第一章 空间向量与立体几何（单元培优）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何（单元培优）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 896.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 17:31:35 | ||
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文档简介
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第一章 空间向量与立体几何
一．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（5分）已知平面α的一个法向量是（2，﹣1，1），α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ）
A．（4，2，﹣2） B．（2，0，4） C．（2，﹣1，﹣5） D．（4，﹣2，2）
2．（5分）若是平面α内的两个向量，则（ ）
A．α内任一向量（λ，μ∈R）
B．若存在λ，μ∈R，使，则λ＝μ＝0
C．若不共线，则空间任一向量（λ，μ∈R）
D．若不共线，则α内任一向量（λ，μ∈R）
3．（5分）已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知空间三点A（1，0，3），B（﹣1，1，4），C（2，﹣1，3），若，且||，则点P的坐标为（ ）
A．（4，﹣2，2）
B．（﹣2，2，4）
C．（4，﹣2，2）或（﹣2，2，4）
D．（﹣4，2，﹣2）或（2，﹣2，4）
5．（5分）已知（1，2，3），（3，0，﹣1），，给出下列等式：
①||＝||；
②；
③
④．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（5分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC'的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC与BC1之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（5分）在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．||﹣||＝||是，共线的充要条件
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使λ
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面
D．若{，，}为空间的一个基底，则{，，}构成空间的另一个基底
10．（5分）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BD1
B．A1P的最小值为
C．A1P∥平面ACD1
D．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是[，]
12．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC，侧棱长为3，设P为侧面AA1D1D所在平面内且与D不重合的任意一点，则直线BD1与直线PD所成角的余弦值可能为（ ）
A． B． C． D．
三．填空题（每题5分，4题共20分）
13．（5分）已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，现用基组{，，}表示向量，有xyz，则x，y，z的值分别为 ．
14．（5分）下列关于空间向量的命题中，正确的有 ．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；
②若非零向量，，满足⊥，⊥，则有∥；
③若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．
15．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，PD＝AB＝AD，Q为PC的中点，则直线PC与平面BDQ所成角的正弦值为 ．
16．（5分）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a），则下列结论：
①CN＝ME；
②当a时，ME与CN相交；
③MN始终与平面BCE平行；
④异面直线AC与BF所成的角为45°．
正确的序号是 ．
四．解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，PA＝2．
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点．
（1）证明：直线MN∥平面PAB；
（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB＝AB＝AD＝3，BC＝1．
（1）若点F为PD上一点且PFPD，证明：CF∥平面PAB；
（2）求直线PA与平面BPD所成角的正弦值．
20．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．
（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；
（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．
21．（12分）在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，AA1＝2AB＝2．
（1）求BC到平面ADC1B1的距离；
（2）求二面角B1﹣AD﹣E1的余弦值．
22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，，．
（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若满足BM⊥PC，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（3）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．
第一章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（5分）已知平面α的一个法向量是（2，﹣1，1），α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ）
A．（4，2，﹣2） B．（2，0，4） C．（2，﹣1，﹣5） D．（4，﹣2，2）
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得平面α的法向量与平面β的法向量平行，据此分析选项即可得答案．
【解答】解：根据题意，α∥β，则平面α的法向量与平面β的法向量平行，
依次分析选项：
对于A，（4，2，﹣2）与（2，﹣1，1）不共线，不符合题意；
对于B，（2，0，4）与（2，﹣1，1）不共线，不符合题意；
对于C，（2，﹣2，5）与（2，﹣1，1）不共线，不符合题意；
对于D，（4，﹣2，2）＝2（2，﹣1，1），两个向量共线，可以作为平面β的一个法向量，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查向量的法向量，涉及平面的平行，属于基础题．
2．（5分）若是平面α内的两个向量，则（ ）
A．α内任一向量（λ，μ∈R）
B．若存在λ，μ∈R，使，则λ＝μ＝0
C．若不共线，则空间任一向量（λ，μ∈R）
D．若不共线，则α内任一向量（λ，μ∈R）
【答案】D
【分析】利用特殊向量判断选项A，B，利用平面向量基本定理和空间向量基本定理，即可判断选项C，D．
【解答】解：对于A，若为零向量，为非零向量，则等式不成立，故选项A错误；
对于B，若为零向量，则λ与μ的值不确定，故选项B错误；
