第二章 直线与圆的方程（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册
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| 名称 | 第二章 直线与圆的方程（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 188.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 17:31:50 | ||
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文档简介
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第二章 直线与圆的方程
一、选择题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
2．过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（ ）
A．2x+y﹣1＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y+7＝0
3．若方程x2+y2﹣2y﹣m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣1，+∞）
4．圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣6x+8y+9＝0的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
5．若直线l与直线y＝2，x＝4分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），则直线l的斜率为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．2
7．过点P（﹣2，4）作圆O：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25的切线l，直线m：ax﹣3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
8．已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（） D．（）
9．△ABC的三个顶点是A（0，3），B（3，3），C（2，0），直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
二、多选题
11．已知点A（u+2，0），B（﹣u，0），若圆C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝9上存在唯一的一点P，使得PA⊥PB，则u的值可能为（ ）
A．﹣9 B．﹣5 C．1 D．7
三、填空题
12．经过两条直线3x+4y﹣2＝0与2x+y+2＝0的交点，且垂直于直线3x﹣2y+4＝0的直线方程为 ．
13．经过原点的直线l与圆C：x2+（y﹣4）2＝4有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 ．
14．已知点P（2，﹣3），Q（3，2），直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是 ．
15．在直角坐标系中，定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现有下列命题：
①若P，Q是x轴上两点，则d（P，Q）＝|x1﹣x2|；
②已知P（1，3），Q（sin2a，cos2a）（a∈R），则d（P，Q）为定值；
③原点O到直线x﹣y+1＝0上任一点P的直角距离d（O，P）的最小值为；
④设A（x，y）且x∈Z，y∈Z，若点A是在过P（1，3）与Q（5，7）的直线上，且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A只有5个．
其中的真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
四、解答题
16．已知直线l经过点（0，﹣2），其倾斜角的大小是60°．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
17．如图，现要在矩形花园ABCD中铺两条笔直的小路，已知AD＝5m，AB＝3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D．如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？
18．已知直线l经过点P（2，1），与直线x+2y﹣3＝0和2x+y﹣6＝0分别交于A，B两点，而且线段AB被点P平分．
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C的圆心在l上，与直线4x+3y+14＝0相切，且直线3x+4y+10＝0被此圆截得弦长为6，试求圆C的方程．
19．在△ABC中，边BC上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0．若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．
第二章 直线与圆的方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【答案】B
【分析】先求出直线的斜率，然后结合斜率与倾斜角关系即可求解．
【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，
直线即，
其斜率，则有，
又由0°≤θ＜180°，则θ＝120°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
2．过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（ ）
A．2x+y﹣1＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y+7＝0
【答案】A
【分析】根据题意，易得直线x﹣2y+3＝0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．
【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3＝0的斜率为，
由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，
又知其过点（﹣1，3），
由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1＝0．
