第四章 指数函数与对数函数（单元培优）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第四章 指数函数与对数函数
一、单选题
1．计算log23log34+（的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则（　　）
A．
B．
C．
D．
3．函数y在[﹣6，6]的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
4．函数f（x）x+2的零点所在的一个区间是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
5．已知f（x）＝ln（3x），则f（lg）+f（lg2）＝（　　）
A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣1
6．已知f（x）＝log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，4） B．（﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞） D．[﹣4，4）
7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（﹣∞，]∪[2，+∞）
C．（，2] D．（0，]∪[2，+∞）
8．已知函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[1，3]时，f（x）＝|x﹣2|﹣1，若函数y＝f（x）﹣loga（x+1）至少有三个零点，则a的取值范围为（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（，1）
二、多选题
9．若f（x）＝lg（|x﹣2|+1），则下列命题正确的是（　　）
A．f（x+2）是偶函数
B．f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数
C．f（x）没有最大值
D．f（x）没有最小值
10．若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论中正确的说法是（　　）
A．m＞﹣1 B．m＜﹣1
C．当m＞0时，x1＜1＜3＜x2 D．当m＞0时，1＜x1＜x2＜3
11．定义运算，设函数f（x）＝1 2﹣x，则下列命题正确的有（　　）
A．f（x）的值域为[1，+∞）
B．f（x）的值域为 （0，1]
C．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（﹣∞，0）
D．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（0，+∞）
12．已知函数f（x）＝1﹣|1﹣x|，若关于x的方程f2（x）+af（x）＝0有n个不同的实根，则n的值可能为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
三、填空题
13．关于x的方程2020x有实数根，则实数a的取值范围为　 　 ．
14．函数f（x）＝loga（x2﹣ax+2）在区间（1，+∞）上恒为正值，则实数a的取值范围 　 　 ．
15．已知函数f（x），那么f（f（4））＝　 　 ，若存在实数a，使得f（a）＝f（f（a）），则a的个数是　 　 ．
16．已知函数f（x）＝mx2+2x﹣1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是　 　 ．
四、解答题
17．已知函数f（x）＝1（a＞0，a≠1）且f（0）＝0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）＝（2x+1） f（x）+k有零点，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）当x∈（0，1）时，f（x）＞m 2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．
18．已知函数f（x）的图象关于原点对称，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．
19．已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
20．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，f（0）＝﹣3．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）设g（x）＝kx+1，若F（x）＝log0.5[g（x）﹣f（x）]在区间[2，3]上单调递增，求实数k的取值范围．
21．已知指数函数f（x）的图象经过点（﹣1，3），g（x）＝f2（x）﹣2af（x）+3在区间[﹣1，1]的最小值h（a）；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）的最小值h（a）的表达式；
（3）是否存在m，n∈R同时满足以下条件：
①m＞n＞3；
②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
