第三章 圆锥曲线的方程（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 314.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-19 14:12:15 | ||
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文档简介
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第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．已知直线y＝kx+t与圆x2+（y+1）2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
C．（﹣3，0） D．（﹣2，0）
2．抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（a，p）到其准线的距离等于，则实数a的值等于（ ）
A．4 B．±2 C． D．±
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线l2：yx的倾斜角是渐近线l1：yx的倾斜角的2倍，第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，点O构成底边长为2的等腰三角形，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．x21 B．x21 C．y2＝1 D．y2＝1
4．若点P（1，2）在双曲线）的一条渐近线上，则它的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
5．椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．1 B．1
C．1 D．1
6．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度小，已知椭圆C：1（a＞b＞0）上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为R＝a2b2（．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知O为坐标原点，双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，且|AF|+|FP|＝|OF|，则该双曲线的离心率为 ．
8．若关于x，y的方程1表示的是曲线C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1＜t＜3；
②若C为双曲线，则t＞3或t＜1；
③曲线C不可能是圆；
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜2．
其中正确的命题是 ．（把所有正确命题的序号都填在横线上）
9．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲
线C上不同于A1，A2的任意一点，若△PF1F2与△PA1A2的面积之比为：1，则双曲线C的离心率为 ．
10．如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线 C：x2＝2py（p＞0）上．则抛物线C的方程为 ．
三、解答题
11．已知抛物线C的顶点是坐标原点O，而焦点是双曲线4x2﹣y2＝1的右顶点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l：y＝x﹣2与抛物线相交于A、B两点．
①求弦长|AB|；
②求证：OA⊥OB．
12．椭圆C：过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P（m，n）在椭圆C上．
（ⅰ）求证：|PF2|＝2m；
（ⅱ）若|PF1|，求直线PF1的方程．
13．根据下列条件，求椭圆的方程．
（1）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，且长轴长等于4；
（2）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．
14．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0），焦距为2，渐近线方程为yx．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，点P是C上异于M，N的任意一点，直线PM、PN分别交x轴于点T、S，试问：|OS| |OT|是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O是坐标原点）．
15．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
（2）与双曲线1有共同的渐近线，且过点．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、单选题
1．已知直线y＝kx+t与圆x2+（y+1）2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
C．（﹣3，0） D．（﹣2，0）
【答案】A
【分析】由直线与圆相切可得1，把直线方程代入抛物线方程并整理，由Δ＞0求得t的范围．
【解答】解：因为直线l：y＝kx+t与圆：x2+（y+1）2＝1相切，
所以1，
所以k2＝t2+2t，
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t＝0，
由Δ＝16k2+16t＝16（t2+2t）+16t＞0得t＞0或t＜﹣3，
实数t的取值范围是为（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线和圆、抛物线的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
2．抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（a，p）到其准线的距离等于，则实数a的值等于（ ）
A．4 B．±2 C． D．±
【答案】D
【分析】根据抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（a，p）到其准线的距离等于，求得p＝1，将点A（a，p）代入抛物线方程即可解得实数a的值．
【解答】解：因为抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（a，p）到其准线的距离等于，
所以，所以p＝1，
则A（a，1），抛物线方程为x2＝2y，