对于C，若不共线，则平面内的向量都可以用表示，但是空间向量不行，故选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了向量基本知识的理解，主要考查了平面向量基本定理的理解与应用，要注意特殊情况的分析，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
3．（5分）已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量模的计算公式与二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（﹣1﹣t，t﹣1，﹣t），
∴，当且仅当t＝0时取等号．
∴的最小值是．
故选：A．
【点评】本题考查了向量模的计算公式与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）已知空间三点A（1，0，3），B（﹣1，1，4），C（2，﹣1，3），若，且||，则点P的坐标为（ ）
A．（4，﹣2，2）
B．（﹣2，2，4）
C．（4，﹣2，2）或（﹣2，2，4）
D．（﹣4，2，﹣2）或（2，﹣2，4）
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合共线向量的性质，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：∵B（﹣1，1，4），C（2，﹣1，3），
∴，
∵，
∴可设，
∵，
∴，解得λ＝±1，
∴或，
∴设点P的坐标为（x，y，z），则，
∴或，解得或，
故点P的坐标为（4，﹣2，2）或（﹣2，2，4）．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，以及向量模公式，属于中档题．
5．（5分）已知（1，2，3），（3，0，﹣1），，给出下列等式：
①||＝||；
②；
③
④．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用向量的模的定义，两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，分别计算出每个等式的左右两边的值，考查它们是否相等，从而得到结论．
【解答】解：由题意可得||＝|（，3，）|，
||＝|（，1，）|．由于，故①正确．
由于 （4，2，2） 0，（1，2，3） （，1，）＝0，故②正确．
由于，15+10，故③正确．
由于0 ， 0，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查向量的模，两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，是一道中档题．
6．（5分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC'的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，能求出AC'的长．
【解答】解：，
∴（）2
222
＝1+4+9+0+2×1×3×cos60°+2×2×3×cos60°
＝23，
∴AC'的长为．
故选：B．
【点评】本题考查线段长的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查空间思维能力、运算求解能力，是中档题．
7．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用表示出，计算，开方得出AO的长度．
【解答】解：∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴（）
∴，
∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，
∴4，9，0，3×2×cos60°＝3，
∴（）2（222），
∴||，即AO．
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量在求空间距离中的应用，属于中档题．
8．（5分）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC与BC1之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在AC上任取点M，作MN⊥BC1，设λ，μ，根据⊥得出λ和μ的关系，从而可得||关于μ（或λ）的函数关系，再求出此函数的最小值即可．
【解答】解：设M为直线AC上任意一点，过M作MN⊥BC1，垂足为N，
设λλλ，μμμ，
则（1﹣λ）（μ﹣λ）μ，
，
∵MN⊥BC1，∴0，
即[（1﹣λ）（μ﹣λ）μ] （）＝0，
∴（μ﹣λ）μ0，即μ﹣λ+μ＝0，
∴λ＝2μ，
∴（1﹣2μ）μμ，
∴||，
∴当μ时，||取得最小值，
故直线AC与BC1之间的距离是．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量在求空间距离中的应用，属于中档题．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（5分）在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．||﹣||＝||是，共线的充要条件
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使λ
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面
D．若{，，}为空间的一个基底，则{，，}构成空间的另一个基底
【答案】ABC
【分析】A．||﹣||＝||，可得，共线；反之不成立，即可判断出正误；
B．若，时不成立，即可判断出正误；
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz，x+y+z＝1 P，A，B，C四点共面，即可判断出正误；
D．利用空间向量基底的定义，即可判断出正误．
【解答】解：A．||﹣||＝|| ，共线；反之不成立，若，同向共线，可能是||+||＝||成立，因此||﹣||＝||是，共线的充分不必要条件，因此A不正确；
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使λ，不正确，因为，时不成立，因此B不正确；
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz，x+y+z＝1 P，A，B，C四点共面，因此C不正确；
D．若{，，}为空间的一个基底，则{，，}构成空间的另一个基底，否则其中任意一个向量必然能用另外两个向量线性表示，不妨设x（）+y（），化为x（x+y）y，则y＝1，x＝1，且x+y＝0，矛盾，假设不成立，因此D成立．
故选：ABC．
【点评】本题考查向量共线定理、平面向量基本定理、空间向量基本定理，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用空间向量基本定理，进行验证，对于A，可得，，为共面向量，从而可得M、A、B、C四点共面．
【解答】解：对于A：∵（）（），
∴，
∴，
故，故A，B，C共线，故P，A，B，C共面；
或由得：，，为共面向量，故P，A，B，C共面；
对于B：1，故P，A，B，C共面；
对于C，D，显然不满足，故C，D错误；
故选：AB．
【点评】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BD1
B．A1P的最小值为
C．A1P∥平面ACD1
D．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是[，]
【答案】ABC
【分析】通过证明AC⊥平面BDD1B1判断A选项；B选项，在等边三角形△A1BC1中讨论A1P的长度；根据平面ACD1∥平面A1C1B判断C选项；
D选项，将A1P与AD1所成角转化为A1P与BC1所成角，在等边三角形△A1BC1中讨论．
