第三章 圆锥曲线的方程（单元培优）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程（单元培优）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 333.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 14:12:15 | ||
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文档简介
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第三章 圆锥曲线的方程
一、选择题
1．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P（2，）在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B．1
C．x21 D．1
2．设F1，F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线x（其中c2+b2＝a2）上存在点P，使线段PF1的垂直平分线经过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）
3．已知双曲线C：1的左，右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线C上的两点，且3，cos∠AF2B，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．过双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB||CD|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．[，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]
5．椭圆1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围（ ）
A．（0，） B．[，1） C．（0，] D．[，1）
二、填空题
6．设点P在双曲线的左支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，已知|PF1|是点P到左准线l的距离d和|PF2|的比例中项，则双曲线离心率的取值范围是 ．
7．左焦点为F的双曲线的右支上存在点A，使得直线FA与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线C的离心率取值范围是 ．
8．设椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆C相交于A，B两点．当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为b2，则椭圆C的离心率e＝ ．
9．如图，椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，A、B是顶点，F是左焦点；当BF⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，其离心率为．类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝ ．
10．实数x，y满足，则z＝x+y的取值范围是 ．
11．已知F是椭圆的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝135°，记椭圆的离心率为e，则e2的取值范围是 ．
12．以x轴为准线，长轴长为4，下顶点A在抛物线x2＝y﹣1上的所有的椭圆中离心率最大的椭圆方程是 ．
三、解答题
13．已知双曲线的右焦点F（4，0）到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得点F到直线PA，PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知点A（﹣1，0），B（1，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若过点的直线l交点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．
15．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2．
（1）求双曲线的方程
（2）若直线l：y＝kx与双曲线恒有两个不同的交点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为原点），求k的取值范围．
16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点．AO、BO的延长线与直线x＝﹣4分别交于P、Q两点．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）连接OM，求△OPQ与△BOM的面积比．
17．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，如图．当直线l与x轴垂直时，|MN|＝4．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知点P（﹣1，0），设直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2．请判断k1+k2是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由．
18．如图，已知直线l：y＝kx﹣2与抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）交于A，B两点，线段AB的中点坐标为（﹣2，﹣6）．
（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；
（Ⅱ）求线段AB的长；
（Ⅲ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．
19．设圆C与两圆（x）2+y2＝4，（x）2+y2＝4中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．
20．试求函数的最大值、最小值．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P（2，）在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B．1
C．x21 D．1
【答案】A
【分析】设|PF1|＝m，|F1F2|＝2c，|PF2|＝n．可得：m﹣n＝2a．根据|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，可得4c＝m+n．再利用两点之间的距离公式及其b2＝c2﹣a2即可得出．
【解答】解：设|PF1|＝m，|F1F2|＝2c，|PF2|＝n．
∴m﹣n＝2a．
∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴4c＝m+n．
∴m＝a+2c，n＝2c﹣a，
联立解得a＝1，c，∴b2＝c2﹣a2＝1．
∴双曲线的标准方程为：x2﹣y2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、等差数列的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．设F1，F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线x（其中c2+b2＝a2）上存在点P，使线段PF1的垂直平分线经过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）
【答案】C