将A（a，1）代入得：a2＝2，解得．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线l2：yx的倾斜角是渐近线l1：yx的倾斜角的2倍，第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，点O构成底边长为2的等腰三角形，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．x21 B．x21 C．y2＝1 D．y2＝1
【答案】A
【分析】设出渐近线的倾斜角，利用一自然条件求出渐近线的倾斜角，推出ab关系，结合三角形的面积求解c，推出a，b即可得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线l2：yx的倾斜角是渐近线l1：yx的倾斜角的2倍，
设渐近线l1的倾斜角为α，则渐近线l2的倾斜角为2α，则α+2α＝π，所以α，所以，
第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，∠POF，
点O构成底边长为2的等腰三角形，
所以|PF|＝2，∠OFP，所以l1⊥PF，所以c＝2，a2+b2＝4，解得a＝1，b，
所以双曲线方程为：x21．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
4．若点P（1，2）在双曲线）的一条渐近线上，则它的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入点的坐标，求解a，然后求解离心率即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程，
因为点P（1，2）在双曲线的一条渐近线上，
所以，所以，
它的离心率为．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
5．椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．1 B．1
C．1 D．1
【答案】A
【分析】根据椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，可得椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，从而可求b，即可求出椭圆的方程．
【解答】解：∵椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，
∴b12，
∴椭圆的方程为1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键．
6．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度小，已知椭圆C：1（a＞b＞0）上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为R＝a2b2（．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知求出R的范围，再由最大值为最小值的8倍建立关系式，进而可以求解．
【解答】解：∵点P在椭圆上，则，即，
∴
，
∵∈[0，a2]，∴∈[]，
则∈[]，
∴R∈[]，
∵曲率半径的最大值是最小值的8倍，
∴，整理得a＝2b，
则椭圆的离心率为e，
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的性质以及曲率半径的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
二、填空题
7．已知O为坐标原点，双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，且|AF|+|FP|＝|OF|，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合点到直线距离，可得|FP|＝b，由|AF|+|FP|＝|OF|，可推得a＝b，再结合双曲线的离心率公式，即可求解．
【解答】解：设F（﹣c，0）渐近线方程为，
∵c2＝a2+b2，
∴点F（﹣c，0）到渐近线距离|FP|，
∵|AF|+|FP|＝|OF|，
∴c﹣a+b＝c，即a＝b，
∴c2＝a2+b2＝2a2，即，
∴双曲线的离心率为 ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了离心率的求解，熟练掌握双曲线的性质是解本题的关键，属于中档题．
8．若关于x，y的方程1表示的是曲线C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1＜t＜3；
②若C为双曲线，则t＞3或t＜1；
③曲线C不可能是圆；
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜2．
其中正确的命题是 ②④ ．（把所有正确命题的序号都填在横线上）
【答案】②④．
【分析】根据方程表示的曲线特征，列式求解t的取值范围．
【解答】解：①若C为椭圆，则，解得：1＜t＜2或2＜t＜3，故①不正确；
②若C为双曲线，则（3﹣t）（t﹣1）＜0，解得：t＞3或t＜1，故②正确；
③当t＝2时，方程表示x2+y2＝1，表示圆，故③不正确；
④若C为椭圆，且长轴在x轴上，则，解得：1＜t＜2，故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了圆锥曲线的方程，熟记圆锥曲线的方程是解答本解的关键，属于基础题．
9．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲
线C上不同于A1，A2的任意一点，若△PF1F2与△PA1A2的面积之比为：1，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用已知条件，把三角形的面积转化为c与a的比，然后求解离心率．
【解答】解：设双曲线的半焦距为c，△PF1F2与△PA1A2的面积之比为：1，
可得|F1F2||A1A2|，即2c＝2，
所以e，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的离心率求法，简单性质的应用，是基础题．
10．如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线 C：x2＝2py（p＞0）上．则抛物线C的方程为 x2＝4y ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知得A（﹣4，12），B（4，12），O（0，0），从而（）2＝24p，由此能求出抛物线C的方程．
【解答】解：如图，∵等边三角形OAB的边长为8，
且其三个顶点均在抛物线 C：x2＝2py（p＞0）上．
∴A（﹣4，12），B（4，12），O（0，0），
∴（）2＝24p，
解得p＝2．
∴抛物线C的方程为x2＝4y．
故答案为：x2＝4y．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，是基础题，解题时要注意待定系数法的合理运用．