【解答】解：A选项：因为AC⊥BD，AC⊥DD1，所以AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BD1，说法正确．
B选项：△A1BC1是边长为的等边三角形，当P时线段BC1的中点时，A1P取最小值，说法正确．
C选项：正方体中，平面ACD1∥平面A1C1B，A1P 平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1.说法正确．
D选项：因为BC1∥AD1，所以A1P与AD1所成角即为A1P与BC1所成角．
在等边三角形△A1BC1中，当P时BC1中点时，所成角最大为；当P是BC1的端点时，所成角最小为，说法错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查空间线面位置关系和异面直线夹角，考查逻辑推理能力，空间想象能力，属于中档题．
12．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC，侧棱长为3，设P为侧面AA1D1D所在平面内且与D不重合的任意一点，则直线BD1与直线PD所成角的余弦值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】求出直线BD1与直线PD所成角的范围，然后求解余弦函数值，即可推出结果．
【解答】解：直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC，侧棱长为3，
BD1＝4，AD1＝2，直线BD1与平面AA1D1D所成角的余弦值为；
直线BD1与直线PD所成角[30°，90°]，
∴cosθ∈[0，]，只有BC适合．
故选：BC．
【点评】本题考查空间向量应用、异面直线所成角，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．
三．填空题（每题5分，4题共20分）
13．（5分）已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，现用基组{，，}表示向量，有xyz，则x，y，z的值分别为 ，， ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用向量的三角形法则和共线定理、平行四边形法则即可得出．
【解答】解：如图所示，
∵，，，，，
∴
．
又有xyz，
∴x，．
故答案为：，，．
【点评】本题考查了向量的三角形法则和共线定理、平行四边形法则，属于基础题．
14．（5分）下列关于空间向量的命题中，正确的有 ①③④ ．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；
②若非零向量，，满足⊥，⊥，则有∥；
③若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择．
【解答】解：①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，则∥；故①正确；
②若非零向量，，满足⊥，⊥，则与不确定；故②错误；
③若，，是空间的一组基底，则A，B，C三点不共线，且，由空间向量基本定理得到A，B，C，D四点共面；故③正确；
④若向量，，，是空间一组基底，则空间任何一个向量，存在唯一的实数组（x，y，z），，则，，也是空间的一组基底；故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了空间向量基本定理；理解掌握定理是解答的关键．
15．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，PD＝AB＝AD，Q为PC的中点，则直线PC与平面BDQ所成角的正弦值为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求线面角的公式即可求出．
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设DC＝2，则
，
设平面BDQ的法向量为（x，y，z），
则，即，取x＝1，则（1，﹣1，2），
直线PC与平面BDQ所成角为α，
，
故答案为：．
【点评】本题考查空间角，考查学生的运算能力，属于中档题．
16．（5分）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a），则下列结论：
①CN＝ME；
②当a时，ME与CN相交；
③MN始终与平面BCE平行；
④异面直线AC与BF所成的角为45°．
正确的序号是 ③ ．
【答案】③
【分析】建立空间坐标系，由正方形的边长设点的坐标，求出向量的坐标，及面的法向量的坐标，判断个命题的真假．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，
由正方形ABCD，ABFE的边长1，
所以A（1，0，0），B（0，0，0），C（0，0，1），D（1，0，1），E（0，1，0），F（1，1，0），
CM＝BN＝a，所以M（，0，1），N（，，0），
①CN，
ME，
当a2+1＝a22即a时，CN与ME相等，所以①不正确；
②ME与CN相交时，ME与CN在同一个平面，如图所示，则a，②错误；
③（0，，1），平面BCE的法向量（1，0，0），
所以 0+0+0＝0，所以MN与面BDE平行，故③正确；
④（﹣1，0，1），（1，1，0），
所以cosθ，所以θπ，
所以异面直线AC与BF所成的角为．所以④不正确，
故答案为：③．
【点评】本题考查命题的真假的判断方法及空间向量的应用，属于中档题．
四．解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，PA＝2．
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥PD．
（Ⅱ）求出平面PAC的法向量和平面PBD的法向量，利用向量法能证明平面PBD⊥平面PAC．
【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1
∴（1，1，1），（0，2，﹣2），
∴0，∴AE⊥PD．
（Ⅱ）连接BD，AC，
由已知得BD⊥AC，BD⊥AP，
∵AC∩AP＝A，∴BD⊥平面PAC，
∴平面PAC的法向量（﹣2，2，0），
设平面PBD的法向量（x，y，z），
（2，0，﹣2），（0，2，﹣2），
由题意得，取z＝1，得（1，1，1），
∵0，
∴平面PBD⊥平面PAC．
【点评】本题考查线线垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点．
（1）证明：直线MN∥平面PAB；
（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明过程见解答；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）以A为原点，分别以方向为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，求出平面ABP的一个法向量，通过，得到，即可证明直线MN∥平面PAB．
（Ⅱ）求出平面PCD的法向量，平面PDN的法向量，利用向量法求解二面角C﹣PD﹣N的正弦值即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，以A为原点，分别以方向为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，
由题意，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，3，0），P（0，0，3），M（0，1，2），N（2，1，0）．
显然，是平面ABP的一个法向量，，
故，即，
又因为MN 平面PAB，故直线MN∥平面PAB．
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为，
又，
由，得取z＝2，可得．
由已知，可得．
设平面PDN的法向量为，有，
取z＝1，可得．
所以，
因此．