故选：A．
【点评】本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．
3．若方程x2+y2﹣2y﹣m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣1，+∞）
【答案】D
【分析】将方程化为标准式即可计算求解．
【解答】解：方程x2+y2﹣2y﹣m＝0可变形为x2+（y﹣1）2＝m+1，
因为方程表示圆，则m+1＞0，
所以m＞﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．
4．圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣6x+8y+9＝0的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【分析】把第二个圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r，再由第一个圆的方程找出圆心B的坐标和半径R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，发现d＝R+r，从而判断出两圆位置关系是外切．
【解答】解：把圆x2+y2﹣6x+8y+9＝0化为标准方程得：（x﹣3）2+（y+4）2＝16，
∴圆心A的坐标为（3，﹣4），半径r＝4，
由圆x2+y2＝4，得到圆心B坐标为（0，0），半径R＝2，
两圆心间的距离d＝|AB|5，
∵2+4＝6，4﹣2＝2，即R﹣r＜d＜R+r，
则两圆的位置关系是相交．
故选：B．
【点评】此题考查了圆的标准方程，两点间的基本公式，以及圆与圆位置关系的判断，圆与圆位置关系的判断方法为：当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d＝R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d＝R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆相离（d表示两圆心间的距离，R及r分别表示两圆的半径）．
5．若直线l与直线y＝2，x＝4分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），则直线l的斜率为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式可得P，Q，再利用斜率的计算公式即可得出．
【解答】解：设P（x，2），Q（4，y）．
∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），
∴，解得x＝﹣2，y＝﹣4．
∴P（﹣2，2），Q（4，﹣4）
∴直线l的斜率1．
故选：B．
【点评】本题考查了中点坐标公式、斜率的计算公式，属于基础题．
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2﹣4y＝0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．
【解答】解：将圆x2+y2﹣4y＝0的方程可以转化为：
x2+（y﹣2）2＝4，
即圆的圆心为A（0，2），半径为R＝2，
∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，
∴ON，
∴弦长2，
故选：D．
【点评】要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解．
7．过点P（﹣2，4）作圆O：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25的切线l，直线m：ax﹣3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】判断P在圆O上，求出直线OP的斜率，确定出切线l的斜率，求出l的方程，根据直线m与直线l平行，利用平行线的距离公式求出l与m的距离即可．
【解答】解：将P（﹣2，4）代入圆方程左边得：42+32＝16+9＝25，左边＝右边，即P在圆O上，
∵直线OP的斜率为，
∴切线l的斜率为，即直线l方程为y﹣4（x+2），
整理得：4x﹣3y+20＝0，
∵直线m：ax﹣3y＝0与直线l平行，
∴，即a＝4，
∴直线m方程为4x﹣3y＝0，即4x﹣3y＝0，
则直线l与m的距离为4．
故选：A．
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，圆的切线方程，两直线平行时斜率满足的关系，点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键．
8．已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（） D．（）
【答案】B
【分析】利用对称知识得到点B（2，2）关于x轴的对称点为B′，连接AB′，根据B′和A的坐标求得直线AB′的方程，求出它与x轴交点坐标即为M的坐标．
【解答】解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，
与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短，
由B与B′关于x轴对称，B（2，2），
所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），
则直线AB′的方程为y+2（x﹣2）
化简得：y＝﹣2x+2，令y＝0，解得x＝1，所以M（1，0）
故选：B．
【点评】此题考查学生灵活运用对称的性质解决实际问题，会求直线与x轴的交点坐标，是一道中档题．
9．△ABC的三个顶点是A（0，3），B（3，3），C（2，0），直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出AC所在的直线方程，再联立方程x＝a求出E点的坐标，进而得出DE和AD的长，再由三角形的面积即可得出a的值．
【解答】解：AC所在的直线方程为yx+3，
直线x＝a与AB交于D，与AC交于E，
则S△ADES△ABC，
E点的坐标为（a，3）
∴DE＝3﹣（3），
AD＝a，∴由S△ADEa
解得：a
故选：A．
【点评】此题考查了两直线的交点坐标，求出S△ADE是解题的关键，属于中档题．
10．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】D
【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y＝0的圆心（0，1），半径是r＝1，
由圆的性质知：S四边形PACB＝2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，
