第二章 直线与圆的方程（单元培优）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第二章 直线与圆的方程（单元培优）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 193.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 17:13:48 | ||
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文档简介
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第二章 直线与圆的方程
一、选择题
1．以点A（1，﹣2），B（3，4）为直径端点的圆的方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y+1）2＝10 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2
C．（x﹣2）2+（y+1）2 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10
2．过点M（﹣2，a），N（a，4）的直线的斜率为，则|MN|＝（ ）
A．10 B．180 C．6 D．6
3．过点（0，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y＝0截得的弦长最长时的直线方程是（ ）
A．y＝﹣3x+1 B．y＝3x+1 C．y＝﹣3（x﹣1） D．y＝3（x﹣1）
4．已知直线l1：2x+（m+5）y﹣4＝0与直线l2：（m+3）x+4y+3m﹣1＝0互相平行，则实数m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣7 D．﹣1或﹣7
5．若直线mx+ny+3＝0在x轴上的截距为，且它的倾斜角是直线x﹣y＝3的倾斜角的2倍，则（ ）
A．m，n＝1 B．m，n＝﹣3
C．m，n＝﹣3 D．m，n＝1
6．已知A（﹣2，0），B（0，2）；C是圆上x2+y2﹣2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最大值是（ ）
A．3 B．3 C．6 D．4
7．已知点M（a，b）（ab≠0），是圆x2+y2＝1内一点，直线m是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by＝1，则（ ）
A．l∥m且l与圆相交 B．l⊥m且l与圆相切
C．l∥m且l与圆相离 D．l⊥m且l与圆相离
8．设m∈R，过定点A的动直线x+my+m＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+2＝0交于点P，则|PA|+|PB|的最大值（ ）
A．16 B．4 C． D．2
9．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1．圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A．54 B．1 C．6﹣2 D．
10．设P是直线y＝2上的动点，若圆O：x2+y2＝4上存在点Q，使得∠OPQ＝45°，则该点P的横坐标x0的取值范围是（ ）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[﹣4，4]
11．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图）．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
12．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，直线l：3x﹣4y+3＝0，圆上到直线l的距离为1的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．若过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围为 ．
14．若直线y＝kx+3与圆x2+y2＝1相切，则k＝ ．
15．已知△ABC中，A（﹣3，0），B（3，0），若BC边的中线长为2，则顶点C的轨迹方程为 ．
16．在矩形ABCD中，已知A（﹣4，4），D（5，7），其对角线的交点E在第一象限内，且与y轴的距离为1，动点P（x，y）沿边BC运动，则的取值范围是 ．
三、解答题
17．已知直线l1经过点A（0，1），直线l2经过点B（5，0），l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．
18．已知直线m经过点P（﹣3，），被圆O：x2+y2＝25所截得的弦长为8，
（1）求此弦所在的直线方程；
（2）求过点P的最短弦和最长弦所在直线的方程．
19．为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC，RQ⊥BC，另外△AEF的内部有一文物保护区．AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m．
（1）求直线EF的方程．
（2）应如何设计才能使草坪的占地面积最大？
20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+y2＝4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝4．
（1）若直线l过点A（4，﹣1），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C1和圆C2都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第二章 直线与圆的方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．以点A（1，﹣2），B（3，4）为直径端点的圆的方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y+1）2＝10 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2
C．（x﹣2）2+（y+1）2 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10
【答案】D
【分析】求出圆心坐标和半径，即可求出圆的标准方程．