所以二面角C﹣PD﹣N的正弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理，二面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB＝AB＝AD＝3，BC＝1．
（1）若点F为PD上一点且PFPD，证明：CF∥平面PAB；
（2）求直线PA与平面BPD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）作FH∥AD交PA于点H，连接BH，利用HF∥BC且HF＝BC，证明四边形HFCB为平行四边形，从而得到CF∥BH，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PBD的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
【解答】（1）证明：作FH∥AD交PA于点H，连接BH，
因为PFPD，则HFAD＝1，
又AD∥BC且BC＝1，
则HF∥BC且HF＝BC，
所以四边形HFCB为平行四边形，
故CF∥BH，
又BH 平面PAB，CF 平面PAB，
所以CF∥平面PAB；
（2）解：因为PB⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PB⊥BC，又AD⊥AB
所以AD∥BC，则AB⊥BC，
以点B为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则B（0，0，0），P（0，0，3），D（3，3，0），A（0，3，0），
所以，
设平面PBD的法向量为，
则，即，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝0，
故，
所以，
故直线PA与平面BPD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
20．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．
（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；
（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）推导出AB⊥AA1，AD⊥AA1，AB⊥AD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值．
（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），求出平面B1PQ的法向量，利用向向量能求出AQ．
【解答】解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵AA1⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，∴AB⊥AA1，AD⊥AA1，
∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），
C1（2，1，2），D1（0，2，2），
（﹣2，2，0），（0，1，﹣2），
设平面B1CD1的一个法向量（x，y，z），
则，取x＝2，则（2，2，1），
∵AB⊥平面B1C1C，∴平面B1CC1的一个法向量（2，0，0），
设二面角C1﹣B1C﹣D1的平面角为α，由图形得锐角，
∴二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值为：
cosα．
（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），
∵点P是AD中点，则P（0，1，0），（λ，﹣1，0），（λ﹣2，0，﹣2），
设平面B1PQ的法向量（x'，y'，z'），
则，取x'＝2，得（2，2λ，λ﹣2），
设直线B1C与平面B1PQ所成角大小为β，
∵直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，
∴sinβ，
解得λ＝1或．
∴AQ＝1．
【点评】本题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，AA1＝2AB＝2．
（1）求BC到平面ADC1B1的距离；
（2）求二面角B1﹣AD﹣E1的余弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明BC∥平面ADC1B1，则BC到平面ADC1B1的距离等于点B到平面ADC1B1的距离，然后利用等体积法求解；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面ADB1的一个法向量与平面ADE1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B1﹣AD﹣E1的余弦值．
【解答】解：（1）∵BC∥B1C1，B1C1 平面ADC1B1，BC 平面ADC1B1
∴BC∥平面ADC1B1，则BC到平面ADC1B1的距离等于点B到平面ADC1B1的距离，
在△ADB1中，，AD＝2，，
∴cos∠B1AD，则sin∠B1AD．
可得
而．
设点B到平面ADC1B1的距离为h，
则有，即，
解得h．
∴BC到平面ADC1B1的距离为；
（2）如图建立空间直角坐标系，
可得A（1，0，0），D（﹣1，0，0），，E1（，，2）
，，，
设平面ADB1的一个法向量为，
由，取，得；
设平面ADE1的一个法向量为，
由，取，得．
∴cos．
由图可知，二面角B1﹣AD﹣E1的平面角为锐角，
∴二面角B1﹣AD﹣E1的余弦值为．
【点评】本题考查空间中的点、线、面间的距离计算，训练了利用空间向量求解空间角，考查运算求解能力，是中档题．
22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，，．
（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若满足BM⊥PC，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（3）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明QB⊥AD，根据平面PAD⊥平面ABCD可得BQ⊥平面PAD，即可证明平面MQB⊥平面PAD；
（2）确定PQ⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，求出，利用向量的夹角公式求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（3）根据二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，利用向量的夹角公式，即可求QM的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BCAD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，
∴CD∥BQ． …（1分）
∵∠ADC＝90°∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD＝AD，…（2分）
∴BQ⊥平面PAD． …（3分）
∵BQ 平面MQB，
∴平面MQB⊥平面PAD． …（4分）
（2）解：∵PA＝PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PQ⊥平面ABCD． …（5分）
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，
由 ，且0≤λ≤1，得
∵BM⊥PC，
∴（6分）
∴
设异面直线AP与BM所成角为θ，则cosθ（9分）
∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为（10分），
（3）解：由（2）知平面BQC的法向量为（11分）
由且0≤λ≤1，得M（﹣λ，，）
∴，又，
∴平面MBQ法向量为（λ，0，1﹣λ）． …（13分）
∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，
∴．∴|QM|（15分）
【点评】本题考查平面与平面垂直，考查异面直线AP与BM所成角的余弦值，考查二面角大小的确定，考查向量知识的运用，综合性强．
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第一章 空间向量与立体几何
一．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（5分）已知平面α的一个法向量是（2，﹣1，1），α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ）
A．（4，2，﹣2） B．（2，0，4） C．（2，﹣1，﹣5） D．（4，﹣2，2）
2．（5分）若是平面α内的两个向量，则（ ）
A．α内任一向量（λ，μ∈R）
B．若存在λ，μ∈R，使，则λ＝μ＝0
C．若不共线，则空间任一向量（λ，μ∈R）
D．若不共线，则α内任一向量（λ，μ∈R）
3．（5分）已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知空间三点A（1，0，3），B（﹣1，1，4），C（2，﹣1，3），若，且||，则点P的坐标为（ ）
A．（4，﹣2，2）
B．（﹣2，2，4）
C．（4，﹣2，2）或（﹣2，2，4）
D．（﹣4，2，﹣2）或（2，﹣2，4）
5．（5分）已知（1，2，3），（3，0，﹣1），，给出下列等式：
①||＝||；
②；
③
④．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（5分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC'的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC与BC1之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（5分）在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．||﹣||＝||是，共线的充要条件
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使λ
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面
D．若{，，}为空间的一个基底，则{，，}构成空间的另一个基底
10．（5分）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BD1
B．A1P的最小值为
C．A1P∥平面ACD1
D．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是[，]
12．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC，侧棱长为3，设P为侧面AA1D1D所在平面内且与D不重合的任意一点，则直线BD1与直线PD所成角的余弦值可能为（ ）
A． B． C． D．
三．填空题（每题5分，4题共20分）
13．（5分）已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，现用基组{，，}表示向量，有xyz，则x，y，z的值分别为 ．
14．（5分）下列关于空间向量的命题中，正确的有 ．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；
②若非零向量，，满足⊥，⊥，则有∥；
③若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．
15．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，PD＝AB＝AD，Q为PC的中点，则直线PC与平面BDQ所成角的正弦值为 ．
16．（5分）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a），则下列结论：
①CN＝ME；
②当a时，ME与CN相交；
③MN始终与平面BCE平行；
④异面直线AC与BF所成的角为45°．
正确的序号是 ．
四．解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，PA＝2．
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点．
（1）证明：直线MN∥平面PAB；
（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB＝AB＝AD＝3，BC＝1．
（1）若点F为PD上一点且PFPD，证明：CF∥平面PAB；
（2）求直线PA与平面BPD所成角的正弦值．
20．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．
（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；
（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．
21．（12分）在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，AA1＝2AB＝2．
（1）求BC到平面ADC1B1的距离；
（2）求二面角B1﹣AD﹣E1的余弦值．
22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，，．
（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若满足BM⊥PC，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（3）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．
第一章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（5分）已知平面α的一个法向量是（2，﹣1，1），α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ）
A．（4，2，﹣2） B．（2，0，4） C．（2，﹣1，﹣5） D．（4，﹣2，2）
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得平面α的法向量与平面β的法向量平行，据此分析选项即可得答案．
【解答】解：根据题意，α∥β，则平面α的法向量与平面β的法向量平行，
依次分析选项：
对于A，（4，2，﹣2）与（2，﹣1，1）不共线，不符合题意；
对于B，（2，0，4）与（2，﹣1，1）不共线，不符合题意；
对于C，（2，﹣2，5）与（2，﹣1，1）不共线，不符合题意；
对于D，（4，﹣2，2）＝2（2，﹣1，1），两个向量共线，可以作为平面β的一个法向量，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查向量的法向量，涉及平面的平行，属于基础题．
2．（5分）若是平面α内的两个向量，则（ ）
A．α内任一向量（λ，μ∈R）
B．若存在λ，μ∈R，使，则λ＝μ＝0
C．若不共线，则空间任一向量（λ，μ∈R）
D．若不共线，则α内任一向量（λ，μ∈R）
【答案】D
【分析】利用特殊向量判断选项A，B，利用平面向量基本定理和空间向量基本定理，即可判断选项C，D．
【解答】解：对于A，若为零向量，为非零向量，则等式不成立，故选项A错误；
对于B，若为零向量，则λ与μ的值不确定，故选项B错误；
对于C，若不共线，则平面内的向量都可以用表示，但是空间向量不行，故选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了向量基本知识的理解，主要考查了平面向量基本定理的理解与应用，要注意特殊情况的分析，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
