x轴上各点电势随位置变化的图像,一电子仅在电场力的作用下沿x轴从A点向D点做直线运动,下列说法中正确的是 ( )
A.电子到达O点时,动能为20 eV
B.电子从A到O,先做匀加速运动,后做加速度逐渐减小的减速运动
C.从A到D,电子的动能先减小,后增大
D.整个运动过程中,电子的电势能减少了40 eV
5.[2024·厦门一中期中] 如图所示为某电场中x轴上电势φ随位置x变化的图像,一个带电粒子在仅受电场力作用下,在x=0处由静止释放,粒子沿x轴正向运动,且以一定的速度通过x=x2处,则下列说法正确的是 ( )
A.x1和x2处的电场强度均为零
B.x1和x2之间的场强方向不变
C.粒子从x=0到x=x2过程中,电势能先增大后减小
D.粒子从x=0到x=x2过程中,加速度先减小后增大
◆ 知识点三 E-x图像
6.(多选)静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示,x轴正方向为电场强度正方向,带正电的点电荷沿x轴运动,则点电荷 ( )
A.在x2和x4处电势能相等
B.由x1运动到x3的过程中,电势能增大
C.由x1运动到x4的过程中,静电力先增大后减小
D.由x1运动到x4的过程中,静电力先减小后增大
7.[2024·三明一中期中] 真空中有一半径为R、带电荷量为+Q的均匀带电球体,以球心O为坐标原点,沿半径方向建立x坐标轴,如图甲所示(其中x1点在球体内部,x2点在球体外部),理论分析表明,x轴上各点的场强随x变化关系如图乙所示(x轴正方向为场强正方向),则 ( )
A.x1、x2两点处的电势相同
B.球体内部的电场为匀强电场
C.球体表面的电势最高
D.x1、x2两点处的场强大小相等,方向相同
◆ 知识点四 Ep-x图像
8.(多选)[2024·泉州七中月考] 在匀强电场中,一电子从原点O由静止释放,仅在电场力作用下沿x轴正方向运动,其电势能Ep随位置x变化的关系如图所示,则 ( )
A.电场强度方向沿x轴正方向
B.电场强度大小为2.5 N/C
C.x=5 m处的电势为0
D.电子从原点O运动到x=4 m处的过程中,动能增加了8 eV
9.(多选)以等量同种点电荷的连线中点为原点,两点电荷连线的中垂线为x轴,E表示电场强度,φ表示电势,根据你已经学过的知识判断,在下列E-x图像和φ-x图像中可能正确的是( )
10.静电场方向平行于x轴,其电势φ随x的分布可简化为如图甲所示的折线,图中φ0和d为已知量.一个带负电的粒子在电场中以x=0为中心、沿x轴方向做周期性运动.已知该粒子的质量为m、电荷量为-q,忽略重力.规定x轴
甲
正方向为电场强度E、加速度a、速度v的正方向,如图乙分别表示x轴上各点的电场强度E、粒子的加速度a、速度v和动能Ek随x的变化图像,其中正确的是( )
乙
11.一带电粒子在电场中仅受静电力作用,做初速度为零的直线运动,取该直
线为x轴,起始点O为坐标原点,其电势能与位移x的关系如图所示,下列图像中合理的是( )
12.[2024·同安一中月考] 沿着x轴的一电场的φ-x图像如图甲所示,沿着x轴的另一电场的E-x图像如图乙所示(x轴正方向为场强正方向),下列说法正确的是 ( )
A.甲图中,x1处至x2处电场的方向沿着x轴的正方向
B.甲图中,O处至x1处电场强度的大小为
C.乙图中,O处至x1处电场的方向沿着x轴的负方向,x1至x2电场的方向沿着x轴的正方向
D.乙图中,坐标原点O处与x2处之间的电势差为