【解答】解：圆心为AB的中点C（2，1），半径r|AB|，
即圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，求出圆心坐标和半径是解决本题的关键，是基础题．
2．过点M（﹣2，a），N（a，4）的直线的斜率为，则|MN|＝（ ）
A．10 B．180 C．6 D．6
【答案】D
【分析】根据直线MN的斜率求出a的值，再计算|MN|的值．
【解答】解：∵过点M（﹣2，a），N（a，4）的直线斜率为
k，
解得a＝10；
∴|MN|6．
故选：D．
【点评】本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题．
3．过点（0，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y＝0截得的弦长最长时的直线方程是（ ）
A．y＝﹣3x+1 B．y＝3x+1 C．y＝﹣3（x﹣1） D．y＝3（x﹣1）
【答案】A
【分析】过点（0，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y＝0截得的弦长最长时，即截得的弦长为直径，可得该直线过圆心，故把圆的方程化为标准方程，得出圆心的坐标，再由已知的点（0，1），写出直线的两点式方程，整理后即可得到正确的选项．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+2）2＝5，
∴圆心坐标为（1，﹣2），
由题意得：过（0，1）的直线中，被圆截得的弦长最长时，即截得的弦长为圆的直径，
∴该直线过圆心（1，﹣2），
则该直线的方程为：y﹣1（x﹣0），即y＝﹣3x+1．
故选：A．
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，直径为圆中最长的弦，以及直线的两点式方程，其中得出所求直线过圆心是解本题的关键．
4．已知直线l1：2x+（m+5）y﹣4＝0与直线l2：（m+3）x+4y+3m﹣1＝0互相平行，则实数m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣7 D．﹣1或﹣7
【答案】C
【分析】利用两条直线平行的条件，求出m的值，再进行验证即可．
【解答】解：因为两条直线平行，
则有2×4＝（m+5）（m+3），解得m＝﹣7或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，两条直线重合，不符合题意；
当m＝﹣7时，两条直线平行，符合题意．
所以m＝﹣7．
故选：C．
【点评】本题考查了两条直线平行的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
5．若直线mx+ny+3＝0在x轴上的截距为，且它的倾斜角是直线x﹣y＝3的倾斜角的2倍，则（ ）
A．m，n＝1 B．m，n＝﹣3
C．m，n＝﹣3 D．m，n＝1
【答案】A
【分析】对于直线mx+ny+3＝0，令y＝0求出x的值，即为直线在x轴上的截距，根据截距为求出m的值，再由已知直线的斜率求出倾斜角，确定出所求直线的倾斜角，求出所求直线的斜率，即可求出n的值．
【解答】解：对于直线mx+ny+3＝0，令y＝0，得到x，即，
解得：m
∵x﹣y＝3斜率为，则其倾斜角为60°，
∴直线mx+ny+3＝0的倾斜角为120°，即斜率为，
∴，即n＝1，
故选：A．
【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及直线的截距式方程，熟练掌握倾斜角与斜率的关系是解本题的关键．
6．已知A（﹣2，0），B（0，2）；C是圆上x2+y2﹣2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最大值是（ ）
A．3 B．3 C．6 D．4
【答案】A
【分析】当C到AB距离最大时，△ABC的面积取到最大值，由于点C是圆上的动点，根据图形可知C到AB距离最大，为圆心到直线的距离加上半径，故可求．
【解答】解：由题意，当C到AB距离最大时，△ABC的面积取到最大值
由 x2+y2﹣2x＝0可得（x﹣1）2+y2＝1，知圆心为M （1，0），半径为1，直线AB的方程为x﹣y+2＝0
圆心M到直线AB的距离为d
故C点到AB的距离最大为
又AB距离为，所以三角形ABC的最大值为
故选：A．
【点评】本题的考点是圆方程的综合应用，主要考查圆的标准方程，考查三角形的面积，关键是利用当C到AB距离最大时，△ABC的面积取到最大值
7．已知点M（a，b）（ab≠0），是圆x2+y2＝1内一点，直线m是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by＝1，则（ ）
A．l∥m且l与圆相交 B．l⊥m且l与圆相切
C．l∥m且l与圆相离 D．l⊥m且l与圆相离
【答案】C
【分析】由条件求得直线l的斜率，再求出直线m的斜率，可得它们的斜率相等．利用点到直线的距离公式求得圆心C到直线m的距离大于半径，由此可得l∥m且m与圆c相离．
【解答】解：由题意可得a2+b2＜1，且CM⊥直线l，故直线l的斜率为
直线m的方程是ax+by＝1，那么直线m的斜率为，
圆心C到直线m的距离d1，
故l∥m且m与圆c相离，
故选：C．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
8．设m∈R，过定点A的动直线x+my+m＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+2＝0交于点P，则|PA|+|PB|的最大值（ ）
A．16 B．4 C． D．2
【答案】D
【分析】由直线方程求出A、B的坐标，结合重要不等式及两点的距离公式求解即可．
【解答】解：已知直线方程为x+my+m＝0，
则x+m（y+1）＝0，
令，
则，
即动直线x+my+m＝0过定点（0，﹣1），
即A（0，﹣1），
已知直线方程为mx﹣y﹣m+2＝0，
则（x﹣1）m﹣（y﹣2）＝0，
令，
则，
即直线mx﹣y﹣m+2＝0过定点（1，2），
即B（1，2），
则，
则|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝10，
又，
则|PA|+|PB|，
则|PA|+|PB|的最大值为，
故选：D．
【点评】本题考查了直线方程，重点考查了重要不等式，属基础题．
9．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1．圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A．54 B．1 C．6﹣2 D．