3．（5分）已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量模的计算公式与二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（﹣1﹣t，t﹣1，﹣t），
∴，当且仅当t＝0时取等号．
∴的最小值是．
故选：A．
【点评】本题考查了向量模的计算公式与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）已知空间三点A（1，0，3），B（﹣1，1，4），C（2，﹣1，3），若，且||，则点P的坐标为（ ）
A．（4，﹣2，2）
B．（﹣2，2，4）
C．（4，﹣2，2）或（﹣2，2，4）
D．（﹣4，2，﹣2）或（2，﹣2，4）
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合共线向量的性质，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：∵B（﹣1，1，4），C（2，﹣1，3），
∴，
∵，
∴可设，
∵，
∴，解得λ＝±1，
∴或，
∴设点P的坐标为（x，y，z），则，
∴或，解得或，
故点P的坐标为（4，﹣2，2）或（﹣2，2，4）．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，以及向量模公式，属于中档题．
5．（5分）已知（1，2，3），（3，0，﹣1），，给出下列等式：
①||＝||；
②；
③
④．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用向量的模的定义，两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，分别计算出每个等式的左右两边的值，考查它们是否相等，从而得到结论．
【解答】解：由题意可得||＝|（，3，）|，
||＝|（，1，）|．由于，故①正确．
由于 （4，2，2） 0，（1，2，3） （，1，）＝0，故②正确．
由于，15+10，故③正确．
由于0 ， 0，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查向量的模，两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，是一道中档题．
6．（5分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC'的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，能求出AC'的长．
【解答】解：，
∴（）2
222
＝1+4+9+0+2×1×3×cos60°+2×2×3×cos60°
＝23，
∴AC'的长为．
故选：B．
【点评】本题考查线段长的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查空间思维能力、运算求解能力，是中档题．
7．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用表示出，计算，开方得出AO的长度．
【解答】解：∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴（）
∴，
∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，
∴4，9，0，3×2×cos60°＝3，
∴（）2（222），
∴||，即AO．
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量在求空间距离中的应用，属于中档题．
8．（5分）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC与BC1之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在AC上任取点M，作MN⊥BC1，设λ，μ，根据⊥得出λ和μ的关系，从而可得||关于μ（或λ）的函数关系，再求出此函数的最小值即可．
【解答】解：设M为直线AC上任意一点，过M作MN⊥BC1，垂足为N，
设λλλ，μμμ，
则（1﹣λ）（μ﹣λ）μ，
，
∵MN⊥BC1，∴0，
即[（1﹣λ）（μ﹣λ）μ] （）＝0，
∴（μ﹣λ）μ0，即μ﹣λ+μ＝0，
∴λ＝2μ，
∴（1﹣2μ）μμ，
∴||，
∴当μ时，||取得最小值，
故直线AC与BC1之间的距离是．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量在求空间距离中的应用，属于中档题．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（5分）在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．||﹣||＝||是，共线的充要条件
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使λ
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面
D．若{，，}为空间的一个基底，则{，，}构成空间的另一个基底
【答案】ABC
【分析】A．||﹣||＝||，可得，共线；反之不成立，即可判断出正误；
B．若，时不成立，即可判断出正误；
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz，x+y+z＝1 P，A，B，C四点共面，即可判断出正误；
D．利用空间向量基底的定义，即可判断出正误．
【解答】解：A．||﹣||＝|| ，共线；反之不成立，若，同向共线，可能是||+||＝||成立，因此||﹣||＝||是，共线的充分不必要条件，因此A不正确；
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使λ，不正确，因为，时不成立，因此B不正确；
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz，x+y+z＝1 P，A，B，C四点共面，因此C不正确；
D．若{，，}为空间的一个基底，则{，，}构成空间的另一个基底，否则其中任意一个向量必然能用另外两个向量线性表示，不妨设x（）+y（），化为x（x+y）y，则y＝1，x＝1，且x+y＝0，矛盾，假设不成立，因此D成立．
故选：ABC．
【点评】本题考查向量共线定理、平面向量基本定理、空间向量基本定理，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用空间向量基本定理，进行验证，对于A，可得，，为共面向量，从而可得M、A、B、C四点共面．
【解答】解：对于A：∵（）（），
∴，
∴，
故，故A，B，C共线，故P，A，B，C共面；
或由得：，，为共面向量，故P，A，B，C共面；
对于B：1，故P，A，B，C共面；
对于C，D，显然不满足，故C，D错误；
故选：AB．
【点评】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BD1
B．A1P的最小值为
C．A1P∥平面ACD1
D．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是[，]
【答案】ABC
【分析】通过证明AC⊥平面BDD1B1判断A选项；B选项，在等边三角形△A1BC1中讨论A1P的长度；根据平面ACD1∥平面A1C1B判断C选项；
D选项，将A1P与AD1所成角转化为A1P与BC1所成角，在等边三角形△A1BC1中讨论．
【解答】解：A选项：因为AC⊥BD，AC⊥DD1，所以AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BD1，说法正确．
B选项：△A1BC1是边长为的等边三角形，当P时线段BC1的中点时，A1P取最小值，说法正确．
C选项：正方体中，平面ACD1∥平面A1C1B，A1P 平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1.说法正确．