【分析】设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K的坐标，根据 线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于﹣1，求出m2的解析式，再利用m2≥0，得到3e4+2e2﹣1≥0，求得e的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e 的范围．
【解答】解：由题意得 F1（﹣c，0），F2 （c，0），
设点P（，m），
则由中点公式可得线段PF1的中点K（，m ），
∴线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于﹣1，
即 1，
∴m2＝﹣（c） （3c）≥0，
∴a4﹣2a2c2﹣3 c4≤0，
∴3e4+2e2﹣1≥0，∴e2，或 e2≤﹣1（舍去），
∴e．
又椭圆的离心率 0＜e＜1，
故e＜1，
故选：C．
【点评】本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用，属于中档题．
3．已知双曲线C：1的左，右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线C上的两点，且3，cos∠AF2B，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设|F1A|＝3x，|F1B|＝x，在△ABF2中，由余弦定理列方程可得△ABF2是直角三角形，从而得出a，b，c的关系，即可得该双曲线的离心率．
【解答】解：设|F1A|＝3x，|F1B|＝x，则|AB|＝4x，|BF2|＝2a+x，|AF2|＝2a+3x，
在△ABF2中，由余弦定理得：
（4x）2＝（2a+x）2+（2a+3x）2﹣2（2a+x）（2a+3x），
解得x＝a，∴AF2＝5a，AB＝4a，BF2＝3a，
∴△ABF2是直角三角形，
在Rt△F1BF2中，a2+（3a）2＝（2c）2，代入得10a2＝4c2，即e2．
则该双曲线的离心率为e．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查离心率的计算能力．属于中档题．
4．过双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB||CD|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．[，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]
【答案】B
【分析】将x＝c代入1和y＝±x，求出A，B，C，D的坐标，由两点之间的距离公式求得|AB|，|CD|，由|AB||CD|，求得a和c的关系，根据离心率公式，即可求得离心率的取值范围．
【解答】解：当x＝c时代入1得y＝±，则A（c，），B（c，），则AB，
将x＝c代入y＝±x得y＝±，则C（c，），D（c，），
则|CD|，
∵|AB||CD|
∴，即bc，
则b2c2＝c2﹣a2，
即c2≥a2，
则e2，则e，
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程求出交点坐标，结合距离公式进行求解是解决本题的关键，属于中档题．
5．椭圆1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围（ ）
A．（0，） B．[，1） C．（0，] D．[，1）
【答案】C
【分析】根据椭圆 1的焦点在x轴上，确定a的范围，表示出椭圆的离心率，利用基本不等式，可得结论．
【解答】解：∵椭圆 1的焦点在x轴上，
∴5a＞4a2+1
∴
∵椭圆的离心率为（当且仅当，即a时取等号）
∴椭圆的离心率的取值范围为（0，]
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的标准方程与离心率，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
二、填空题
6．设点P在双曲线的左支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，已知|PF1|是点P到左准线l的距离d和|PF2|的比例中项，则双曲线离心率的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】依题意可得，设P（x0，y0），由焦半径公式可建立关于e的不等式，解该不等式即得解．
【解答】解：由题意知，，则，由得，
设P（x0，y0），由焦半径公式可得，则，即e2﹣2e﹣1≤0，解得，
又e＞1，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的定义及性质的运用，考查离心率取值范围的求解，考查运算求解能力，属于中档题．
7．左焦点为F的双曲线的右支上存在点A，使得直线FA与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线C的离心率取值范围是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用直线FA与圆x2+y2＝a2相切，可求得切线的斜率为，再分析出切线AF的斜率小于渐近线yx的斜率，即可求得双曲线C的离心率取值范围．
【解答】解：设直线FA的方程为：y＝k（x+c），∵直线FA与x2+y2＝a2相切，
∴a，
∴a2+a2k2＝c2k2，
∴b2k2＝a2，又k＞0，
∴k，
∵切线与右支有交点A，则切线AF的斜率小于渐近线yx的斜率，
即，
∴a2＜b2，又b2＝c2﹣a2，
∴c2＞2a2．
∴e22，
∴e．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，分析出切线AF的斜率小于渐近线yx的斜率是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
8．设椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆C相交于A，B两点．当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为b2，则椭圆C的离心率e＝ ．
【答案】．
【分析】判断三角形周长取得最大值时，求出m的值，利用三角形的面积，列出方程，求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆C相交于A，B两点．
直线x＝m 与x轴的交点为E，右焦点为F′，|AF|+|AE|≤|AF|+|AF′|＝2a，
当△ABF的周长最大时，E、F′重合，此时m＝c，所以三角形的面积为：（2c）b2，
所以e．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
9．如图，椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，A、B是顶点，F是左焦点；当BF⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，其离心率为．类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】在黄金双曲线中，|BF|2+|AB|2＝|AF|2，由此可知b2+c2+c2＝a2+c2+2ac，∵b2＝c2﹣a2，整理得c2＝a2+ac，即e2﹣e﹣1＝0，解这个方程就能求出黄金双曲线的离心率e．
【解答】解：在黄金双曲线中，|OA|＝a，|OB|＝b，|OF|＝c，
由题意可知，|BF|2+|AB|2＝|AF|2，
∴b2+c2+c2＝a2+c2+2ac，
∵b2＝c2﹣a2，整理得c2＝a2+ac，
∴e2﹣e﹣1＝0，解得 ，或 （舍去）．
故黄金双曲线的离心率e得 ．
故答案为：．
【点评】注意寻找黄金双曲线中a，b，c之间的关系，利用双曲线的性质求解．
10．实数x，y满足，则z＝x+y的取值范围是 [﹣5，5] ．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过椭圆方程与直线方程，联立，利用判别式转化求解即可．