三、解答题
11．已知抛物线C的顶点是坐标原点O，而焦点是双曲线4x2﹣y2＝1的右顶点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l：y＝x﹣2与抛物线相交于A、B两点．
①求弦长|AB|；
②求证：OA⊥OB．
【答案】（1）y2＝2x；
（2）①；
②证明见解析．
【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程；
（2）①联立方程，利用弦长公式，结合韦达定理求得弦长；
②利用向量的数量积为零求证垂直关系．
【解答】（1）解：4x2﹣y2＝1，化为标准形式：，
，右顶点A，
设抛物线的方程为y2＝2px，焦点坐标为，
由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以p＝1，
∴抛物线C的方程y2＝2x；
（2）解：，消去x，得y2﹣2y﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣4，y1+y2＝2，
，
，
①．
证明：②，
∴OA⊥OB．
【点评】本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
12．椭圆C：过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P（m，n）在椭圆C上．
（ⅰ）求证：|PF2|＝2m；
（ⅱ）若|PF1|，求直线PF1的方程．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）证明见解析；
（ⅱ）或．
【分析】（1）根据题设条件和a2＝b2+c2，列出方程组，求得a2，b2，c2的值，即可求解；
（2）（ⅰ）由（1）中椭圆C的方程，代入点P（m，n）求得，结合两点间的距离公式，即可求解；
（ⅱ）由（ⅰ）知，求得，求得点P的坐标，分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，椭圆过点，离心率为，
可得，解得，所以椭圆C的方程为．
（2）（ⅰ）由（1）知椭圆C的方程为，可得F1（﹣1，0），F2（1，0），
因为P（m，n）在椭圆C上，可得，可得，
所以，
因为﹣2＜m＜2，所以，
（ⅱ）由（ⅰ）知，
则，
可得，
又由，即，解得，所以，
当时，可得，则，
所以直线PF1的方程为，即；
当时，可得，则，
所以直线PF1的方程为，即，
综上可得直线PF1的方程或．
【点评】本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
13．根据下列条件，求椭圆的方程．
（1）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，且长轴长等于4；
（2）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据椭圆的离心率公式及2a＝4，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设椭圆C的方程，结合离心率公式和a﹣c＝1，即可求得a和b的值，求得椭圆方程．
【解答】解：（1）由题意可知，2a＝4，则a＝2，
椭圆C的离心率，c＝1，
所以b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆C的方程：；
（2）由题意，设椭圆C的方程：，
由右焦点到右顶点的距离为1，则a﹣c＝1，
椭圆C的离心率，即a＝2c，
所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆C的方程：．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的性质，属于基础题．
14．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0），焦距为2，渐近线方程为yx．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，点P是C上异于M，N的任意一点，直线PM、PN分别交x轴于点T、S，试问：|OS| |OT|是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O是坐标原点）．
【答案】（1）．
（2）是定值，定值为2．理由见解答．
【分析】（1）利用已知条件求解c，a，b，得到双曲线方程．
（2）是定值，定值为2，法一：设直线MP的方程为x＝ty+m（t≠0），S（x0，0），T（m，0），代入得（t2﹣2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，设点M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），利用韦达定理，结合三点共线转化求解|OS||OT|为定值．
法二：设点M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），求出MP的方程，求解S、T的横坐标，通过点M（x1，y1），P（x2，y2），在双曲线上转化求解xT xS＝2．
【解答】解：（1）∵，∴，
又因为渐近线方程为．∴，
∵c2＝a2+b2，∴a2＝2，b2＝1，
∴．
（2）是定值，定值为2．
法一：设直线MP的方程为x＝ty+m（t≠0），S（x0，0），T（m，0），
代入，得（t2﹣2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，
因为渐近线方程为，MP与渐近线不平行，∴t2≠2
设点M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），
由韦达定理可得：，
由N，S，P三点共线得，
，
∴，即|OS||OT|为定值．
法二：是定值，定值为2，
设点M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，
令y＝0，∴，
同理：，
因为点M（x1，y1），P（x2，y2），在双曲线上，∴，
，
∴（3），
由（1）（2）可得：，，
代入（3）可得：（定值）．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，双曲线的简单性质的应用以及方程的求解，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
15．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
（2）与双曲线1有共同的渐近线，且过点．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知结合隐含条件求得a与b的值，则双曲线的标准方程可求；
（2）设与双曲线1有共同的渐近线的双曲线方程为，代入已知点的坐标求得λ值，则双曲线方程可求．
【解答】解：（1）由已知可得，2b＝8，b＝4，
∴，解得a2＝9，c2＝25．