22．已知函数f（x）＝x2﹣2mx+2m2﹣4，x∈R，m∈R．
（1）若函数f（x）在区间（0，3）上有唯一零点，求实数m的取值范围；
（2）记函数F（x）＝f（2x）+f（2﹣x）﹣m2，若函数F（x）存在零点，求实数m的取值范围．
第四章 指数函数与对数函数
参考答案与试题解析
一、单选题
1．计算log23log34+（的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用对数的运算性质求解．
【解答】解：log23log34+（log242+2＝4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．
2．设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】比较||与，和的大小关系，结合单调性可得答案．
【解答】解：由f（x）是定义域为R的偶函数，那么||＝log34＞log33＝1，020＝1，
∵在（0，+∞）单调递增，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查指数对数的比较大小，和单调性的应用，属于基础题．
3．函数y在[﹣6，6]的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由y的解析式知该函数为奇函数可排除C，然后计算x＝4时的函数值，根据其值即可排除A，D．
【解答】解：由y＝f（x）在[﹣6，6]，知
f（﹣x），
∴f（x）是[﹣6，6]上的奇函数，因此排除C
又f（4），因此排除A，D．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．
4．函数f（x）x+2的零点所在的一个区间是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
【答案】B
【分析】判断函数的单调性，由零点判定定理判断求解即可．
【解答】解：函数f（x）x+2是连续减函数，
∵f（3）3+2＜0，
f（2）2+2＞0，
∴f（2）f（3）＜0，
由零点判定定理可知函数的零点在（2，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了函数零点的判断，属于基础题．
5．已知f（x）＝ln（3x），则f（lg）+f（lg2）＝（　　）
A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣1
【答案】C
【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得f（x）为奇函数，又由f（lg）+f（lg2）＝f（﹣lg2）+f（lg2），分析即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝ln（3x），则f（﹣x）＝ln（3x），
则有f（x）+f（﹣x）＝ln1＝0，
即f（x）为奇函数，
则f（lg）+f（lg2）＝f（﹣lg2）+f（lg2）＝0；
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性的判定以及应用，关键是分析f（x）的单调性，属于基础题．
6．已知f（x）＝log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，4） B．（﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞） D．[﹣4，4）
【答案】B
【分析】根据题意得出函数y＝x2﹣ax+3a在[2，+∞）上是增函数且大于零，
由此列出关于a的不等式组，求出它的解集即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，
∴y＝x2﹣ax+3a在[2，+∞）上是增函数且大于零，
∴，
解得﹣4＜a≤4，
∴实数a的取值范围是（﹣4，4]．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了复合函数的单调性问题，是基础题目．
7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数a满足，则a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（﹣∞，]∪[2，+∞）
C．（，2] D．（0，]∪[2，+∞）
【答案】D
【分析】由偶函数的性质将f（log2a）+f（a）≤2f（1），化为：f（log2a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．
【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以f（a）＝f（﹣log2a）＝f（log2a），
则f（log2a）+f（a）≤2f（1）
则f（log2a）≤f（1），
因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，
所以|log2a|≥1，解得0＜a或a≥2，
则a的取值范围是（0，]∪[2，+∞）
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题．