【解答】解：实数x，y满足，则z＝x+y，
可得，消去y可得：25x2﹣32zx+16z2﹣144＝0，
Δ＝（﹣32z）2﹣4×25×（16z2﹣144）≥0，解得z∈[﹣5，5]．
故答案为：[﹣5，5]．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
11．已知F是椭圆的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝135°，记椭圆的离心率为e，则e2的取值范围是 [，1） ．
【答案】[，1）．
【分析】连接A，B与左、右焦点F，F'的连线，由∠AFB＝135°，在三角形AFF'中，利用余弦定理，结合椭圆定义域基本不等式，转化求解e2的范围．
【解答】解：连接A，B与左、右焦点F，F'的连线，
由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，
由∠AFB＝135°，得∠FAF'＝45°，
在三角形AFF'中，|FF'|2＝|AF|2+|AF′|2﹣2|AF| |AF'|cos∠FAF′
＝（|AF|+|AF'|）2﹣（2）|AF| |AF'|，
∴（|AF|+|AF'|）2﹣|FF'|2＝（2）|AF| |AF'|≤（2） ，
即 （|AF|+|AF'|）2≤|FF'|2，当且仅当|AF|＝|AF′|时取等号，
即 4a2≤4c2，可得e2∈[，1）．
故答案为：[，1）．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
12．以x轴为准线，长轴长为4，下顶点A在抛物线x2＝y﹣1上的所有的椭圆中离心率最大的椭圆方程是 ．
【答案】
【分析】由题意抛物线的方程转化为得出椭圆的方程，得出离心率最大时c的值，进而求出椭圆的标准方程．
【解答】解：由题意得2a＝4，即a＝2，所以e，
即求c最大时的椭圆方程．
设A（x0，y0），椭圆的下焦点为F，椭圆中心O′，
椭圆长轴所在直线与x轴交于点N，
则e，
所以（因），
当且仅当y0＝1，x0＝0时取等号，此时．
所以A（0，1），中心O′（0，3），
，
故所求的椭圆方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆和抛物线的综合，再结合椭圆离心率的取值范围得出c的值，再求椭圆的标准方程，属于难题．
三、解答题
13．已知双曲线的右焦点F（4，0）到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得点F到直线PA，PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在P（1，0）．
【分析】（1）利用点线距离公式及c2＝a2+b2即可求得，从而求得双曲线C的方程；
（2）假设存在点P（n，0），据题意设AB：x＝my+4（m≠0），联立方程得到y1+y2，y1y2，再由点F到直线PA，PB的距离相等可得kPA+kPB＝0，由此代入式子即可求得n＝1，故存在P（1，0）．
【解答】解：（1）由右焦点F（4，0），所以c＝4，故a2+b2＝c2＝16，
又因为双曲线的渐近线为，即bx±ay＝0，
所以右焦点F（4，0）到渐近线的距离为，解得，
所以b2＝12，a2＝16﹣b2＝4，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）假设存在P（n，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意知，直线斜率不为0，设直线AB：x＝my+4，
①当m＝0时，直线AB：x＝4，显然点F到直线PA，PB的距离相等；
②当m≠0时，联立，消去x，得（3m2﹣1）y2+24my+36＝0，
则3m2﹣1≠0，Δ＝（24m）2﹣4×36（3m2﹣1）＝144（m2+1）＞0，
且，
因为点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是∠APB的角平分线，
则kPA+kPB＝0，即，
则y1（my2+4﹣n）+y2（my1+4﹣n）＝0，
整理得2my1y2+（4﹣n）（y1+y2）＝0，
故，
即3m﹣m（4﹣n）＝0，因为m≠0，所以n＝1，
故存在P（1，0）．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
14．已知点A（﹣1，0），B（1，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若过点的直线l交点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．
【答案】（1）2x2﹣y2＝2（x≠±1）；
（2）2x﹣2y+1＝0．
【分析】（1）设M坐标为（x，y），利用直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2，即可确定出M的轨迹方程；
（2）设出C与D坐标，分别代入M的轨迹方程，整理由根据N为CD中点，求出直线l斜率，即可确定出直线l方程．
【解答】解：（1）设M（x，y），
∵直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2，
∴2，
则动点M的轨迹方程为2x2﹣y2＝2（x≠±1）；
（2）由（1）得M的轨迹方程为2x2﹣y2＝2（x≠±1），
设点C（x1，y1），D（x2，y2），则有22①，22②，
①﹣②得：2（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，
∵N（，1）为CD的中点，
∴x1+x2＝1，y1+y2＝2，
∴直线l的斜率k＝1，
∴直线l的方程为y﹣1＝x，即2x﹣2y+1＝0．
【点评】此题考查了轨迹方程，直线的点斜式方程，熟练掌握运算性质是解本题的关键．
15．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2．
（1）求双曲线的方程
（2）若直线l：y＝kx与双曲线恒有两个不同的交点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为原点），求k的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2，求出几何量，即可求出双曲线的标准方程；
（2）由直线l与双曲线交于不同的两点得k2且k2＜1，再由∠AOB为锐角，得xAxB+yAyB＞0，利用韦达定理结合题设条件进行求解．
【解答】解：（1）∵中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2，
∴，
∴双曲线的方程为；
（2）将y＝kx代入双曲线消去y得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9＝0．
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即k2且k2＜1．①
设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA+xB，xAxB．
由∠AOB为锐角，得xAxB+yAyB＞0，
即xAxB+yAyB＝xAxB+（kxA）（kxB）＝（k2+1）xAxBk（xA+xB）+2
0．②
∵﹣3k2﹣7＜0，
∴1﹣3k2＜0，
综上：
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点．AO、BO的延长线与直线x＝﹣4分别交于P、Q两点．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）连接OM，求△OPQ与△BOM的面积比．
【答案】（Ⅰ）M的轨迹方程为：y2＝2x﹣2；
（Ⅱ）△OPQ与△BOM的面积比为32．
【分析】（1）先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2，进而根据直线方程求得y1+y2，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数k，则焦点弦的中点轨迹方程可得．