∴S△PBC的最小值＝1rd（d是切线长）∴d最小值＝2
圆心到直线的距离就是PC的最小值，
∵k＞0，∴k＝2
故选：D．
【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．
二、多选题
11．已知点A（u+2，0），B（﹣u，0），若圆C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝9上存在唯一的一点P，使得PA⊥PB，则u的值可能为（ ）
A．﹣9 B．﹣5 C．1 D．7
【答案】ACD
【分析】由题意P在以N为圆心，|u+1|为半径的圆上，根据题意该圆与圆C只有一个公共点，由两圆的位置关系可得答案．
【解答】解：因为AB的中点为定点N（1，0），|AB|＝2|u+1|，且PA⊥PB，
所以P在以N为圆心，|u+1|为半径的圆N上，
依题意可得圆N与圆C只有一个公共点，则两圆外切或内切，
则|NC|或|NC|，
解得u＝﹣9，﹣3，1，7．
故答案为：ACD．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题．
三、填空题
12．经过两条直线3x+4y﹣2＝0与2x+y+2＝0的交点，且垂直于直线3x﹣2y+4＝0的直线方程为 2x+3y﹣2＝0 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】联立方程可得交点坐标，由垂直关系可得斜率，由点斜式可得方程，化为一般式即可．
【解答】解：联立，解得，
即两直线的交点为（﹣2，2），又直线垂直于3x﹣2y+4＝0，
故所求直线的斜率为，故方程为y﹣2（x+2），
化为一般式可得：2x+3y﹣2＝0，
故答案为：2x+3y﹣2＝0
【点评】本题考查直线的交点以及直线的垂直关系，属基础题．
13．经过原点的直线l与圆C：x2+（y﹣4）2＝4有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 （] ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可得直线与圆相切或相交，利用点到直线的距离公式建立不等式，即可求得结论．
【解答】解：设直线L：y＝kx即kx﹣y＝0
由直线与圆C：x2+（y﹣4）2＝4有公共点，即直线与圆相切或相交
∴2
∴k2≥3
∴k或k
故答案为：（]
【点评】本题主要考查了直线与圆相切及相交的性质的应用，解题的关键是利用点到直线的距离与半径的比较．
14．已知点P（2，﹣3），Q（3，2），直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别求出直线MQ、MP的斜率，进而即可求出直线MN的斜率的取值范围．
【解答】解：画出图象
∵，
．
要使直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，
则满足．
∴，
∴．
故答案为．
【点评】正确理解直线相交于直线的斜率的关系是解题的关键．
15．在直角坐标系中，定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现有下列命题：
①若P，Q是x轴上两点，则d（P，Q）＝|x1﹣x2|；
②已知P（1，3），Q（sin2a，cos2a）（a∈R），则d（P，Q）为定值；
③原点O到直线x﹣y+1＝0上任一点P的直角距离d（O，P）的最小值为；
④设A（x，y）且x∈Z，y∈Z，若点A是在过P（1，3）与Q（5，7）的直线上，且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A只有5个．
其中的真命题是 ①②④ ．（写出所有真命题的序号）
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．
【解答】解：①若P，Q是x轴上两点，则y1＝y2＝0，所以d（P，Q）＝|x1﹣x2|，正确；
②已知P（1，3），Q（sin2a，cos2a）（a∈R），则d（P，Q）＝|1﹣sin2a|+|3﹣cos2a|＝cos2a+2+sin2a＝3为定值，正确；
③设P（x，y），O（0，0），则d（0，P）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|x|+|y|＝|x|+|x+1|，表示数轴上的x到1和0的距离之和，其最小值为1，故不正确；
④过P（1，3）与Q（5，7）的直线方程为y＝x+2，点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，则|x﹣1|+|y﹣3|+|x﹣5|+|y﹣7|＝2|x﹣1|+2|x﹣5|＝8，所以|x﹣1|+|x﹣5|＝4，所以1≤x≤5，因为x∈Z，所以x＝1，2，3，4，5，所以满足条件的点A只有5个，正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查两点之间的“直角距离”的定义，绝对值的意义，关键是明确P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”的含义．
四、解答题
16．已知直线l经过点（0，﹣2），其倾斜角的大小是60°．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）由已知中直线l的倾斜角可得其斜率，再由直线l经过点（0，﹣2），可得直线的点斜式方程，化为一般式可得答案．
（2）由（1）中直线l的方程，可得直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式可得答案．
【解答】解：（1）因为直线l的倾斜角的大小为60°，
故其斜率为，
又直线l经过点（0，﹣2），所以其方程为y﹣（﹣2）x
即．…（3分）
（2）由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是、﹣2，
所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积
．…（8分）
【点评】本题考查的知识点是直线的点斜式方程，其中根据直线l经过点（0，﹣2），结合直线的斜率，求出直线方程是解答的关键．
17．如图，现要在矩形花园ABCD中铺两条笔直的小路，已知AD＝5m，AB＝3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D．如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？
【答案】当m 时，使得两条小路AC与DM相互垂直．
【分析】以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，再结合两直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示平面直角坐标系，