【答案】A
【分析】先转化成到圆心的距离，求最小，再求已知最小．
【解答】解：两圆的圆心均在第一象限，圆C1（2，3），半径为1，圆C2（3，4），半径为3．
作点C 1关于x轴的对称点C'1（2，﹣3），则（|PC 1|+|PC 2|）min＝|C′1C2|＝5，
所以（|PM|+|PN|）min＝5．
故选：A．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，属于中等题．
10．设P是直线y＝2上的动点，若圆O：x2+y2＝4上存在点Q，使得∠OPQ＝45°，则该点P的横坐标x0的取值范围是（ ）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[﹣4，4]
【答案】C
【分析】根据题意，设直线y＝2与y轴的交点为M，假设圆O：x2+y2＝4上存在点Q，使得∠OPQ＝45°，由正弦定理可得，即|OP|＝2sin∠PQO，分析可得|OP|≤2，由勾股定理可得|MP|2，结合M的坐标分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设直线y＝2与y轴的交点为M，即M的坐标为（0，2），
假设圆O：x2+y2＝4上存在点Q，使得∠OPQ＝45°，则Q不在直线OP上，
在△OPQ中，OQ＝2，∠OPQ＝45°，则，即|OP|＝2sin∠PQO，
又由∠PQO≤90°，则|OP|≤2，
又由|OM|＝2，则|MP|2，
又由M的坐标为（0，2），则P的横坐标x0的取值范围为[﹣2，2]；
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用以及直线与圆的位置关系，涉及正弦定理的应用，属于基础题．
11．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图）．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则A（0，0），B（4，0），C（0，4）．
设△ABC的重心为D，则D点坐标为，设P点坐标为（m，0），则P点关于y轴对称点P1为（﹣m，0），
因为直线BC方程为x+y﹣4＝0，
所以P点关于BC的对称点P2为（4，4﹣m），
根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，∴，
即，
解得，或m＝0．当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．∴．
故选：D．
【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．
12．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，直线l：3x﹣4y+3＝0，圆上到直线l的距离为1的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线l：3x﹣4y+3＝0的距离，即可知结论．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4
∴C（2，1），r＝2
∴圆心到直线l：3x﹣4y+3＝0的距离为：
∴圆上到直线l的距离为1的点有3个
故选：C．
【点评】本题以直线与圆为载体，考查圆的标准方程，考查点到直线的距离，关键是求出圆心到直线l：3x﹣4y+3＝0的距离，属于基础题．
二、填空题
13．若过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围为 （﹣2，1） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，
∴直线的斜率小于0，
即 0，即 0，解得﹣2＜a＜1，
故答案为 （﹣2，1）．
【点评】本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．
14．若直线y＝kx+3与圆x2+y2＝1相切，则k＝ ±2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】联立方程组消y的x的一元二次方程，由Δ＝0解方程可得．
【解答】解：联立消去y并整理得（k2+1）x2+6kx+8＝0，
由直线y＝kx+3与圆x2+y2＝1相切可得Δ＝36k2﹣32（k2+1）＝0，
解得k＝±2
故答案为：±2
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
15．已知△ABC中，A（﹣3，0），B（3，0），若BC边的中线长为2，则顶点C的轨迹方程为 （x+9）2+y2＝16（y≠0） ．
【答案】（x+9）2+y2＝16（y≠0）
【分析】设出C的坐标，求出BC的中点坐标，利用BC边的中线长为2，列出方程求解即可得顶点C的轨迹方程．
【解答】解：△ABC中，A（﹣3，0），B（3，0），
设C（x，y），则BC的中点（，），
BC边的中线长为2，
可得：，
即（x+9）2+y2＝16，除去与x轴的交点．
故顶点C的轨迹方程为（x+9）2+y2＝16（y≠0）．
故答案为：（x+9）2+y2＝16（y≠0）．
【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用．解题的易错点：最后不检验满足方程的点是否都在曲线上．
16．在矩形ABCD中，已知A（﹣4，4），D（5，7），其对角线的交点E在第一象限内，且与y轴的距离为1，动点P（x，y）沿边BC运动，则的取值范围是 （﹣∞，]∪[，+∞） ．
【答案】（﹣∞，]∪[，+∞）．
【分析】如图所示，设E（1，a）．点E是线段AC的中点，利用中点坐标公式可得C（6，2a﹣4）．利用AD⊥DC，可得 0，解得a＝4．可得C．设 k，利用k≥kOC，或k≤kOB，即可得出．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，已知A（﹣4，4），D（5，7），
其对角线的交点E在第一象限内，
且与y轴的距离为1，动点P（x，y）沿边BC运动，
如图所示，设E（1，a）．
∵点E是线段AC的中点，
∴，求得，
∴点C（ 6，2a﹣4）．
∵AD⊥DC，
∴ （9，3） （1，2a﹣11）＝9+3（2a﹣11）＝0，解得a＝4．
∴C（6，4），E（1，4），∴B（﹣3，1）．
设k，则k≥kOC，或k≤kOB，
∴k，或k．
∴的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）．