8．已知函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[1，3]时，f（x）＝|x﹣2|﹣1，若函数y＝f（x）﹣loga（x+1）至少有三个零点，则a的取值范围为（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（，1）
【答案】B
【分析】直接利用函数的图象和函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：由函数f（x+2）＝f（x）所以函数的周期为2，
如图所示：
在同一坐标系内画出函数y＝f（x）和函数y＝loga（x+1）的图象，
当a＞1时，两函数图象只有一个交点，所以0＜a＜1，
由图易知：当函数y＝loga（x+1）的图象经过（2，﹣1），函数y＝f（x）与函数y＝loga（x+1）的图象有两个交点，
即函数y＝f（x）﹣loga（x+1）有两个零点，要使函数y＝y＝f（x）﹣loga（x+1）至少有三个零点，则loga（2+1）＞﹣1，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函数的零点和方程的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
二、多选题
9．若f（x）＝lg（|x﹣2|+1），则下列命题正确的是（　　）
A．f（x+2）是偶函数
B．f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数
C．f（x）没有最大值
D．f（x）没有最小值
【答案】ABC
【分析】直接利用函数的图象判断函数的单调区间，函数的对称性函数的最值，最后求出结果．
【解答】解：f（x）＝lg（|x﹣2|+1），所以f（x+2）＝lg（|x|+1）为偶函数，故A正确．
同时画出函数的图象，
如图所示：
所以函数在（﹣∞，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，且存在最小值，没有最大值，
故A、B、C正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查的知识要点：函数的图象，函数的单调性，函数的最值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
10．若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论中正确的说法是（　　）
A．m＞﹣1 B．m＜﹣1
C．当m＞0时，x1＜1＜3＜x2 D．当m＞0时，1＜x1＜x2＜3
【答案】AC
【分析】令f（x）＝（x﹣1）（x﹣3）﹣m，画图根据图象可得所给的命题的真假．
【解答】解：方程整理可得：x2﹣4x+3﹣m＝0，由不同两根的条件为：Δ＝16﹣4（3﹣m）＞0，可得m＞﹣1，所以A正确，B不正确．
当m＞0时，即（x﹣1）（x﹣3）＞0，函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣3）﹣m与x轴的交点（x1，0），（x2，0），
如图可得x1＜1＜3＜x2，
所以C正确，D不正确；
故选：AC．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布，属于中档题．
11．定义运算，设函数f（x）＝1 2﹣x，则下列命题正确的有（　　）
A．f（x）的值域为[1，+∞）
B．f（x）的值域为 （0，1]
C．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（﹣∞，0）
D．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（0，+∞）
【答案】AC
【分析】由题意知写出函数f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，结合图象判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：由题意知，函数f（x）＝1 2﹣x，画出函数f（x）的图象，如图所示；
所以f（x）的值域是[1，+∞），选项A正确，B错误；
由f（x）在（﹣∞，0）上是单调减函数，
不等式f（x+1）＜f（2x）可化为，解得x＜﹣1；
又x∈[﹣1，0）时，x+1≥0，f（x+1）＝1；
2x＜0，f（2x）＞1，所以f（x+1）＜f（2x）；
综上知，不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（﹣∞，0），所以C正确，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了新定义的函数解析式应用问题，是中档题．
12．已知函数f（x）＝1﹣|1﹣x|，若关于x的方程f2（x）+af（x）＝0有n个不同的实根，则n的值可能为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】AB
【分析】作出f（x）的图象，通过[f（x）]2+af（x）＝0，解得f（x）＝0或f（x）＝﹣a，然后通过a的范围，判断函数的零点个数即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝1﹣|1﹣x|，
作出f（x）的图象如下：