（2）求出P，Q的坐标，可得面积，即可求△OPQ与△BOM的面积比．
【解答】解：（Ⅰ）设A （x1，y1），B（x2，y2），由题知抛物线焦点为（1，0）
设焦点弦方程为y＝k（x﹣1）
代入抛物线方程得所以k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0
由韦达定理：x1+x2＝2
所以中点M横坐标：x＝1
代入直线方程，中点M纵坐标：y＝k（x﹣1）．即中点M为（1，）
消参数k，得其方程为：y2＝2x﹣2，
当线段PQ的斜率不存在时，线段PQ中点为焦点F（1，0），满足此式，
故动点M的轨迹方程为：y2＝2x﹣2…（6分）
（Ⅱ）设AB：ky＝x﹣1，代入y2＝4x，得y2﹣4ky﹣4＝0，
y1+y2＝4k，y1 y2＝﹣4，
联立，得P（﹣4，），同理Q（﹣4，），…（9分）
|PQ|＝4|y1﹣y2|，
∴S△OPQ＝8|y1﹣y2|，
又∵S△OMB|y1﹣y2|，故△OPQ与△BOM的面积比为32．…（12分）
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
17．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，如图．当直线l与x轴垂直时，|MN|＝4．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知点P（﹣1，0），设直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2．请判断k1+k2是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）求出M的坐标，代入抛物线方程，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用韦达定理，结合斜率公式，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，
∴．…（1分）
又∵l与x轴垂直，且|MN|＝4，
∴．…（2分）
又∵点M在抛物线上，
∴，
∴p＝2，
∴求抛物线C的方程为y2＝4x．…（5分）
（Ⅱ）结论：k1+k2＝0，为定值．
设直线l与抛物线交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），
①当直线l斜率不存在时，知直线PM与PN关于x轴对称，
∴k1+k2＝0．
②当直线l斜率存在时，直线l的方程设为y＝k（x﹣1），
联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
∴，x1x2＝1．
又∵，，
且y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），
∴．
∵x1x2＝1，
∴k1+k2＝0．
综上所述k1+k2＝0． …（14分）
【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．如图，已知直线l：y＝kx﹣2与抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）交于A，B两点，线段AB的中点坐标为（﹣2，﹣6）．
（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；
（Ⅱ）求线段AB的长；
（Ⅲ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）代入点（﹣2，﹣6），求得k＝2，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，由题意可得p＝1，即可得到抛物线的方程；
（Ⅱ）运用弦长公式：|AB| |x1﹣x2|，计算即可得到；
（Ⅲ）当点P到直线AB的距离h最大时，△ABP的面积最大．设与AB平行的直线l'的方程为y＝2x+m，联立抛物线方程，由判别式为0，可得m＝2，由两平行直线的距离公式即可求得h的最大值，计算可得面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，点（﹣2，﹣6）在直线l上，
所以﹣6＝﹣2k﹣2，解得k＝2，
所以直线l的方程为y＝2x﹣2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y，得x2+4px﹣4p＝0，
所以x1+x2＝﹣4p，x1 x2＝﹣4p．
所以﹣4p＝﹣4，解得p＝1．
所以抛物线的方程为x2＝﹣2y．
（Ⅱ）．
（Ⅲ）当点P到直线AB的距离h最大时，△ABP的面积最大．
设与AB平行的直线l'的方程为y＝2x+m，
由消去y，得x2+4x+2m＝0，
由Δ＝0，解得m＝2．
所以l'的方程为y＝2x+2．
所以．
所以△ABP面积的最大值为．
【点评】本题考查抛物线的方程的性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．
19．设圆C与两圆（x）2+y2＝4，（x）2+y2＝4中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径，根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减，外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，可知圆心C到圆心F1的距离加2与圆心C到圆心F2的距离减2或圆心C到圆心F1的距离减2与圆心C到圆心F2的距离加2，得到圆心C到两圆心的距离之差为常数4，且小于两圆心的距离2，可知圆心C的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线，根据a与c的值求出b的值，写出轨迹L的方程即可；
（2）根据点M和F的坐标写出直线l的方程，与双曲线L的解析式联立，消去y后得到关于x的方程，求出方程的解即可得到两交点的横坐标，把横坐标代入直线l的方程中即可求出交点的纵坐标，得到直线l与双曲线L的交点坐标，然后经过判断发现T1在线段MF外，T2在线段MF内，根据图形可知||MT1|﹣|FT1||＝|MF|，利用两点间的距离公式求出|MF|的长度，当动点P与点T2重合时||MT2|﹣|FT2||＜|MF|，当动点P不是直线l与双曲线的交点时，根据两边之差小于第三边得到|MP|﹣|FP|＜|MF|，综上，得到动点P与T1重合时，||MP|﹣|FP||取得最大值，此时P的坐标即为T1的坐标．
【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F1（，0）、F2（，0），
由题意得：|CF1|+2＝|CF2|﹣2或|CF2|+2＝|CF1|﹣2，
∴||CF2|﹣|CF1||＝4＝2a＜|F1F2|＝22c，
可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2的双曲线，
因此a＝2，c，则b2＝c2﹣a2＝1，
所以轨迹L的方程为y2＝1；
（2）过点M，F的直线l的方程为y（x），
即y＝﹣2（x），代入y2＝1，解得：x1，x2，
故直线l与双曲线L的交点为T1（，），T2（，），
因此T1在线段MF外，T2在线段MF内，故||MT1|﹣|FT1||＝|MF|2，
||MT2|﹣|FT2||＜|MF|＝2，若点P不在MF上，则|MP|﹣|FP|＜|MF|＝2，
综上所述，|MP|﹣|FP|只在点T1处取得最大值2，此时点P的坐标为（，）．
【点评】此题考查学生会根据已知条件得到动点的轨迹方程，掌握双曲线的简单性质，灵活运用两点间的距离公式及三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解决实际问题，是一道中档题．
20．试求函数的最大值、最小值．
【答案】，
【分析】将f（x）看作关于椭圆的切线，转化为直线与椭圆的位置关系，求得切线的斜率的最值即可．
【解答】解：设CA，CB是椭圆的两条切线，如图所示，
C点坐标为（﹣3，﹣1）．
故f（x）的最大值为kCA，f（x）的最小值为kCB，
设过C与椭圆相切的切线方程为y＝kx+m．
由，