又焦点在x轴上，∴双曲线的方程为；
（2）设与双曲线1有共同的渐近线的双曲线方程为（λ≠0），
把点代入，可得，即λ，
∴所求双曲线方程为．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．已知直线y＝kx+t与圆x2+（y+1）2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
C．（﹣3，0） D．（﹣2，0）
2．抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（a，p）到其准线的距离等于，则实数a的值等于（ ）
A．4 B．±2 C． D．±
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线l2：yx的倾斜角是渐近线l1：yx的倾斜角的2倍，第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，点O构成底边长为2的等腰三角形，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．x21 B．x21 C．y2＝1 D．y2＝1
4．若点P（1，2）在双曲线）的一条渐近线上，则它的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
5．椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．1 B．1
C．1 D．1
6．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度小，已知椭圆C：1（a＞b＞0）上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为R＝a2b2（．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知O为坐标原点，双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，且|AF|+|FP|＝|OF|，则该双曲线的离心率为 ．
8．若关于x，y的方程1表示的是曲线C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1＜t＜3；
②若C为双曲线，则t＞3或t＜1；
③曲线C不可能是圆；
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜2．
其中正确的命题是 ．（把所有正确命题的序号都填在横线上）
9．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲
线C上不同于A1，A2的任意一点，若△PF1F2与△PA1A2的面积之比为：1，则双曲线C的离心率为 ．
10．如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线 C：x2＝2py（p＞0）上．则抛物线C的方程为 ．
三、解答题
11．已知抛物线C的顶点是坐标原点O，而焦点是双曲线4x2﹣y2＝1的右顶点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l：y＝x﹣2与抛物线相交于A、B两点．
①求弦长|AB|；
②求证：OA⊥OB．
12．椭圆C：过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P（m，n）在椭圆C上．
（ⅰ）求证：|PF2|＝2m；
（ⅱ）若|PF1|，求直线PF1的方程．
13．根据下列条件，求椭圆的方程．
（1）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，且长轴长等于4；
（2）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．
14．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0），焦距为2，渐近线方程为yx．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，点P是C上异于M，N的任意一点，直线PM、PN分别交x轴于点T、S，试问：|OS| |OT|是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O是坐标原点）．
15．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
（2）与双曲线1有共同的渐近线，且过点．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、单选题
1．已知直线y＝kx+t与圆x2+（y+1）2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
C．（﹣3，0） D．（﹣2，0）
【答案】A
【分析】由直线与圆相切可得1，把直线方程代入抛物线方程并整理，由Δ＞0求得t的范围．
【解答】解：因为直线l：y＝kx+t与圆：x2+（y+1）2＝1相切，
所以1，
所以k2＝t2+2t，
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t＝0，
由Δ＝16k2+16t＝16（t2+2t）+16t＞0得t＞0或t＜﹣3，
实数t的取值范围是为（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线和圆、抛物线的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
2．抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（a，p）到其准线的距离等于，则实数a的值等于（ ）
A．4 B．±2 C． D．±
【答案】D
【分析】根据抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（a，p）到其准线的距离等于，求得p＝1，将点A（a，p）代入抛物线方程即可解得实数a的值．
【解答】解：因为抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（a，p）到其准线的距离等于，
所以，所以p＝1，
则A（a，1），抛物线方程为x2＝2y，
将A（a，1）代入得：a2＝2，解得．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线l2：yx的倾斜角是渐近线l1：yx的倾斜角的2倍，第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，点O构成底边长为2的等腰三角形，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．x21 B．x21 C．y2＝1 D．y2＝1
【答案】A