由[f（x）]2+af（x）＝0得：f（x）＝0或f（x）＝﹣a，
所以方程[f（x）]2+af（x）＝0的解的个数，即为函数f（x）与x轴以及直线y＝﹣a交点个数，
由图象可得：f（x）与x轴有2个交点，
①当﹣a＞1，即a＜﹣1时，函数f（x）与直线y＝﹣a无交点，故原方程共2个解；
②当﹣a＝1，即a＝﹣1时，函数f（x）与直线y＝﹣a有1个交点，故原方程共3个解；
③当0＜﹣a＜1，即﹣1＜a＜0时，函数f（x）与直线y＝﹣a有2个交点，故原方程共4个解；
④当﹣a＝0，即a＝0时，原方程可化为f（x）＝0，故原方程共2个解；
⑤当﹣a＜0，即a＞0时，函数f（x）与直线y＝﹣a有2个交点，故原方程共4个解；
综上，原方程解的个数可能为2，3，4．
故选：AB．
【点评】本题考查函数的零点个数的求法，函数的图象的应用，考查数形结合以及分类讨论数学的应用，是中档题．
三、填空题
13．关于x的方程2020x有实数根，则实数a的取值范围为　（，5）　 ．
【答案】（，5）．
【分析】依题意，y＝2020x的值域为（0，+∞），故方程2020x有实数根可以等价为∈（0，+∞）．求解即可．
【解答】解：设y＝2020x，则y的值域为（0，+∞），
所以2020x有实数根 0，
即0，
∴（3a+2）（a﹣5）＜0．
解得，a∈（，5），
故答案为：（，5）．
【点评】本题考查了指数函数的值域，分式不等式的解法，属于中档题．
14．函数f（x）＝loga（x2﹣ax+2）在区间（1，+∞）上恒为正值，则实数a的取值范围 　{a|1＜a≤2}　 ．
【答案】{a|1＜a≤2}．
【分析】由已知结合对数函数及二次函数的性质即可求解．
【解答】解：∵函数上恒为正值，
∴当x＞1时，0．
①当0＜a＜1时，有0＜x2﹣ax+2＜1，此不等式显然不恒成立；
②当a＞1时，有x2﹣ax+2＞1，所以a＜x，解得1＜a≤2．
综上，a的取值范围为{a|1＜a≤2}．
故答案为：{a|1＜a≤2}．
【点评】本题主要考查了对数函数与二次函数的性质的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
15．已知函数f（x），那么f（f（4））＝　1　 ，若存在实数a，使得f（a）＝f（f（a）），则a的个数是　5　 ．
【答案】1，5．
【分析】先计算f（4）＝﹣2，再计算f（﹣2）的值即可；换元思想设f（a）＝t，由f（a）＝f（f（a）），那么t＝f（t），求t的值，即可求解a的值，可得个数．
【解答】解：由f（4）＝﹣2，
那么f（f（4））＝f（﹣2）＝1．
设f（a）＝t，
由f（a）＝f（f（a）），那么t＝f（t），
即图象与y＝x有两交点，
可得t＝1或t＝﹣1，
由图象可知：
当t＝1时，即f（a）＝1，可得a＝1或a＝﹣2，
当t＝﹣1时，即f（a）＝﹣1，可得a＝3或a＝0或a＝﹣1，
综上，存在实数a，使得f（a）＝f（f（a）），则a的个数是5个值，
故答案为1，5．
【点评】本题考查了分段函数的应用，转化思想和换元法，属于中档题．
16．已知函数f（x）＝mx2+2x﹣1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是　{﹣1}∪[0，+∞）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】讨论函数的类型，开口方向，根与系数的关系．
【解答】解：（1）当m＝0时，f（x）＝2x﹣1，f（x）的零点为x0，符合题意．
（2）当m＞0时，f（x）图象开口向上，对称轴为x0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∵f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个正实数零点．
∴f（0）＜0，
即﹣1＜0，恒成立．
（3）当m＜0时，f（x）图象开口向下，对称轴为x0，
①若Δ＝0，即4+4m＝0，解得m＝﹣1，则0，恒成立．
②若Δ＞0，即4+4m＞0，解得m＞﹣1，则f（x）＝0有两根，设为x1，x2，
则x1 x20，与f（x）＝mx2+2x﹣1有且仅有一个正实数的零点矛盾．
综上所述：m的取值范围是{﹣1}∪[0，+∞）．
故答案为{﹣1}∪[0，+∞）．
【点评】本题考查了二次函数的根的个数与系数的关系，是中档题．
四、解答题
17．已知函数f（x）＝1（a＞0，a≠1）且f（0）＝0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）＝（2x+1） f（x）+k有零点，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）当x∈（0，1）时，f（x）＞m 2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由函数f（x）的解析式以及f（0）＝10，求得a的值．
（Ⅱ）由题意可得，函数y＝2x的图象和直线y＝1﹣k有交点，故有1﹣k＞0，求得k的范围．
（Ⅲ）由题意可得当x∈（0，1）时，1m 2x﹣2恒成立．令t＝2x，则t∈（1，2），且 m．利用单调性求得，从而可得m的范围．
【解答】解：（Ⅰ）对于函数f（x）＝1（a＞0，a≠1），由f（0）＝10，
求得a＝2，故f（x）＝11．
（Ⅱ）若函数g（x）＝（2x+1） f（x）+k＝2x+1﹣2+k＝2x﹣1+k 有零点，
则函数y＝2x的图象和直线y＝1﹣k有交点，∴1﹣k＞0，求得k∈（﹣∞，1）．