【点评】本题考查了矩形的性质、中点坐标公式、相互垂直的向量与数量积的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
17．已知直线l1经过点A（0，1），直线l2经过点B（5，0），l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．
【答案】l1：12x﹣5y+5＝0，l2：12x﹣5y﹣60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5．
【分析】讨论直线l1，l2的斜率存在时，设直线的斜率为k，
根据两平行线间的距离求得l1、l2的方程；
当l1，l2的斜率不存在时，根据两平行线间的距离求得l1、l2的方程．
【解答】解：若直线l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k，
由斜截式得l1的方程为y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0；
由点斜式可得l2的方程为y＝k（x﹣5），即kx﹣y﹣5k＝0；
因为直线l1过点A（0，1），
则点A到直线l2的距离d5，
所以25k2+10k+1＝25k2+25，
解得k；
所以l1的方程为12x﹣5y+5＝0，l2的方程为12x﹣5y﹣60＝0；
若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，
它们之间的距离为5，同样满足条件；
综上所述，满足条件的直线方程有两组：l1：12x﹣5y+5＝0，l2：12x﹣5y﹣60＝0；
或l1：x＝0，l2：x＝5．
【点评】本题考查了直线方程以及平行线间的距离应用问题，是中档题．
18．已知直线m经过点P（﹣3，），被圆O：x2+y2＝25所截得的弦长为8，
（1）求此弦所在的直线方程；
（2）求过点P的最短弦和最长弦所在直线的方程．
【答案】（1）3x+4y+15＝0或x＝﹣3．
（2）x﹣2y＝0．
【分析】（1）求出圆心到直线m的距离，设出m的方程，通过圆心到直线的距离求出直线的斜率，求此弦所在的直线方程，斜率不存在时判断是否满足题意即可；
（2）过点P的最短弦就是圆心与P连线垂直的直线，最长弦就是直线经过圆心所在直线的方程．
【解答】（12 分）
解：（1）由题意易知：圆心O到直线m到的距离为3．
设m所在的直线方程为：，即2kx﹣2y+6k﹣3＝0．
由题意易知：圆心O到直线m到的距离为3，
即．解得k
此时直线m为：3x+4y+15＝0，
而直线x＝﹣3显然也符合题意．
故直线m为：3x+4y+15＝0或x＝﹣3．
（2）过点P的最短弦就是圆心与P连线垂直的直线，k2，
所以，过点P的最短弦所在直线的方程为：，
即：4x+2y+15＝0；
最长弦就是直线经过圆心所在直线，k．
所以，过点P的最长弦所在直线的方程为：．
即：x﹣2y＝0．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想、计算能力．
19．为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC，RQ⊥BC，另外△AEF的内部有一文物保护区．AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m．
（1）求直线EF的方程．
（2）应如何设计才能使草坪的占地面积最大？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）建立平面直角坐标系，直线EF过点E（30，0），F（0，20），其方程由截距式可得；
（2）点Q在直线EF上，可设点Q（x，20x），矩形PQRC的面积S＝（100﹣x） [80﹣（20x）]，计算S取最大值时对应的x的值，从而得点Q的坐标即可．
【解答】解：（1）建立坐标系如图所示，在线段EF上任取一点Q，分别向BC，CD作垂线．
由题意，直线EF的方程为：；
（2）设Q（x，20x），则矩形PQRC的面积为：S＝（100﹣x） [80﹣（20x）]（其中0≤x≤30）；
化简，得Sx2x+6000 （其中0≤x≤30）；
所以，当x5时，此时y＝205，即取点Q（5，）时，S有最大值，最大值为6016m2．
【点评】本题考查了直线方程和二次函数模型的应用，利用二次函数的对称轴求最大值时，要考虑对称轴是否在定义域内．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+y2＝4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝4．
（1）若直线l过点A（4，﹣1），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C1和圆C2都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣1或7x+24y﹣4＝0；
（2）存在，假设存在，设点P的坐标为P（a，b），l的方程为y﹣b＝k（x﹣a），因为圆C1和圆C2的半径相等，被l截得的弦长也相等，所以圆C1和圆C2的半径相等，到l的距离相等，即，整理得：（14a﹣7）k2﹣（8a+14b﹣32）k+8b﹣16＝0，因为k的个数有无数多个，所以解得
综上所述，存在满足条件的定点P，且点P的坐标为．
注：用平面几何知识可能更简单．
【分析】（1）设直线l的方程为y＝k（x﹣4）﹣1，再利用圆C1的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设假设存在，设点P的坐标为P（a，b），再利用圆心C1和圆心C2到l的距离相等，求出a，b的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解答】解：（1）由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝k（x﹣4）﹣1，圆C1的圆心到l的距离为d，所以d＝1．
由点到直线l的距离公式得，从而k（24k+7）＝0
所以k＝0或，所以直线l的方程为y＝﹣1或7x+24y﹣4＝0．
（2）假设存在，设点P的坐标为P（a，b），l的方程为y﹣b＝k（x﹣a），因为圆C1和圆C2的半径相等，被l截得的弦长也相等，所以圆C1和圆C2的半径相等，到l的距离相等，即，整理得：（14a﹣7）k2﹣（8a+14b﹣32）k+8b﹣16＝0，因为k的个数有无数多个，所以解得
综上所述，存在满足条件的定点P，且点P的坐标为．
注：用平面几何知识可能更简单．