【分析】设出渐近线的倾斜角，利用一自然条件求出渐近线的倾斜角，推出ab关系，结合三角形的面积求解c，推出a，b即可得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的渐近线l2：yx的倾斜角是渐近线l1：yx的倾斜角的2倍，
设渐近线l1的倾斜角为α，则渐近线l2的倾斜角为2α，则α+2α＝π，所以α，所以，
第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，∠POF，
点O构成底边长为2的等腰三角形，
所以|PF|＝2，∠OFP，所以l1⊥PF，所以c＝2，a2+b2＝4，解得a＝1，b，
所以双曲线方程为：x21．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
4．若点P（1，2）在双曲线）的一条渐近线上，则它的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入点的坐标，求解a，然后求解离心率即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程，
因为点P（1，2）在双曲线的一条渐近线上，
所以，所以，
它的离心率为．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
5．椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．1 B．1
C．1 D．1
【答案】A
【分析】根据椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，可得椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，从而可求b，即可求出椭圆的方程．
【解答】解：∵椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，
∴b12，
∴椭圆的方程为1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键．
6．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度小，已知椭圆C：1（a＞b＞0）上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为R＝a2b2（．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知求出R的范围，再由最大值为最小值的8倍建立关系式，进而可以求解．
【解答】解：∵点P在椭圆上，则，即，
∴
，
∵∈[0，a2]，∴∈[]，
则∈[]，
∴R∈[]，
∵曲率半径的最大值是最小值的8倍，
∴，整理得a＝2b，
则椭圆的离心率为e，
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的性质以及曲率半径的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
二、填空题
7．已知O为坐标原点，双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，且|AF|+|FP|＝|OF|，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合点到直线距离，可得|FP|＝b，由|AF|+|FP|＝|OF|，可推得a＝b，再结合双曲线的离心率公式，即可求解．
【解答】解：设F（﹣c，0）渐近线方程为，
∵c2＝a2+b2，
∴点F（﹣c，0）到渐近线距离|FP|，
∵|AF|+|FP|＝|OF|，
∴c﹣a+b＝c，即a＝b，
∴c2＝a2+b2＝2a2，即，
∴双曲线的离心率为 ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了离心率的求解，熟练掌握双曲线的性质是解本题的关键，属于中档题．
8．若关于x，y的方程1表示的是曲线C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1＜t＜3；
②若C为双曲线，则t＞3或t＜1；
③曲线C不可能是圆；
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜2．
其中正确的命题是 ②④ ．（把所有正确命题的序号都填在横线上）
【答案】②④．
【分析】根据方程表示的曲线特征，列式求解t的取值范围．
【解答】解：①若C为椭圆，则，解得：1＜t＜2或2＜t＜3，故①不正确；
②若C为双曲线，则（3﹣t）（t﹣1）＜0，解得：t＞3或t＜1，故②正确；
③当t＝2时，方程表示x2+y2＝1，表示圆，故③不正确；
④若C为椭圆，且长轴在x轴上，则，解得：1＜t＜2，故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了圆锥曲线的方程，熟记圆锥曲线的方程是解答本解的关键，属于基础题．
9．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲
线C上不同于A1，A2的任意一点，若△PF1F2与△PA1A2的面积之比为：1，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用已知条件，把三角形的面积转化为c与a的比，然后求解离心率．
【解答】解：设双曲线的半焦距为c，△PF1F2与△PA1A2的面积之比为：1，
可得|F1F2||A1A2|，即2c＝2，
所以e，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的离心率求法，简单性质的应用，是基础题．
10．如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线 C：x2＝2py（p＞0）上．则抛物线C的方程为 x2＝4y ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知得A（﹣4，12），B（4，12），O（0，0），从而（）2＝24p，由此能求出抛物线C的方程．
【解答】解：如图，∵等边三角形OAB的边长为8，
且其三个顶点均在抛物线 C：x2＝2py（p＞0）上．
∴A（﹣4，12），B（4，12），O（0，0），
∴（）2＝24p，
解得p＝2．
∴抛物线C的方程为x2＝4y．
故答案为：x2＝4y．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，是基础题，解题时要注意待定系数法的合理运用．
三、解答题
11．已知抛物线C的顶点是坐标原点O，而焦点是双曲线4x2﹣y2＝1的右顶点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l：y＝x﹣2与抛物线相交于A、B两点．
①求弦长|AB|；
②求证：OA⊥OB．
【答案】（1）y2＝2x；
（2）①；
②证明见解析．