（Ⅲ）∵当x∈（0，1）时，f（x）＞m 2x﹣2恒成立，即1m 2x﹣2恒成立．
令t＝2x，则t∈（1，2），且 m．
由于 在t∈（1，2）上单调递减，∴，∴m∈（﹣∞，]．
【点评】本题主要考查指数函数的性质综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．
18．已知函数f（x）的图象关于原点对称，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）函数f（x）的图象关于原点对称，可得f（x）+f（﹣x）＝0，整理得0恒成立，即可得出答案
（2）x∈（1，+∞）时，f（x）（x﹣1）＜m恒成立，求出x∈（1，+∞）时，f（x）（x﹣1）的最大值，即可解出m的取值范围
（3）由于f（x）在[2，3]上是增函数，g（x）（x+k）在[2，3]上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出，解之即可得出答案．
另解：运用对数相等的条件，以及参数分离法和函数的单调性，可得所求范围．
【解答】解：（1）函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（x）+f（﹣x）＝0，即0，
∴（）＝0，∴1恒成立，
即1﹣a2x2＝1﹣x2，即（a2﹣1）x2＝0恒成立，所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，
又a＝1时，f（x）无意义，故a＝﹣1；
（2）x∈（1，+∞）时，f（x）（x﹣1）＜m恒成立，即（x﹣1）＜m，
∴（x+1）＜m在（1，+∞）恒成立，
由于y（x+1）是减函数，故当x＝1，函数取到最大值﹣1，
∴m≥﹣1，即实数m的取值范围是[﹣1，+∞）；
（3）f（x）在[2，3]上是增函数，g（x）（x+k）在[2，3]上是减函数，
∴只需要即可保证关于x的方程f（x）（x+k）在[2，3]上有解，下解此不等式组．
代入函数解析式得，解得﹣1≤k≤1，
即当﹣1≤k≤1时关于x的方程f（x）（x+k）在[2，3]上有解．
另解1：f（x）（x+k）即为lo（x+k），即x+k，
即有k在[2，3]上有解，
设h（x）（2≤x≤3），h（x）（x﹣1）在[2，3]递减，
可得h（x）∈[﹣1，1]，所以k的范围为[﹣1，1]．
另解2：f（x）（x+k）即为lo（x+k），即x+k，
即有kx＝1x，
而y＝1x在[2，3]递减，可得﹣1≤y≤1，
所以k的范围为[﹣1，1]．
【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题
19．已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）．
（2）m＝﹣1．
【分析】（1由已知结合偶函数定义即可求解；
（2）由已知可考虑换元，转化为二次函数闭区间最值问题，结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论可求．
【解答】解：（1）由题意得f（﹣x）＝f（x），
即对于任意x∈R恒成立，
∴，
整理得2kx＝﹣x恒成立．
∴．
（2）由题意，h（x）＝4x+m 2x，x∈[0，log23]，
令t＝2x，则t∈[1，3]，
故φ（t）＝t2+mt，t∈[1，3]，二次函数的图象开口向上，对称轴，
（i）当，即m≥﹣2时，φ（t）min＝φ（1）＝1+m＝0，解得：m＝﹣1，
（ii）当，即﹣6＜m＜﹣2时，（舍去），
（iii）当3，即m＝﹣6时，h（x）＝4x﹣6 2x，x∈[0，log23]，φ（t）min＝φ（3）＝﹣9；
（iv）当，即m＜﹣6时，φ（t）min＝φ（3）＝9+3m＝0，
∴m＝﹣3（舍去），
∴存在m＝﹣1使得h（x）最小值为0．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的定义的应用，还考查了二次函数闭区间上最值求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
20．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，f（0）＝﹣3．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）设g（x）＝kx+1，若F（x）＝log0.5[g（x）﹣f（x）]在区间[2，3]上单调递增，求实数k的取值范围．
【答案】（Ⅰ）f（x）＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）{k|k≤2}．
【分析】（Ⅰ）设出二次函数的解析式，得到2ax+a+b＝2x﹣1，根据系数对应相等，求出a，b的值即可；
（Ⅱ）由于F（x）＝log0.5（g（x）﹣f（x））＝log0.5（﹣x2+（k+2）x﹣2），设h（x）＝﹣x2+（k+2）x﹣2，由二次函数的性质，比较对称轴和区间端点的关系即可．
【解答】解：（Ⅰ）设二次函数的解析式为f（x）＝ax2+bx+c （a≠0）
由f（0）＝﹣3得c＝﹣3，
故f（x）＝ax2+bx﹣3．
因为f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，
所以a（x+1）2+b（x+1）﹣3﹣（ax2+bx﹣3）＝2x﹣1．