【点评】本小题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用、绝对值方程式的解法、到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
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第二章 直线与圆的方程
一、选择题
1．以点A（1，﹣2），B（3，4）为直径端点的圆的方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y+1）2＝10 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2
C．（x﹣2）2+（y+1）2 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10
2．过点M（﹣2，a），N（a，4）的直线的斜率为，则|MN|＝（ ）
A．10 B．180 C．6 D．6
3．过点（0，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y＝0截得的弦长最长时的直线方程是（ ）
A．y＝﹣3x+1 B．y＝3x+1 C．y＝﹣3（x﹣1） D．y＝3（x﹣1）
4．已知直线l1：2x+（m+5）y﹣4＝0与直线l2：（m+3）x+4y+3m﹣1＝0互相平行，则实数m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣7 D．﹣1或﹣7
5．若直线mx+ny+3＝0在x轴上的截距为，且它的倾斜角是直线x﹣y＝3的倾斜角的2倍，则（ ）
A．m，n＝1 B．m，n＝﹣3
C．m，n＝﹣3 D．m，n＝1
6．已知A（﹣2，0），B（0，2）；C是圆上x2+y2﹣2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最大值是（ ）
A．3 B．3 C．6 D．4
7．已知点M（a，b）（ab≠0），是圆x2+y2＝1内一点，直线m是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by＝1，则（ ）
A．l∥m且l与圆相交 B．l⊥m且l与圆相切
C．l∥m且l与圆相离 D．l⊥m且l与圆相离
8．设m∈R，过定点A的动直线x+my+m＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+2＝0交于点P，则|PA|+|PB|的最大值（ ）
A．16 B．4 C． D．2
9．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1．圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A．54 B．1 C．6﹣2 D．
10．设P是直线y＝2上的动点，若圆O：x2+y2＝4上存在点Q，使得∠OPQ＝45°，则该点P的横坐标x0的取值范围是（ ）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[﹣4，4]
11．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图）．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
12．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，直线l：3x﹣4y+3＝0，圆上到直线l的距离为1的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．若过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围为 ．
14．若直线y＝kx+3与圆x2+y2＝1相切，则k＝ ．
15．已知△ABC中，A（﹣3，0），B（3，0），若BC边的中线长为2，则顶点C的轨迹方程为 ．
16．在矩形ABCD中，已知A（﹣4，4），D（5，7），其对角线的交点E在第一象限内，且与y轴的距离为1，动点P（x，y）沿边BC运动，则的取值范围是 ．
三、解答题
17．已知直线l1经过点A（0，1），直线l2经过点B（5，0），l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．
18．已知直线m经过点P（﹣3，），被圆O：x2+y2＝25所截得的弦长为8，
（1）求此弦所在的直线方程；
（2）求过点P的最短弦和最长弦所在直线的方程．
19．为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC，RQ⊥BC，另外△AEF的内部有一文物保护区．AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m．
（1）求直线EF的方程．
（2）应如何设计才能使草坪的占地面积最大？
20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+y2＝4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝4．
（1）若直线l过点A（4，﹣1），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C1和圆C2都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第二章 直线与圆的方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．以点A（1，﹣2），B（3，4）为直径端点的圆的方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y+1）2＝10 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2
C．（x﹣2）2+（y+1）2 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10
【答案】D
【分析】求出圆心坐标和半径，即可求出圆的标准方程．
【解答】解：圆心为AB的中点C（2，1），半径r|AB|，
即圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，求出圆心坐标和半径是解决本题的关键，是基础题．
2．过点M（﹣2，a），N（a，4）的直线的斜率为，则|MN|＝（ ）