D选项：因为BC1∥AD1，所以A1P与AD1所成角即为A1P与BC1所成角．
在等边三角形△A1BC1中，当P时BC1中点时，所成角最大为；当P是BC1的端点时，所成角最小为，说法错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查空间线面位置关系和异面直线夹角，考查逻辑推理能力，空间想象能力，属于中档题．
12．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC，侧棱长为3，设P为侧面AA1D1D所在平面内且与D不重合的任意一点，则直线BD1与直线PD所成角的余弦值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】求出直线BD1与直线PD所成角的范围，然后求解余弦函数值，即可推出结果．
【解答】解：直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC，侧棱长为3，
BD1＝4，AD1＝2，直线BD1与平面AA1D1D所成角的余弦值为；
直线BD1与直线PD所成角[30°，90°]，
∴cosθ∈[0，]，只有BC适合．
故选：BC．
【点评】本题考查空间向量应用、异面直线所成角，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．
三．填空题（每题5分，4题共20分）
13．（5分）已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，现用基组{，，}表示向量，有xyz，则x，y，z的值分别为 ，， ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用向量的三角形法则和共线定理、平行四边形法则即可得出．
【解答】解：如图所示，
∵，，，，，
∴
．
又有xyz，
∴x，．
故答案为：，，．
【点评】本题考查了向量的三角形法则和共线定理、平行四边形法则，属于基础题．
14．（5分）下列关于空间向量的命题中，正确的有 ①③④ ．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；
②若非零向量，，满足⊥，⊥，则有∥；
③若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择．
【解答】解：①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，则∥；故①正确；
②若非零向量，，满足⊥，⊥，则与不确定；故②错误；
③若，，是空间的一组基底，则A，B，C三点不共线，且，由空间向量基本定理得到A，B，C，D四点共面；故③正确；
④若向量，，，是空间一组基底，则空间任何一个向量，存在唯一的实数组（x，y，z），，则，，也是空间的一组基底；故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了空间向量基本定理；理解掌握定理是解答的关键．
15．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，PD＝AB＝AD，Q为PC的中点，则直线PC与平面BDQ所成角的正弦值为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求线面角的公式即可求出．
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设DC＝2，则
，
设平面BDQ的法向量为（x，y，z），
则，即，取x＝1，则（1，﹣1，2），
直线PC与平面BDQ所成角为α，
，
故答案为：．
【点评】本题考查空间角，考查学生的运算能力，属于中档题．
16．（5分）如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a），则下列结论：
①CN＝ME；
②当a时，ME与CN相交；
③MN始终与平面BCE平行；
④异面直线AC与BF所成的角为45°．
正确的序号是 ③ ．
【答案】③
【分析】建立空间坐标系，由正方形的边长设点的坐标，求出向量的坐标，及面的法向量的坐标，判断个命题的真假．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，
由正方形ABCD，ABFE的边长1，
所以A（1，0，0），B（0，0，0），C（0，0，1），D（1，0，1），E（0，1，0），F（1，1，0），
CM＝BN＝a，所以M（，0，1），N（，，0），
①CN，
ME，
当a2+1＝a22即a时，CN与ME相等，所以①不正确；
②ME与CN相交时，ME与CN在同一个平面，如图所示，则a，②错误；
③（0，，1），平面BCE的法向量（1，0，0），
所以 0+0+0＝0，所以MN与面BDE平行，故③正确；
④（﹣1，0，1），（1，1，0），
所以cosθ，所以θπ，
所以异面直线AC与BF所成的角为．所以④不正确，
故答案为：③．
【点评】本题考查命题的真假的判断方法及空间向量的应用，属于中档题．
四．解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，PA＝2．
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥PD．
（Ⅱ）求出平面PAC的法向量和平面PBD的法向量，利用向量法能证明平面PBD⊥平面PAC．
【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1
∴（1，1，1），（0，2，﹣2），
∴0，∴AE⊥PD．
（Ⅱ）连接BD，AC，
由已知得BD⊥AC，BD⊥AP，
∵AC∩AP＝A，∴BD⊥平面PAC，
∴平面PAC的法向量（﹣2，2，0），
设平面PBD的法向量（x，y，z），
（2，0，﹣2），（0，2，﹣2），
由题意得，取z＝1，得（1，1，1），
∵0，
∴平面PBD⊥平面PAC．
【点评】本题考查线线垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点．
（1）证明：直线MN∥平面PAB；
（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明过程见解答；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）以A为原点，分别以方向为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，求出平面ABP的一个法向量，通过，得到，即可证明直线MN∥平面PAB．
（Ⅱ）求出平面PCD的法向量，平面PDN的法向量，利用向量法求解二面角C﹣PD﹣N的正弦值即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，以A为原点，分别以方向为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，
由题意，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，3，0），P（0，0，3），M（0，1，2），N（2，1，0）．
显然，是平面ABP的一个法向量，，
故，即，
又因为MN 平面PAB，故直线MN∥平面PAB．
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为，
又，
由，得取z＝2，可得．
由已知，可得．
设平面PDN的法向量为，有，
取z＝1，可得．
所以，
因此．
所以二面角C﹣PD﹣N的正弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理，二面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB＝AB＝AD＝3，BC＝1．
（1）若点F为PD上一点且PFPD，证明：CF∥平面PAB；