即2ax+a+b＝2x﹣1，
根据系数对应相等 ；
所以f（x）＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）F（x）＝log0.5（g（x）﹣f（x））＝log0.5（﹣x2+（k+2）x+4），
由F（x）在区间[2，3]上是增函数得h（x）＝﹣x2+（k+2）x﹣+在[2，3]上为减函数且恒正，
故，解得：k≤2．
实数k的取值范围：{k|k≤2}．
【点评】本题考查二次函数在R中的恒成立问题，可以通过判别式法予以解决，二次函数的单调区间有开口方向和对称轴的位置共同决定，在没说明开口方向时一定要注意比较对称轴和区间端点的关系，属于中档题．
21．已知指数函数f（x）的图象经过点（﹣1，3），g（x）＝f2（x）﹣2af（x）+3在区间[﹣1，1]的最小值h（a）；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）的最小值h（a）的表达式；
（3）是否存在m，n∈R同时满足以下条件：
①m＞n＞3；
②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设f（x）＝ax，a＞0且a≠1，代值计算即可求出，
（2）利用换元法，可将已知函数化为一个二次函数，根据二次函数在定区间上的最值问题，即可得到h（a）的解析式．
（3）由（2）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上为减函数，进而根据h（a）的定义域为[n，m]时值域为[n2，m2]构造关于m，n的不等式组，如果不等式组有解，则存在满足条件的m，n的值；若无解，则不存在满足条件的m，n的值．
【解答】解：（1）设f（x）＝ax，a＞0且a≠1，
∵指数函数f（x）的图象经过点（﹣1，3），
∴a﹣1＝3，
即a，
∴f（x）＝（）x，
（2）令t＝（）x，
∵x∈[﹣1，1]，
∴t∈[，3]，
∴g（x）＝k（t）＝t2﹣2at+3，对称轴为t＝a，
当a时，k（t）在[，3]上为增函数，此时当t时，h（a）＝k（）
当a＜3时，k（t）在[，a]上为减函数，在[a，3]上为增函数，此时当t＝a时，h（a）＝﹣a2+3，
当a≥3时，k（t）在[，3]上为减函数，此时当t＝3时，h（a）＝12﹣6a，
∴h（a）．
（3）由（2）得m＞n＞3时，h（a）＝12﹣6a在[n，m]中为减函数，
若此时h（a）值域为[n2，m2]．
则，即6（m﹣n）＝（m﹣n）（m+n），即m+n＝6，
与m＞n＞3矛盾，故不存在满足条件的m，n的值．
【点评】本题考查的知识点是指数函数的综合应用，其中（2）的关键是利用换元法，将函数解析式化为二次函数，（3）的关键是判断h（a）在（3，+∞）上为减函数进而构造关于m，n的不等式组．
22．已知函数f（x）＝x2﹣2mx+2m2﹣4，x∈R，m∈R．
（1）若函数f（x）在区间（0，3）上有唯一零点，求实数m的取值范围；
（2）记函数F（x）＝f（2x）+f（2﹣x）﹣m2，若函数F（x）存在零点，求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，f（x）＝x2﹣2mx+2m2﹣4＝（x﹣m）2+m2﹣4，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出m的取值范围．
（2）根据题意，若函数F（x）存在零点，则方程F（x）＝f（2x）+f（2﹣x）﹣m2＝0有解，而F（x）＝f（2x）+f（2﹣x）﹣m2＝（2x+2﹣x）2﹣2m（2x+2﹣x）+4m2﹣10，令2x+2﹣x＝t≥2，则F（x）＝G（t）＝t2﹣2mt+4m2﹣10＝（t﹣m）2+3m2﹣10，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝x2﹣2mx+2m2﹣4＝（x﹣m）2+m2﹣4，
当m＝±2时，f（x）＝0有唯一的根，即x＝m，
若函数f（x）在区间（0，3）上有唯一零点，此时m＝2符合条件．
当m2＜4时，即﹣2＜m＜2时，方程f（x）＝0有两个根，
若函数f（x）在区间（0，3）上有唯一零点，此时必有f（0）f（3）＜0，即（2m2﹣4）（5﹣6m+2m2）＜0，
解得m．
当m2＞4时，f（x）＝0无实数根，
由f（0）＝0，2m2﹣4＝0，解得m＝±，经过验证：m时满足题意，m时不满足题意，舍去．
由f（3）＝0，2m2﹣6m+5＝0，Δ＜0，方程无解，舍去．
综上可得：m的取值范围为{m|m＝2或m}．
（2）根据题意，若函数F（x）存在零点，则方程F（x）＝f（2x）+f（2﹣x）﹣m2＝0有解，
而F（x）＝f（2x）+f（2﹣x）﹣m2＝22x﹣2m 2x+2m2﹣4+2﹣2x﹣2m 2﹣x+2m2﹣4﹣m2
＝（2x+2﹣x）2﹣2m（2x+2﹣x）+3m2﹣10，
令2x+2﹣x＝t≥2，则F（x）＝G（t）＝t2﹣2mt+3m2﹣10＝（t﹣m）2+2m2﹣10，
①当m＜2时，，
则由3m2﹣4m﹣6≤0，得
②当m≥2时，，
则由2m2﹣10≤0，得，
综上，实数m的取值范围是[，]．
【点评】＝本题考查了二次函数的单调性、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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