A．10 B．180 C．6 D．6
【答案】D
【分析】根据直线MN的斜率求出a的值，再计算|MN|的值．
【解答】解：∵过点M（﹣2，a），N（a，4）的直线斜率为
k，
解得a＝10；
∴|MN|6．
故选：D．
【点评】本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题．
3．过点（0，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y＝0截得的弦长最长时的直线方程是（ ）
A．y＝﹣3x+1 B．y＝3x+1 C．y＝﹣3（x﹣1） D．y＝3（x﹣1）
【答案】A
【分析】过点（0，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y＝0截得的弦长最长时，即截得的弦长为直径，可得该直线过圆心，故把圆的方程化为标准方程，得出圆心的坐标，再由已知的点（0，1），写出直线的两点式方程，整理后即可得到正确的选项．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+2）2＝5，
∴圆心坐标为（1，﹣2），
由题意得：过（0，1）的直线中，被圆截得的弦长最长时，即截得的弦长为圆的直径，
∴该直线过圆心（1，﹣2），
则该直线的方程为：y﹣1（x﹣0），即y＝﹣3x+1．
故选：A．
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，直径为圆中最长的弦，以及直线的两点式方程，其中得出所求直线过圆心是解本题的关键．
4．已知直线l1：2x+（m+5）y﹣4＝0与直线l2：（m+3）x+4y+3m﹣1＝0互相平行，则实数m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣7 D．﹣1或﹣7
【答案】C
【分析】利用两条直线平行的条件，求出m的值，再进行验证即可．
【解答】解：因为两条直线平行，
则有2×4＝（m+5）（m+3），解得m＝﹣7或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，两条直线重合，不符合题意；
当m＝﹣7时，两条直线平行，符合题意．
所以m＝﹣7．
故选：C．
【点评】本题考查了两条直线平行的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
5．若直线mx+ny+3＝0在x轴上的截距为，且它的倾斜角是直线x﹣y＝3的倾斜角的2倍，则（ ）
A．m，n＝1 B．m，n＝﹣3
C．m，n＝﹣3 D．m，n＝1
【答案】A
【分析】对于直线mx+ny+3＝0，令y＝0求出x的值，即为直线在x轴上的截距，根据截距为求出m的值，再由已知直线的斜率求出倾斜角，确定出所求直线的倾斜角，求出所求直线的斜率，即可求出n的值．
【解答】解：对于直线mx+ny+3＝0，令y＝0，得到x，即，
解得：m
∵x﹣y＝3斜率为，则其倾斜角为60°，
∴直线mx+ny+3＝0的倾斜角为120°，即斜率为，
∴，即n＝1，
故选：A．
【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及直线的截距式方程，熟练掌握倾斜角与斜率的关系是解本题的关键．
6．已知A（﹣2，0），B（0，2）；C是圆上x2+y2﹣2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最大值是（ ）
A．3 B．3 C．6 D．4
【答案】A
【分析】当C到AB距离最大时，△ABC的面积取到最大值，由于点C是圆上的动点，根据图形可知C到AB距离最大，为圆心到直线的距离加上半径，故可求．
【解答】解：由题意，当C到AB距离最大时，△ABC的面积取到最大值
由 x2+y2﹣2x＝0可得（x﹣1）2+y2＝1，知圆心为M （1，0），半径为1，直线AB的方程为x﹣y+2＝0
圆心M到直线AB的距离为d
故C点到AB的距离最大为
又AB距离为，所以三角形ABC的最大值为
故选：A．
【点评】本题的考点是圆方程的综合应用，主要考查圆的标准方程，考查三角形的面积，关键是利用当C到AB距离最大时，△ABC的面积取到最大值
7．已知点M（a，b）（ab≠0），是圆x2+y2＝1内一点，直线m是以M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by＝1，则（ ）
A．l∥m且l与圆相交 B．l⊥m且l与圆相切
C．l∥m且l与圆相离 D．l⊥m且l与圆相离
【答案】C
【分析】由条件求得直线l的斜率，再求出直线m的斜率，可得它们的斜率相等．利用点到直线的距离公式求得圆心C到直线m的距离大于半径，由此可得l∥m且m与圆c相离．
【解答】解：由题意可得a2+b2＜1，且CM⊥直线l，故直线l的斜率为
直线m的方程是ax+by＝1，那么直线m的斜率为，
圆心C到直线m的距离d1，
故l∥m且m与圆c相离，
故选：C．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
8．设m∈R，过定点A的动直线x+my+m＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+2＝0交于点P，则|PA|+|PB|的最大值（ ）
A．16 B．4 C． D．2
【答案】D
【分析】由直线方程求出A、B的坐标，结合重要不等式及两点的距离公式求解即可．
【解答】解：已知直线方程为x+my+m＝0，
则x+m（y+1）＝0，
令，
则，
即动直线x+my+m＝0过定点（0，﹣1），
即A（0，﹣1），
已知直线方程为mx﹣y﹣m+2＝0，
则（x﹣1）m﹣（y﹣2）＝0，
令，
则，
即直线mx﹣y﹣m+2＝0过定点（1，2），
即B（1，2），
则，
则|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝10，
又，
则|PA|+|PB|，
则|PA|+|PB|的最大值为，
故选：D．
【点评】本题考查了直线方程，重点考查了重要不等式，属基础题．
9．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1．圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A．54 B．1 C．6﹣2 D．
【答案】A
【分析】先转化成到圆心的距离，求最小，再求已知最小．
【解答】解：两圆的圆心均在第一象限，圆C1（2，3），半径为1，圆C2（3，4），半径为3．
作点C 1关于x轴的对称点C'1（2，﹣3），则（|PC 1|+|PC 2|）min＝|C′1C2|＝5，