消去y，得（4+5k2）x2+10kmx+5m2﹣20＝0，
由Δ＝0得，
所以切线方程为，
因为切线过点C（﹣3，﹣1），所以．
所以，
所以f（x）的最大值的最小值为．
【点评】本题考查直线与椭圆的切线的斜率的最值问题，属于中档题．
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第三章 圆锥曲线的方程
一、选择题
1．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P（2，）在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B．1
C．x21 D．1
2．设F1，F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线x（其中c2+b2＝a2）上存在点P，使线段PF1的垂直平分线经过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）
3．已知双曲线C：1的左，右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线C上的两点，且3，cos∠AF2B，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．过双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB||CD|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．[，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]
5．椭圆1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围（ ）
A．（0，） B．[，1） C．（0，] D．[，1）
二、填空题
6．设点P在双曲线的左支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，已知|PF1|是点P到左准线l的距离d和|PF2|的比例中项，则双曲线离心率的取值范围是 ．
7．左焦点为F的双曲线的右支上存在点A，使得直线FA与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线C的离心率取值范围是 ．
8．设椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆C相交于A，B两点．当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为b2，则椭圆C的离心率e＝ ．
9．如图，椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，A、B是顶点，F是左焦点；当BF⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，其离心率为．类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝ ．
10．实数x，y满足，则z＝x+y的取值范围是 ．
11．已知F是椭圆的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝135°，记椭圆的离心率为e，则e2的取值范围是 ．
12．以x轴为准线，长轴长为4，下顶点A在抛物线x2＝y﹣1上的所有的椭圆中离心率最大的椭圆方程是 ．
三、解答题
13．已知双曲线的右焦点F（4，0）到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得点F到直线PA，PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知点A（﹣1，0），B（1，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若过点的直线l交点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．
15．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2．
（1）求双曲线的方程
（2）若直线l：y＝kx与双曲线恒有两个不同的交点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为原点），求k的取值范围．
16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点．AO、BO的延长线与直线x＝﹣4分别交于P、Q两点．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）连接OM，求△OPQ与△BOM的面积比．
17．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，如图．当直线l与x轴垂直时，|MN|＝4．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知点P（﹣1，0），设直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2．请判断k1+k2是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由．
18．如图，已知直线l：y＝kx﹣2与抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）交于A，B两点，线段AB的中点坐标为（﹣2，﹣6）．
（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；
（Ⅱ）求线段AB的长；
（Ⅲ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．
19．设圆C与两圆（x）2+y2＝4，（x）2+y2＝4中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．
20．试求函数的最大值、最小值．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P（2，）在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B．1
C．x21 D．1
【答案】A
【分析】设|PF1|＝m，|F1F2|＝2c，|PF2|＝n．可得：m﹣n＝2a．根据|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，可得4c＝m+n．再利用两点之间的距离公式及其b2＝c2﹣a2即可得出．
【解答】解：设|PF1|＝m，|F1F2|＝2c，|PF2|＝n．
∴m﹣n＝2a．
∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴4c＝m+n．
∴m＝a+2c，n＝2c﹣a，
联立解得a＝1，c，∴b2＝c2﹣a2＝1．
∴双曲线的标准方程为：x2﹣y2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、等差数列的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．设F1，F2分别是椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线x（其中c2+b2＝a2）上存在点P，使线段PF1的垂直平分线经过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）
【答案】C
【分析】设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K的坐标，根据 线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于﹣1，求出m2的解析式，再利用m2≥0，得到3e4+2e2﹣1≥0，求得e的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e 的范围．