∵AD＝5m，AB＝3m，
∴C（5，0），D（5，3），A（0，3），
设M（x，0），
∵AC⊥DM，由图可得，直线AC，DM的斜率都存在，
∴kAC kDM＝﹣1，即，解得x，即m 时，使得两条小路AC与DM相互垂直．
故当m 时，使得两条小路AC与DM相互垂直．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查两直线垂直的性质，属于基础题．
18．已知直线l经过点P（2，1），与直线x+2y﹣3＝0和2x+y﹣6＝0分别交于A，B两点，而且线段AB被点P平分．
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C的圆心在l上，与直线4x+3y+14＝0相切，且直线3x+4y+10＝0被此圆截得弦长为6，试求圆C的方程．
【答案】（1）x﹣y﹣1＝0；
（2）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25．
【分析】（1）设A（m，n），B（4﹣m，2﹣n），分别代入直线x+2y﹣3＝0和2x+y﹣6＝0，求出A点坐标，利用两点式方程能求出直线l的方程．
（2）设圆C（x，x﹣1），利用点到直线的距离公式圆心到直线距离d＝R和圆心C（x，x﹣1）到直线3x+4y+10＝0距离d1，由直线3x+4y+10＝0被此圆截得弦长为6，利用勾股定理能求出半径和圆心，由此能求出圆C的方程．
【解答】解：（1）∵直线l经过点P（2，1），与直线x+2y﹣3＝0和2x+y﹣6＝0分别交于A，B两点，而且线段AB被点P平分，
∴设A（m，n），B（4﹣m，2﹣n），
则，
解得m，n，
∴A（，），∵直线l过A（，），P（2，1），
∴直线l的方程为：，
整理，得x﹣y﹣1＝0．
（2）∵圆C的圆心在直线L1：x﹣y﹣1＝0上
∴设C（x，x﹣1），
∵圆C与直线4x+3y+14＝0相切，∴圆心到直线距离d＝R，
∴R，
圆心C（x，x﹣1）到直线3x+4y+10＝0距离：
d1，
∵直线3x+4y+10＝0被此圆截得弦长为6，
∴（）2+（）2＝（）2，
解得x＝2，∴R2＝（）2＝25，圆心C（2，1）
∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25．
【点评】本题考查直线方程和圆的方程的求法，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．
19．在△ABC中，边BC上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0．若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．
【答案】A（﹣1，0）；∴C（5，﹣6）．
【分析】联立方程可得，解得方程，得到A点坐标，分别求出直线BC和直线AC的方程，再求出点C的坐标．
【解答】解：联立方程可得，
解得x＝﹣1，y＝0，∴A（﹣1，0），
∵边BC上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，
∴直线BC的方程的斜率k＝﹣2，
∴直线BC的方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣4＝0，
∵kAB1，
∵∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，∴kAC＝﹣1，
∴直线AC的方程为y＝﹣（x+1），即x+y+1＝0，
联立，解得x＝5，y＝﹣6，
∴C（5，﹣6）．
【点评】本题考查了直线与直线的垂直，直线的斜率，属于基础题．
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第二章 直线与圆的方程
一、选择题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
2．过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（ ）
A．2x+y﹣1＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y+7＝0
3．若方程x2+y2﹣2y﹣m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣1，+∞）
4．圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣6x+8y+9＝0的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
5．若直线l与直线y＝2，x＝4分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），则直线l的斜率为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．2
7．过点P（﹣2，4）作圆O：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25的切线l，直线m：ax﹣3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
8．已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（） D．（）
9．△ABC的三个顶点是A（0，3），B（3，3），C（2，0），直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
二、多选题
11．已知点A（u+2，0），B（﹣u，0），若圆C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝9上存在唯一的一点P，使得PA⊥PB，则u的值可能为（ ）
A．﹣9 B．﹣5 C．1 D．7
三、填空题
12．经过两条直线3x+4y﹣2＝0与2x+y+2＝0的交点，且垂直于直线3x﹣2y+4＝0的直线方程为 ．
13．经过原点的直线l与圆C：x2+（y﹣4）2＝4有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 ．
14．已知点P（2，﹣3），Q（3，2），直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是 ．
15．在直角坐标系中，定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现有下列命题：
①若P，Q是x轴上两点，则d（P，Q）＝|x1﹣x2|；
②已知P（1，3），Q（sin2a，cos2a）（a∈R），则d（P，Q）为定值；
③原点O到直线x﹣y+1＝0上任一点P的直角距离d（O，P）的最小值为；