所以（|PM|+|PN|）min＝5．
故选：A．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，属于中等题．
10．设P是直线y＝2上的动点，若圆O：x2+y2＝4上存在点Q，使得∠OPQ＝45°，则该点P的横坐标x0的取值范围是（ ）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[﹣4，4]
【答案】C
【分析】根据题意，设直线y＝2与y轴的交点为M，假设圆O：x2+y2＝4上存在点Q，使得∠OPQ＝45°，由正弦定理可得，即|OP|＝2sin∠PQO，分析可得|OP|≤2，由勾股定理可得|MP|2，结合M的坐标分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设直线y＝2与y轴的交点为M，即M的坐标为（0，2），
假设圆O：x2+y2＝4上存在点Q，使得∠OPQ＝45°，则Q不在直线OP上，
在△OPQ中，OQ＝2，∠OPQ＝45°，则，即|OP|＝2sin∠PQO，
又由∠PQO≤90°，则|OP|≤2，
又由|OM|＝2，则|MP|2，
又由M的坐标为（0，2），则P的横坐标x0的取值范围为[﹣2，2]；
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用以及直线与圆的位置关系，涉及正弦定理的应用，属于基础题．
11．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图）．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则A（0，0），B（4，0），C（0，4）．
设△ABC的重心为D，则D点坐标为，设P点坐标为（m，0），则P点关于y轴对称点P1为（﹣m，0），
因为直线BC方程为x+y﹣4＝0，
所以P点关于BC的对称点P2为（4，4﹣m），
根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，∴，
即，
解得，或m＝0．当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．∴．
故选：D．
【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．
12．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，直线l：3x﹣4y+3＝0，圆上到直线l的距离为1的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线l：3x﹣4y+3＝0的距离，即可知结论．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4
∴C（2，1），r＝2
∴圆心到直线l：3x﹣4y+3＝0的距离为：
∴圆上到直线l的距离为1的点有3个
故选：C．
【点评】本题以直线与圆为载体，考查圆的标准方程，考查点到直线的距离，关键是求出圆心到直线l：3x﹣4y+3＝0的距离，属于基础题．
二、填空题
13．若过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围为 （﹣2，1） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，
∴直线的斜率小于0，
即 0，即 0，解得﹣2＜a＜1，
故答案为 （﹣2，1）．
【点评】本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．
14．若直线y＝kx+3与圆x2+y2＝1相切，则k＝ ±2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】联立方程组消y的x的一元二次方程，由Δ＝0解方程可得．
【解答】解：联立消去y并整理得（k2+1）x2+6kx+8＝0，
由直线y＝kx+3与圆x2+y2＝1相切可得Δ＝36k2﹣32（k2+1）＝0，
解得k＝±2
故答案为：±2
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
15．已知△ABC中，A（﹣3，0），B（3，0），若BC边的中线长为2，则顶点C的轨迹方程为 （x+9）2+y2＝16（y≠0） ．
【答案】（x+9）2+y2＝16（y≠0）
【分析】设出C的坐标，求出BC的中点坐标，利用BC边的中线长为2，列出方程求解即可得顶点C的轨迹方程．
【解答】解：△ABC中，A（﹣3，0），B（3，0），
设C（x，y），则BC的中点（，），
BC边的中线长为2，
可得：，
即（x+9）2+y2＝16，除去与x轴的交点．
故顶点C的轨迹方程为（x+9）2+y2＝16（y≠0）．
故答案为：（x+9）2+y2＝16（y≠0）．
【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用．解题的易错点：最后不检验满足方程的点是否都在曲线上．
16．在矩形ABCD中，已知A（﹣4，4），D（5，7），其对角线的交点E在第一象限内，且与y轴的距离为1，动点P（x，y）沿边BC运动，则的取值范围是 （﹣∞，]∪[，+∞） ．
【答案】（﹣∞，]∪[，+∞）．
【分析】如图所示，设E（1，a）．点E是线段AC的中点，利用中点坐标公式可得C（6，2a﹣4）．利用AD⊥DC，可得 0，解得a＝4．可得C．设 k，利用k≥kOC，或k≤kOB，即可得出．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，已知A（﹣4，4），D（5，7），
其对角线的交点E在第一象限内，
且与y轴的距离为1，动点P（x，y）沿边BC运动，
如图所示，设E（1，a）．
∵点E是线段AC的中点，
∴，求得，
∴点C（ 6，2a﹣4）．
∵AD⊥DC，
∴ （9，3） （1，2a﹣11）＝9+3（2a﹣11）＝0，解得a＝4．
∴C（6，4），E（1，4），∴B（﹣3，1）．
设k，则k≥kOC，或k≤kOB，
∴k，或k．
∴的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）．
【点评】本题考查了矩形的性质、中点坐标公式、相互垂直的向量与数量积的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
17．已知直线l1经过点A（0，1），直线l2经过点B（5，0），l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．