【解答】解：由题意得 F1（﹣c，0），F2 （c，0），
设点P（，m），
则由中点公式可得线段PF1的中点K（，m ），
∴线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于﹣1，
即 1，
∴m2＝﹣（c） （3c）≥0，
∴a4﹣2a2c2﹣3 c4≤0，
∴3e4+2e2﹣1≥0，∴e2，或 e2≤﹣1（舍去），
∴e．
又椭圆的离心率 0＜e＜1，
故e＜1，
故选：C．
【点评】本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用，属于中档题．
3．已知双曲线C：1的左，右焦点分别为F1，F2，A，B是双曲线C上的两点，且3，cos∠AF2B，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设|F1A|＝3x，|F1B|＝x，在△ABF2中，由余弦定理列方程可得△ABF2是直角三角形，从而得出a，b，c的关系，即可得该双曲线的离心率．
【解答】解：设|F1A|＝3x，|F1B|＝x，则|AB|＝4x，|BF2|＝2a+x，|AF2|＝2a+3x，
在△ABF2中，由余弦定理得：
（4x）2＝（2a+x）2+（2a+3x）2﹣2（2a+x）（2a+3x），
解得x＝a，∴AF2＝5a，AB＝4a，BF2＝3a，
∴△ABF2是直角三角形，
在Rt△F1BF2中，a2+（3a）2＝（2c）2，代入得10a2＝4c2，即e2．
则该双曲线的离心率为e．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查离心率的计算能力．属于中档题．
4．过双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB||CD|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．[，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]
【答案】B
【分析】将x＝c代入1和y＝±x，求出A，B，C，D的坐标，由两点之间的距离公式求得|AB|，|CD|，由|AB||CD|，求得a和c的关系，根据离心率公式，即可求得离心率的取值范围．
【解答】解：当x＝c时代入1得y＝±，则A（c，），B（c，），则AB，
将x＝c代入y＝±x得y＝±，则C（c，），D（c，），
则|CD|，
∵|AB||CD|
∴，即bc，
则b2c2＝c2﹣a2，
即c2≥a2，
则e2，则e，
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程求出交点坐标，结合距离公式进行求解是解决本题的关键，属于中档题．
5．椭圆1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围（ ）
A．（0，） B．[，1） C．（0，] D．[，1）
【答案】C
【分析】根据椭圆 1的焦点在x轴上，确定a的范围，表示出椭圆的离心率，利用基本不等式，可得结论．
【解答】解：∵椭圆 1的焦点在x轴上，
∴5a＞4a2+1
∴
∵椭圆的离心率为（当且仅当，即a时取等号）
∴椭圆的离心率的取值范围为（0，]
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的标准方程与离心率，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
二、填空题
6．设点P在双曲线的左支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，已知|PF1|是点P到左准线l的距离d和|PF2|的比例中项，则双曲线离心率的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】依题意可得，设P（x0，y0），由焦半径公式可建立关于e的不等式，解该不等式即得解．
【解答】解：由题意知，，则，由得，
设P（x0，y0），由焦半径公式可得，则，即e2﹣2e﹣1≤0，解得，
又e＞1，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的定义及性质的运用，考查离心率取值范围的求解，考查运算求解能力，属于中档题．
7．左焦点为F的双曲线的右支上存在点A，使得直线FA与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线C的离心率取值范围是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用直线FA与圆x2+y2＝a2相切，可求得切线的斜率为，再分析出切线AF的斜率小于渐近线yx的斜率，即可求得双曲线C的离心率取值范围．
【解答】解：设直线FA的方程为：y＝k（x+c），∵直线FA与x2+y2＝a2相切，
∴a，
∴a2+a2k2＝c2k2，
∴b2k2＝a2，又k＞0，
∴k，
∵切线与右支有交点A，则切线AF的斜率小于渐近线yx的斜率，
即，
∴a2＜b2，又b2＝c2﹣a2，
∴c2＞2a2．
∴e22，
∴e．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，分析出切线AF的斜率小于渐近线yx的斜率是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
8．设椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆C相交于A，B两点．当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为b2，则椭圆C的离心率e＝ ．
【答案】．
【分析】判断三角形周长取得最大值时，求出m的值，利用三角形的面积，列出方程，求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：椭圆的左焦点为F，直线x＝m与椭圆C相交于A，B两点．
直线x＝m 与x轴的交点为E，右焦点为F′，|AF|+|AE|≤|AF|+|AF′|＝2a，
当△ABF的周长最大时，E、F′重合，此时m＝c，所以三角形的面积为：（2c）b2，
所以e．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
9．如图，椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，A、B是顶点，F是左焦点；当BF⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，其离心率为．类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】在黄金双曲线中，|BF|2+|AB|2＝|AF|2，由此可知b2+c2+c2＝a2+c2+2ac，∵b2＝c2﹣a2，整理得c2＝a2+ac，即e2﹣e﹣1＝0，解这个方程就能求出黄金双曲线的离心率e．
【解答】解：在黄金双曲线中，|OA|＝a，|OB|＝b，|OF|＝c，
由题意可知，|BF|2+|AB|2＝|AF|2，
∴b2+c2+c2＝a2+c2+2ac，
∵b2＝c2﹣a2，整理得c2＝a2+ac，
∴e2﹣e﹣1＝0，解得 ，或 （舍去）．
故黄金双曲线的离心率e得 ．
故答案为：．
【点评】注意寻找黄金双曲线中a，b，c之间的关系，利用双曲线的性质求解．
10．实数x，y满足，则z＝x+y的取值范围是 [﹣5，5] ．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过椭圆方程与直线方程，联立，利用判别式转化求解即可．
【解答】解：实数x，y满足，则z＝x+y，
可得，消去y可得：25x2﹣32zx+16z2﹣144＝0，
Δ＝（﹣32z）2﹣4×25×（16z2﹣144）≥0，解得z∈[﹣5，5]．
故答案为：[﹣5，5]．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