（2）求直线PA与平面BPD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）作FH∥AD交PA于点H，连接BH，利用HF∥BC且HF＝BC，证明四边形HFCB为平行四边形，从而得到CF∥BH，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PBD的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
【解答】（1）证明：作FH∥AD交PA于点H，连接BH，
因为PFPD，则HFAD＝1，
又AD∥BC且BC＝1，
则HF∥BC且HF＝BC，
所以四边形HFCB为平行四边形，
故CF∥BH，
又BH 平面PAB，CF 平面PAB，
所以CF∥平面PAB；
（2）解：因为PB⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PB⊥BC，又AD⊥AB
所以AD∥BC，则AB⊥BC，
以点B为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则B（0，0，0），P（0，0，3），D（3，3，0），A（0，3，0），
所以，
设平面PBD的法向量为，
则，即，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝0，
故，
所以，
故直线PA与平面BPD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
20．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．
（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；
（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）推导出AB⊥AA1，AD⊥AA1，AB⊥AD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值．
（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），求出平面B1PQ的法向量，利用向向量能求出AQ．
【解答】解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵AA1⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，∴AB⊥AA1，AD⊥AA1，
∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），
C1（2，1，2），D1（0，2，2），
（﹣2，2，0），（0，1，﹣2），
设平面B1CD1的一个法向量（x，y，z），
则，取x＝2，则（2，2，1），
∵AB⊥平面B1C1C，∴平面B1CC1的一个法向量（2，0，0），
设二面角C1﹣B1C﹣D1的平面角为α，由图形得锐角，
∴二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值为：
cosα．
（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），
∵点P是AD中点，则P（0，1，0），（λ，﹣1，0），（λ﹣2，0，﹣2），
设平面B1PQ的法向量（x'，y'，z'），
则，取x'＝2，得（2，2λ，λ﹣2），
设直线B1C与平面B1PQ所成角大小为β，
∵直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，
∴sinβ，
解得λ＝1或．
∴AQ＝1．
【点评】本题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，AA1＝2AB＝2．
（1）求BC到平面ADC1B1的距离；
（2）求二面角B1﹣AD﹣E1的余弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明BC∥平面ADC1B1，则BC到平面ADC1B1的距离等于点B到平面ADC1B1的距离，然后利用等体积法求解；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面ADB1的一个法向量与平面ADE1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B1﹣AD﹣E1的余弦值．
【解答】解：（1）∵BC∥B1C1，B1C1 平面ADC1B1，BC 平面ADC1B1
∴BC∥平面ADC1B1，则BC到平面ADC1B1的距离等于点B到平面ADC1B1的距离，
在△ADB1中，，AD＝2，，
∴cos∠B1AD，则sin∠B1AD．
可得
而．
设点B到平面ADC1B1的距离为h，
则有，即，
解得h．
∴BC到平面ADC1B1的距离为；
（2）如图建立空间直角坐标系，
可得A（1，0，0），D（﹣1，0，0），，E1（，，2）
，，，
设平面ADB1的一个法向量为，
由，取，得；
设平面ADE1的一个法向量为，
由，取，得．
∴cos．
由图可知，二面角B1﹣AD﹣E1的平面角为锐角，
∴二面角B1﹣AD﹣E1的余弦值为．
【点评】本题考查空间中的点、线、面间的距离计算，训练了利用空间向量求解空间角，考查运算求解能力，是中档题．
22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，，．
（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若满足BM⊥PC，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（3）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明QB⊥AD，根据平面PAD⊥平面ABCD可得BQ⊥平面PAD，即可证明平面MQB⊥平面PAD；
（2）确定PQ⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，求出，利用向量的夹角公式求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（3）根据二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，利用向量的夹角公式，即可求QM的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BCAD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，
∴CD∥BQ． …（1分）
∵∠ADC＝90°∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD＝AD，…（2分）
∴BQ⊥平面PAD． …（3分）
∵BQ 平面MQB，
∴平面MQB⊥平面PAD． …（4分）
（2）解：∵PA＝PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PQ⊥平面ABCD． …（5分）
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，
由 ，且0≤λ≤1，得
∵BM⊥PC，
∴（6分）
∴
设异面直线AP与BM所成角为θ，则cosθ（9分）
∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为（10分），
（3）解：由（2）知平面BQC的法向量为（11分）
由且0≤λ≤1，得M（﹣λ，，）
∴，又，
∴平面MBQ法向量为（λ，0，1﹣λ）． …（13分）
∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，
∴．∴|QM|（15分）
【点评】本题考查平面与平面垂直，考查异面直线AP与BM所成角的余弦值，考查二面角大小的确定，考查向量知识的运用，综合性强．
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