【答案】l1：12x﹣5y+5＝0，l2：12x﹣5y﹣60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5．
【分析】讨论直线l1，l2的斜率存在时，设直线的斜率为k，
根据两平行线间的距离求得l1、l2的方程；
当l1，l2的斜率不存在时，根据两平行线间的距离求得l1、l2的方程．
【解答】解：若直线l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k，
由斜截式得l1的方程为y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0；
由点斜式可得l2的方程为y＝k（x﹣5），即kx﹣y﹣5k＝0；
因为直线l1过点A（0，1），
则点A到直线l2的距离d5，
所以25k2+10k+1＝25k2+25，
解得k；
所以l1的方程为12x﹣5y+5＝0，l2的方程为12x﹣5y﹣60＝0；
若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，
它们之间的距离为5，同样满足条件；
综上所述，满足条件的直线方程有两组：l1：12x﹣5y+5＝0，l2：12x﹣5y﹣60＝0；
或l1：x＝0，l2：x＝5．
【点评】本题考查了直线方程以及平行线间的距离应用问题，是中档题．
18．已知直线m经过点P（﹣3，），被圆O：x2+y2＝25所截得的弦长为8，
（1）求此弦所在的直线方程；
（2）求过点P的最短弦和最长弦所在直线的方程．
【答案】（1）3x+4y+15＝0或x＝﹣3．
（2）x﹣2y＝0．
【分析】（1）求出圆心到直线m的距离，设出m的方程，通过圆心到直线的距离求出直线的斜率，求此弦所在的直线方程，斜率不存在时判断是否满足题意即可；
（2）过点P的最短弦就是圆心与P连线垂直的直线，最长弦就是直线经过圆心所在直线的方程．
【解答】（12 分）
解：（1）由题意易知：圆心O到直线m到的距离为3．
设m所在的直线方程为：，即2kx﹣2y+6k﹣3＝0．
由题意易知：圆心O到直线m到的距离为3，
即．解得k
此时直线m为：3x+4y+15＝0，
而直线x＝﹣3显然也符合题意．
故直线m为：3x+4y+15＝0或x＝﹣3．
（2）过点P的最短弦就是圆心与P连线垂直的直线，k2，
所以，过点P的最短弦所在直线的方程为：，
即：4x+2y+15＝0；
最长弦就是直线经过圆心所在直线，k．
所以，过点P的最长弦所在直线的方程为：．
即：x﹣2y＝0．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想、计算能力．
19．为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC，RQ⊥BC，另外△AEF的内部有一文物保护区．AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m．
（1）求直线EF的方程．
（2）应如何设计才能使草坪的占地面积最大？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）建立平面直角坐标系，直线EF过点E（30，0），F（0，20），其方程由截距式可得；
（2）点Q在直线EF上，可设点Q（x，20x），矩形PQRC的面积S＝（100﹣x） [80﹣（20x）]，计算S取最大值时对应的x的值，从而得点Q的坐标即可．
【解答】解：（1）建立坐标系如图所示，在线段EF上任取一点Q，分别向BC，CD作垂线．
由题意，直线EF的方程为：；
（2）设Q（x，20x），则矩形PQRC的面积为：S＝（100﹣x） [80﹣（20x）]（其中0≤x≤30）；
化简，得Sx2x+6000 （其中0≤x≤30）；
所以，当x5时，此时y＝205，即取点Q（5，）时，S有最大值，最大值为6016m2．
【点评】本题考查了直线方程和二次函数模型的应用，利用二次函数的对称轴求最大值时，要考虑对称轴是否在定义域内．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+3）2+y2＝4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝4．
（1）若直线l过点A（4，﹣1），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C1和圆C2都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣1或7x+24y﹣4＝0；
（2）存在，假设存在，设点P的坐标为P（a，b），l的方程为y﹣b＝k（x﹣a），因为圆C1和圆C2的半径相等，被l截得的弦长也相等，所以圆C1和圆C2的半径相等，到l的距离相等，即，整理得：（14a﹣7）k2﹣（8a+14b﹣32）k+8b﹣16＝0，因为k的个数有无数多个，所以解得
综上所述，存在满足条件的定点P，且点P的坐标为．
注：用平面几何知识可能更简单．
【分析】（1）设直线l的方程为y＝k（x﹣4）﹣1，再利用圆C1的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设假设存在，设点P的坐标为P（a，b），再利用圆心C1和圆心C2到l的距离相等，求出a，b的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解答】解：（1）由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝k（x﹣4）﹣1，圆C1的圆心到l的距离为d，所以d＝1．
由点到直线l的距离公式得，从而k（24k+7）＝0
所以k＝0或，所以直线l的方程为y＝﹣1或7x+24y﹣4＝0．
（2）假设存在，设点P的坐标为P（a，b），l的方程为y﹣b＝k（x﹣a），因为圆C1和圆C2的半径相等，被l截得的弦长也相等，所以圆C1和圆C2的半径相等，到l的距离相等，即，整理得：（14a﹣7）k2﹣（8a+14b﹣32）k+8b﹣16＝0，因为k的个数有无数多个，所以解得
综上所述，存在满足条件的定点P，且点P的坐标为．
注：用平面几何知识可能更简单．
【点评】本小题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用、绝对值方程式的解法、到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
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