④设A（x，y）且x∈Z，y∈Z，若点A是在过P（1，3）与Q（5，7）的直线上，且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A只有5个．
其中的真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
四、解答题
16．已知直线l经过点（0，﹣2），其倾斜角的大小是60°．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
17．如图，现要在矩形花园ABCD中铺两条笔直的小路，已知AD＝5m，AB＝3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D．如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？
18．已知直线l经过点P（2，1），与直线x+2y﹣3＝0和2x+y﹣6＝0分别交于A，B两点，而且线段AB被点P平分．
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C的圆心在l上，与直线4x+3y+14＝0相切，且直线3x+4y+10＝0被此圆截得弦长为6，试求圆C的方程．
19．在△ABC中，边BC上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0．若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．
第二章 直线与圆的方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【答案】B
【分析】先求出直线的斜率，然后结合斜率与倾斜角关系即可求解．
【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，
直线即，
其斜率，则有，
又由0°≤θ＜180°，则θ＝120°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
2．过点P（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（ ）
A．2x+y﹣1＝0 B．2x+y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y+7＝0
【答案】A
【分析】根据题意，易得直线x﹣2y+3＝0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．
【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3＝0的斜率为，
由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，
又知其过点（﹣1，3），
由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1＝0．
故选：A．
【点评】本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．
3．若方程x2+y2﹣2y﹣m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣1，+∞）
【答案】D
【分析】将方程化为标准式即可计算求解．
【解答】解：方程x2+y2﹣2y﹣m＝0可变形为x2+（y﹣1）2＝m+1，
因为方程表示圆，则m+1＞0，
所以m＞﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．
4．圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣6x+8y+9＝0的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【分析】把第二个圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r，再由第一个圆的方程找出圆心B的坐标和半径R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，发现d＝R+r，从而判断出两圆位置关系是外切．
【解答】解：把圆x2+y2﹣6x+8y+9＝0化为标准方程得：（x﹣3）2+（y+4）2＝16，
∴圆心A的坐标为（3，﹣4），半径r＝4，
由圆x2+y2＝4，得到圆心B坐标为（0，0），半径R＝2，
两圆心间的距离d＝|AB|5，
∵2+4＝6，4﹣2＝2，即R﹣r＜d＜R+r，
则两圆的位置关系是相交．
故选：B．
【点评】此题考查了圆的标准方程，两点间的基本公式，以及圆与圆位置关系的判断，圆与圆位置关系的判断方法为：当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d＝R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d＝R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆相离（d表示两圆心间的距离，R及r分别表示两圆的半径）．
5．若直线l与直线y＝2，x＝4分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），则直线l的斜率为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式可得P，Q，再利用斜率的计算公式即可得出．
【解答】解：设P（x，2），Q（4，y）．
∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），
∴，解得x＝﹣2，y＝﹣4．
∴P（﹣2，2），Q（4，﹣4）
∴直线l的斜率1．
故选：B．
【点评】本题考查了中点坐标公式、斜率的计算公式，属于基础题．
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2﹣4y＝0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．
【解答】解：将圆x2+y2﹣4y＝0的方程可以转化为：
x2+（y﹣2）2＝4，
即圆的圆心为A（0，2），半径为R＝2，
∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，
∴ON，
∴弦长2，
故选：D．
【点评】要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解．