11．已知F是椭圆的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝135°，记椭圆的离心率为e，则e2的取值范围是 [，1） ．
【答案】[，1）．
【分析】连接A，B与左、右焦点F，F'的连线，由∠AFB＝135°，在三角形AFF'中，利用余弦定理，结合椭圆定义域基本不等式，转化求解e2的范围．
【解答】解：连接A，B与左、右焦点F，F'的连线，
由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，
由∠AFB＝135°，得∠FAF'＝45°，
在三角形AFF'中，|FF'|2＝|AF|2+|AF′|2﹣2|AF| |AF'|cos∠FAF′
＝（|AF|+|AF'|）2﹣（2）|AF| |AF'|，
∴（|AF|+|AF'|）2﹣|FF'|2＝（2）|AF| |AF'|≤（2） ，
即 （|AF|+|AF'|）2≤|FF'|2，当且仅当|AF|＝|AF′|时取等号，
即 4a2≤4c2，可得e2∈[，1）．
故答案为：[，1）．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
12．以x轴为准线，长轴长为4，下顶点A在抛物线x2＝y﹣1上的所有的椭圆中离心率最大的椭圆方程是 ．
【答案】
【分析】由题意抛物线的方程转化为得出椭圆的方程，得出离心率最大时c的值，进而求出椭圆的标准方程．
【解答】解：由题意得2a＝4，即a＝2，所以e，
即求c最大时的椭圆方程．
设A（x0，y0），椭圆的下焦点为F，椭圆中心O′，
椭圆长轴所在直线与x轴交于点N，
则e，
所以（因），
当且仅当y0＝1，x0＝0时取等号，此时．
所以A（0，1），中心O′（0，3），
，
故所求的椭圆方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆和抛物线的综合，再结合椭圆离心率的取值范围得出c的值，再求椭圆的标准方程，属于难题．
三、解答题
13．已知双曲线的右焦点F（4，0）到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得点F到直线PA，PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在P（1，0）．
【分析】（1）利用点线距离公式及c2＝a2+b2即可求得，从而求得双曲线C的方程；
（2）假设存在点P（n，0），据题意设AB：x＝my+4（m≠0），联立方程得到y1+y2，y1y2，再由点F到直线PA，PB的距离相等可得kPA+kPB＝0，由此代入式子即可求得n＝1，故存在P（1，0）．
【解答】解：（1）由右焦点F（4，0），所以c＝4，故a2+b2＝c2＝16，
又因为双曲线的渐近线为，即bx±ay＝0，
所以右焦点F（4，0）到渐近线的距离为，解得，
所以b2＝12，a2＝16﹣b2＝4，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）假设存在P（n，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意知，直线斜率不为0，设直线AB：x＝my+4，
①当m＝0时，直线AB：x＝4，显然点F到直线PA，PB的距离相等；
②当m≠0时，联立，消去x，得（3m2﹣1）y2+24my+36＝0，
则3m2﹣1≠0，Δ＝（24m）2﹣4×36（3m2﹣1）＝144（m2+1）＞0，
且，
因为点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是∠APB的角平分线，
则kPA+kPB＝0，即，
则y1（my2+4﹣n）+y2（my1+4﹣n）＝0，
整理得2my1y2+（4﹣n）（y1+y2）＝0，
故，
即3m﹣m（4﹣n）＝0，因为m≠0，所以n＝1，
故存在P（1，0）．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
14．已知点A（﹣1，0），B（1，0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若过点的直线l交点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．
【答案】（1）2x2﹣y2＝2（x≠±1）；
（2）2x﹣2y+1＝0．
【分析】（1）设M坐标为（x，y），利用直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2，即可确定出M的轨迹方程；
（2）设出C与D坐标，分别代入M的轨迹方程，整理由根据N为CD中点，求出直线l斜率，即可确定出直线l方程．
【解答】解：（1）设M（x，y），
∵直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积为2，
∴2，
则动点M的轨迹方程为2x2﹣y2＝2（x≠±1）；
（2）由（1）得M的轨迹方程为2x2﹣y2＝2（x≠±1），
设点C（x1，y1），D（x2，y2），则有22①，22②，
①﹣②得：2（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，
∵N（，1）为CD的中点，
∴x1+x2＝1，y1+y2＝2，
∴直线l的斜率k＝1，
∴直线l的方程为y﹣1＝x，即2x﹣2y+1＝0．
【点评】此题考查了轨迹方程，直线的点斜式方程，熟练掌握运算性质是解本题的关键．
15．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2．
（1）求双曲线的方程
（2）若直线l：y＝kx与双曲线恒有两个不同的交点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为原点），求k的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2，求出几何量，即可求出双曲线的标准方程；
（2）由直线l与双曲线交于不同的两点得k2且k2＜1，再由∠AOB为锐角，得xAxB+yAyB＞0，利用韦达定理结合题设条件进行求解．
【解答】解：（1）∵中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2，
∴，
∴双曲线的方程为；
（2）将y＝kx代入双曲线消去y得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9＝0．
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即k2且k2＜1．①
设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA+xB，xAxB．
由∠AOB为锐角，得xAxB+yAyB＞0，
即xAxB+yAyB＝xAxB+（kxA）（kxB）＝（k2+1）xAxBk（xA+xB）+2
0．②
∵﹣3k2﹣7＜0，
∴1﹣3k2＜0，
综上：
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点．AO、BO的延长线与直线x＝﹣4分别交于P、Q两点．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）连接OM，求△OPQ与△BOM的面积比．
【答案】（Ⅰ）M的轨迹方程为：y2＝2x﹣2；
（Ⅱ）△OPQ与△BOM的面积比为32．
【分析】（1）先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2，进而根据直线方程求得y1+y2，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数k，则焦点弦的中点轨迹方程可得．
（2）求出P，Q的坐标，可得面积，即可求△OPQ与△BOM的面积比．
【解答】解：（Ⅰ）设A （x1，y1），B（x2，y2），由题知抛物线焦点为（1，0）
设焦点弦方程为y＝k（x﹣1）
代入抛物线方程得所以k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0