【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程；
（2）①联立方程，利用弦长公式，结合韦达定理求得弦长；
②利用向量的数量积为零求证垂直关系．
【解答】（1）解：4x2﹣y2＝1，化为标准形式：，
，右顶点A，
设抛物线的方程为y2＝2px，焦点坐标为，
由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以p＝1，
∴抛物线C的方程y2＝2x；
（2）解：，消去x，得y2﹣2y﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣4，y1+y2＝2，
，
，
①．
证明：②，
∴OA⊥OB．
【点评】本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
12．椭圆C：过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P（m，n）在椭圆C上．
（ⅰ）求证：|PF2|＝2m；
（ⅱ）若|PF1|，求直线PF1的方程．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）证明见解析；
（ⅱ）或．
【分析】（1）根据题设条件和a2＝b2+c2，列出方程组，求得a2，b2，c2的值，即可求解；
（2）（ⅰ）由（1）中椭圆C的方程，代入点P（m，n）求得，结合两点间的距离公式，即可求解；
（ⅱ）由（ⅰ）知，求得，求得点P的坐标，分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，椭圆过点，离心率为，
可得，解得，所以椭圆C的方程为．
（2）（ⅰ）由（1）知椭圆C的方程为，可得F1（﹣1，0），F2（1，0），
因为P（m，n）在椭圆C上，可得，可得，
所以，
因为﹣2＜m＜2，所以，
（ⅱ）由（ⅰ）知，
则，
可得，
又由，即，解得，所以，
当时，可得，则，
所以直线PF1的方程为，即；
当时，可得，则，
所以直线PF1的方程为，即，
综上可得直线PF1的方程或．
【点评】本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
13．根据下列条件，求椭圆的方程．
（1）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，且长轴长等于4；
（2）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据椭圆的离心率公式及2a＝4，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设椭圆C的方程，结合离心率公式和a﹣c＝1，即可求得a和b的值，求得椭圆方程．
【解答】解：（1）由题意可知，2a＝4，则a＝2，
椭圆C的离心率，c＝1，
所以b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆C的方程：；
（2）由题意，设椭圆C的方程：，
由右焦点到右顶点的距离为1，则a﹣c＝1，
椭圆C的离心率，即a＝2c，
所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆C的方程：．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的性质，属于基础题．
14．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0），焦距为2，渐近线方程为yx．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，点P是C上异于M，N的任意一点，直线PM、PN分别交x轴于点T、S，试问：|OS| |OT|是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O是坐标原点）．
【答案】（1）．
（2）是定值，定值为2．理由见解答．
【分析】（1）利用已知条件求解c，a，b，得到双曲线方程．
（2）是定值，定值为2，法一：设直线MP的方程为x＝ty+m（t≠0），S（x0，0），T（m，0），代入得（t2﹣2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，设点M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），利用韦达定理，结合三点共线转化求解|OS||OT|为定值．
法二：设点M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），求出MP的方程，求解S、T的横坐标，通过点M（x1，y1），P（x2，y2），在双曲线上转化求解xT xS＝2．
【解答】解：（1）∵，∴，
又因为渐近线方程为．∴，
∵c2＝a2+b2，∴a2＝2，b2＝1，
∴．
（2）是定值，定值为2．
法一：设直线MP的方程为x＝ty+m（t≠0），S（x0，0），T（m，0），
代入，得（t2﹣2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，
因为渐近线方程为，MP与渐近线不平行，∴t2≠2
设点M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），
由韦达定理可得：，
由N，S，P三点共线得，
，
∴，即|OS||OT|为定值．
法二：是定值，定值为2，
设点M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，
令y＝0，∴，
同理：，
因为点M（x1，y1），P（x2，y2），在双曲线上，∴，
，
∴（3），
由（1）（2）可得：，，
代入（3）可得：（定值）．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，双曲线的简单性质的应用以及方程的求解，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
15．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
（2）与双曲线1有共同的渐近线，且过点．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知结合隐含条件求得a与b的值，则双曲线的标准方程可求；
（2）设与双曲线1有共同的渐近线的双曲线方程为，代入已知点的坐标求得λ值，则双曲线方程可求．
【解答】解：（1）由已知可得，2b＝8，b＝4，
∴，解得a2＝9，c2＝25．
又焦点在x轴上，∴双曲线的方程为；
（2）设与双曲线1有共同的渐近线的双曲线方程为（λ≠0），
把点代入，可得，即λ，
∴所求双曲线方程为．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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