7．过点P（﹣2，4）作圆O：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25的切线l，直线m：ax﹣3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】判断P在圆O上，求出直线OP的斜率，确定出切线l的斜率，求出l的方程，根据直线m与直线l平行，利用平行线的距离公式求出l与m的距离即可．
【解答】解：将P（﹣2，4）代入圆方程左边得：42+32＝16+9＝25，左边＝右边，即P在圆O上，
∵直线OP的斜率为，
∴切线l的斜率为，即直线l方程为y﹣4（x+2），
整理得：4x﹣3y+20＝0，
∵直线m：ax﹣3y＝0与直线l平行，
∴，即a＝4，
∴直线m方程为4x﹣3y＝0，即4x﹣3y＝0，
则直线l与m的距离为4．
故选：A．
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，圆的切线方程，两直线平行时斜率满足的关系，点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键．
8．已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（） D．（）
【答案】B
【分析】利用对称知识得到点B（2，2）关于x轴的对称点为B′，连接AB′，根据B′和A的坐标求得直线AB′的方程，求出它与x轴交点坐标即为M的坐标．
【解答】解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，
与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短，
由B与B′关于x轴对称，B（2，2），
所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），
则直线AB′的方程为y+2（x﹣2）
化简得：y＝﹣2x+2，令y＝0，解得x＝1，所以M（1，0）
故选：B．
【点评】此题考查学生灵活运用对称的性质解决实际问题，会求直线与x轴的交点坐标，是一道中档题．
9．△ABC的三个顶点是A（0，3），B（3，3），C（2，0），直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出AC所在的直线方程，再联立方程x＝a求出E点的坐标，进而得出DE和AD的长，再由三角形的面积即可得出a的值．
【解答】解：AC所在的直线方程为yx+3，
直线x＝a与AB交于D，与AC交于E，
则S△ADES△ABC，
E点的坐标为（a，3）
∴DE＝3﹣（3），
AD＝a，∴由S△ADEa
解得：a
故选：A．
【点评】此题考查了两直线的交点坐标，求出S△ADE是解题的关键，属于中档题．
10．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】D
【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y＝0的圆心（0，1），半径是r＝1，
由圆的性质知：S四边形PACB＝2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，
∴S△PBC的最小值＝1rd（d是切线长）∴d最小值＝2
圆心到直线的距离就是PC的最小值，
∵k＞0，∴k＝2
故选：D．
【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．
二、多选题
11．已知点A（u+2，0），B（﹣u，0），若圆C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝9上存在唯一的一点P，使得PA⊥PB，则u的值可能为（ ）
A．﹣9 B．﹣5 C．1 D．7
【答案】ACD
【分析】由题意P在以N为圆心，|u+1|为半径的圆上，根据题意该圆与圆C只有一个公共点，由两圆的位置关系可得答案．
【解答】解：因为AB的中点为定点N（1，0），|AB|＝2|u+1|，且PA⊥PB，
所以P在以N为圆心，|u+1|为半径的圆N上，
依题意可得圆N与圆C只有一个公共点，则两圆外切或内切，
则|NC|或|NC|，
解得u＝﹣9，﹣3，1，7．
故答案为：ACD．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题．
三、填空题
12．经过两条直线3x+4y﹣2＝0与2x+y+2＝0的交点，且垂直于直线3x﹣2y+4＝0的直线方程为 2x+3y﹣2＝0 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】联立方程可得交点坐标，由垂直关系可得斜率，由点斜式可得方程，化为一般式即可．
【解答】解：联立，解得，
即两直线的交点为（﹣2，2），又直线垂直于3x﹣2y+4＝0，
故所求直线的斜率为，故方程为y﹣2（x+2），
化为一般式可得：2x+3y﹣2＝0，
故答案为：2x+3y﹣2＝0
【点评】本题考查直线的交点以及直线的垂直关系，属基础题．
13．经过原点的直线l与圆C：x2+（y﹣4）2＝4有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 （] ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可得直线与圆相切或相交，利用点到直线的距离公式建立不等式，即可求得结论．
【解答】解：设直线L：y＝kx即kx﹣y＝0
由直线与圆C：x2+（y﹣4）2＝4有公共点，即直线与圆相切或相交
∴2
∴k2≥3
∴k或k
故答案为：（]
【点评】本题主要考查了直线与圆相切及相交的性质的应用，解题的关键是利用点到直线的距离与半径的比较．
14．已知点P（2，﹣3），Q（3，2），直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别求出直线MQ、MP的斜率，进而即可求出直线MN的斜率的取值范围．
【解答】解：画出图象
∵，
．
要使直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，
则满足．
∴，
∴．
故答案为．
【点评】正确理解直线相交于直线的斜率的关系是解题的关键．
15．在直角坐标系中，定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现有下列命题：
①若P，Q是x轴上两点，则d（P，Q）＝|x1﹣x2|；
②已知P（1，3），Q（sin2a，cos2a）（a∈R），则d（P，Q）为定值；
③原点O到直线x﹣y+1＝0上任一点P的直角距离d（O，P）的最小值为；
④设A（x，y）且x∈Z，y∈Z，若点A是在过P（1，3）与Q（5，7）的直线上，且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A只有5个．
其中的真命题是 ①②④ ．（写出所有真命题的序号）
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．