由韦达定理：x1+x2＝2
所以中点M横坐标：x＝1
代入直线方程，中点M纵坐标：y＝k（x﹣1）．即中点M为（1，）
消参数k，得其方程为：y2＝2x﹣2，
当线段PQ的斜率不存在时，线段PQ中点为焦点F（1，0），满足此式，
故动点M的轨迹方程为：y2＝2x﹣2…（6分）
（Ⅱ）设AB：ky＝x﹣1，代入y2＝4x，得y2﹣4ky﹣4＝0，
y1+y2＝4k，y1 y2＝﹣4，
联立，得P（﹣4，），同理Q（﹣4，），…（9分）
|PQ|＝4|y1﹣y2|，
∴S△OPQ＝8|y1﹣y2|，
又∵S△OMB|y1﹣y2|，故△OPQ与△BOM的面积比为32．…（12分）
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
17．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，如图．当直线l与x轴垂直时，|MN|＝4．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知点P（﹣1，0），设直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2．请判断k1+k2是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）求出M的坐标，代入抛物线方程，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用韦达定理，结合斜率公式，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，
∴．…（1分）
又∵l与x轴垂直，且|MN|＝4，
∴．…（2分）
又∵点M在抛物线上，
∴，
∴p＝2，
∴求抛物线C的方程为y2＝4x．…（5分）
（Ⅱ）结论：k1+k2＝0，为定值．
设直线l与抛物线交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），
①当直线l斜率不存在时，知直线PM与PN关于x轴对称，
∴k1+k2＝0．
②当直线l斜率存在时，直线l的方程设为y＝k（x﹣1），
联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
∴，x1x2＝1．
又∵，，
且y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），
∴．
∵x1x2＝1，
∴k1+k2＝0．
综上所述k1+k2＝0． …（14分）
【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．如图，已知直线l：y＝kx﹣2与抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）交于A，B两点，线段AB的中点坐标为（﹣2，﹣6）．
（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；
（Ⅱ）求线段AB的长；
（Ⅲ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）代入点（﹣2，﹣6），求得k＝2，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，由题意可得p＝1，即可得到抛物线的方程；
（Ⅱ）运用弦长公式：|AB| |x1﹣x2|，计算即可得到；
（Ⅲ）当点P到直线AB的距离h最大时，△ABP的面积最大．设与AB平行的直线l'的方程为y＝2x+m，联立抛物线方程，由判别式为0，可得m＝2，由两平行直线的距离公式即可求得h的最大值，计算可得面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，点（﹣2，﹣6）在直线l上，
所以﹣6＝﹣2k﹣2，解得k＝2，
所以直线l的方程为y＝2x﹣2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y，得x2+4px﹣4p＝0，
所以x1+x2＝﹣4p，x1 x2＝﹣4p．
所以﹣4p＝﹣4，解得p＝1．
所以抛物线的方程为x2＝﹣2y．
（Ⅱ）．
（Ⅲ）当点P到直线AB的距离h最大时，△ABP的面积最大．
设与AB平行的直线l'的方程为y＝2x+m，
由消去y，得x2+4x+2m＝0，
由Δ＝0，解得m＝2．
所以l'的方程为y＝2x+2．
所以．
所以△ABP面积的最大值为．
【点评】本题考查抛物线的方程的性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．
19．设圆C与两圆（x）2+y2＝4，（x）2+y2＝4中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径，根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减，外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，可知圆心C到圆心F1的距离加2与圆心C到圆心F2的距离减2或圆心C到圆心F1的距离减2与圆心C到圆心F2的距离加2，得到圆心C到两圆心的距离之差为常数4，且小于两圆心的距离2，可知圆心C的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线，根据a与c的值求出b的值，写出轨迹L的方程即可；
（2）根据点M和F的坐标写出直线l的方程，与双曲线L的解析式联立，消去y后得到关于x的方程，求出方程的解即可得到两交点的横坐标，把横坐标代入直线l的方程中即可求出交点的纵坐标，得到直线l与双曲线L的交点坐标，然后经过判断发现T1在线段MF外，T2在线段MF内，根据图形可知||MT1|﹣|FT1||＝|MF|，利用两点间的距离公式求出|MF|的长度，当动点P与点T2重合时||MT2|﹣|FT2||＜|MF|，当动点P不是直线l与双曲线的交点时，根据两边之差小于第三边得到|MP|﹣|FP|＜|MF|，综上，得到动点P与T1重合时，||MP|﹣|FP||取得最大值，此时P的坐标即为T1的坐标．
【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F1（，0）、F2（，0），
由题意得：|CF1|+2＝|CF2|﹣2或|CF2|+2＝|CF1|﹣2，
∴||CF2|﹣|CF1||＝4＝2a＜|F1F2|＝22c，
可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2的双曲线，
因此a＝2，c，则b2＝c2﹣a2＝1，
所以轨迹L的方程为y2＝1；
（2）过点M，F的直线l的方程为y（x），
即y＝﹣2（x），代入y2＝1，解得：x1，x2，
故直线l与双曲线L的交点为T1（，），T2（，），
因此T1在线段MF外，T2在线段MF内，故||MT1|﹣|FT1||＝|MF|2，
||MT2|﹣|FT2||＜|MF|＝2，若点P不在MF上，则|MP|﹣|FP|＜|MF|＝2，
综上所述，|MP|﹣|FP|只在点T1处取得最大值2，此时点P的坐标为（，）．
【点评】此题考查学生会根据已知条件得到动点的轨迹方程，掌握双曲线的简单性质，灵活运用两点间的距离公式及三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解决实际问题，是一道中档题．
20．试求函数的最大值、最小值．
【答案】，
【分析】将f（x）看作关于椭圆的切线，转化为直线与椭圆的位置关系，求得切线的斜率的最值即可．
【解答】解：设CA，CB是椭圆的两条切线，如图所示，
C点坐标为（﹣3，﹣1）．
故f（x）的最大值为kCA，f（x）的最小值为kCB，
设过C与椭圆相切的切线方程为y＝kx+m．
由，
消去y，得（4+5k2）x2+10kmx+5m2﹣20＝0，
由Δ＝0得，
所以切线方程为，
因为切线过点C（﹣3，﹣1），所以．
所以，
所以f（x）的最大值的最小值为．
【点评】本题考查直线与椭圆的切线的斜率的最值问题，属于中档题．
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