【解答】解：①若P，Q是x轴上两点，则y1＝y2＝0，所以d（P，Q）＝|x1﹣x2|，正确；
②已知P（1，3），Q（sin2a，cos2a）（a∈R），则d（P，Q）＝|1﹣sin2a|+|3﹣cos2a|＝cos2a+2+sin2a＝3为定值，正确；
③设P（x，y），O（0，0），则d（0，P）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|x|+|y|＝|x|+|x+1|，表示数轴上的x到1和0的距离之和，其最小值为1，故不正确；
④过P（1，3）与Q（5，7）的直线方程为y＝x+2，点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，则|x﹣1|+|y﹣3|+|x﹣5|+|y﹣7|＝2|x﹣1|+2|x﹣5|＝8，所以|x﹣1|+|x﹣5|＝4，所以1≤x≤5，因为x∈Z，所以x＝1，2，3，4，5，所以满足条件的点A只有5个，正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查两点之间的“直角距离”的定义，绝对值的意义，关键是明确P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”的含义．
四、解答题
16．已知直线l经过点（0，﹣2），其倾斜角的大小是60°．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）由已知中直线l的倾斜角可得其斜率，再由直线l经过点（0，﹣2），可得直线的点斜式方程，化为一般式可得答案．
（2）由（1）中直线l的方程，可得直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式可得答案．
【解答】解：（1）因为直线l的倾斜角的大小为60°，
故其斜率为，
又直线l经过点（0，﹣2），所以其方程为y﹣（﹣2）x
即．…（3分）
（2）由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是、﹣2，
所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积
．…（8分）
【点评】本题考查的知识点是直线的点斜式方程，其中根据直线l经过点（0，﹣2），结合直线的斜率，求出直线方程是解答的关键．
17．如图，现要在矩形花园ABCD中铺两条笔直的小路，已知AD＝5m，AB＝3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D．如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？
【答案】当m 时，使得两条小路AC与DM相互垂直．
【分析】以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，再结合两直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示平面直角坐标系，
∵AD＝5m，AB＝3m，
∴C（5，0），D（5，3），A（0，3），
设M（x，0），
∵AC⊥DM，由图可得，直线AC，DM的斜率都存在，
∴kAC kDM＝﹣1，即，解得x，即m 时，使得两条小路AC与DM相互垂直．
故当m 时，使得两条小路AC与DM相互垂直．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查两直线垂直的性质，属于基础题．
18．已知直线l经过点P（2，1），与直线x+2y﹣3＝0和2x+y﹣6＝0分别交于A，B两点，而且线段AB被点P平分．
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C的圆心在l上，与直线4x+3y+14＝0相切，且直线3x+4y+10＝0被此圆截得弦长为6，试求圆C的方程．
【答案】（1）x﹣y﹣1＝0；
（2）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25．
【分析】（1）设A（m，n），B（4﹣m，2﹣n），分别代入直线x+2y﹣3＝0和2x+y﹣6＝0，求出A点坐标，利用两点式方程能求出直线l的方程．
（2）设圆C（x，x﹣1），利用点到直线的距离公式圆心到直线距离d＝R和圆心C（x，x﹣1）到直线3x+4y+10＝0距离d1，由直线3x+4y+10＝0被此圆截得弦长为6，利用勾股定理能求出半径和圆心，由此能求出圆C的方程．
【解答】解：（1）∵直线l经过点P（2，1），与直线x+2y﹣3＝0和2x+y﹣6＝0分别交于A，B两点，而且线段AB被点P平分，
∴设A（m，n），B（4﹣m，2﹣n），
则，
解得m，n，
∴A（，），∵直线l过A（，），P（2，1），
∴直线l的方程为：，
整理，得x﹣y﹣1＝0．
（2）∵圆C的圆心在直线L1：x﹣y﹣1＝0上
∴设C（x，x﹣1），
∵圆C与直线4x+3y+14＝0相切，∴圆心到直线距离d＝R，
∴R，
圆心C（x，x﹣1）到直线3x+4y+10＝0距离：
d1，
∵直线3x+4y+10＝0被此圆截得弦长为6，
∴（）2+（）2＝（）2，
解得x＝2，∴R2＝（）2＝25，圆心C（2，1）
∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25．
【点评】本题考查直线方程和圆的方程的求法，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．
19．在△ABC中，边BC上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0．若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．
【答案】A（﹣1，0）；∴C（5，﹣6）．
【分析】联立方程可得，解得方程，得到A点坐标，分别求出直线BC和直线AC的方程，再求出点C的坐标．
【解答】解：联立方程可得，
解得x＝﹣1，y＝0，∴A（﹣1，0），
∵边BC上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，
∴直线BC的方程的斜率k＝﹣2，
∴直线BC的方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣4＝0，
∵kAB1，
∵∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，∴kAC＝﹣1，
∴直线AC的方程为y＝﹣（x+1），即x+y+1＝0，
联立，解得x＝5，y＝﹣6，
∴C（5，﹣6）．
【点评】本题考查了直线与直线的垂直，直线的斜率，属于基础题．
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