第四章 指数函数与对数函数（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学必修第一册

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第四章 指数函数与对数函数
一、单选题
1．设a＝30.1，b＝lg5﹣lg2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
2．若log4（3a+4b）＝log2，则a+b的最小值是（　　）
A．6+2 B．7+2 C．6+4 D．7+4
3．函数f（x）＝x﹣2+|lnx|在定义域内的零点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若f（x）是R上的减函数，那么a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（0，） C．[，） D．[，1）
5．设函数f（x）＝ex﹣1+4x﹣4，g（x）＝lnx．若f（x1）＝g（x2）＝0，则（　　）
A．0＜g（x1）＜f（x2） B．g（x1）＜0＜f（x2）
C．f（x2）＜0＜g（x1） D．f（x2）＜g（x1）＜0
6．若函数f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，4] B． C． D．
7．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（　　）
A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0
C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0
8．已知函数f（x）＝x2﹣2mx+m﹣1，g（x），若函数y＝f（g（x））有5个零点，则实数m的范围为（　　）
A．（，+∞） B．（1，） C．（0，] D．（1，]
二、多选题
9．下列计算正确的是（　　）
A．
B．，a＞0，b＞0
C．
D．已知x2+x﹣2＝2，则x+x﹣1＝2
10．已知函数f（x）＝lg（x2+ax﹣a﹣1），给出下述论述，其中正确的是（　　）
A．当a＝0时，f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B．f（x）一定有最小值
C．当a＝0时，f（x）的值域为R
D．若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥﹣4}
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数，则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（　　）
A．g（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．g（x）的值域是{﹣1，0} D．g（x）在R上是增函数
12．已知正数x，y，z满足3x＝2y＝6z，下列结论正确的有（　　）
A．6z＞2y＞3x B． C．x+y＞4z D．xy＜4z2
三、填空题
13．若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a＝　 　 ．
14．已知函数（a＞0且a≠1）．若a＝3，则f（x）的单调递增区间是 　 　 ；若f（x）的值域为R，值a的取值范围是 　 　 ．
15．已知函数恰有两个零点，则λ的取值范围为　 　 ．
16．设f（x），若方程f（x）＝m有四个不相等的实根xi（i＝1，2，3，4），则m的取值范围为 　 　 ；的最小值为 　 　 ．
四、解答题
17．化简求值：（请写出化简步骤过程）
①；
②．
18．已知函数f（x）＝log2x
（1）解关于x的不等式f（x+1）﹣f（x）＞1；
（2）设函数g（x）＝f（2x+1）+kx，若g（x）的图象关于y轴对称，求实数k的值．
19．已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）若不等式mf（x）＞3x在（0，+∞）有解，求实数m取值范围．
20．已知函数f（x）＝loga（ax2﹣（a+1）x+1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．
21．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度vm/s，其中v0m/s是喷流相对速度，mkg是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
（Ⅰ）当总质比为330时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（Ⅱ）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加800m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
参考数据：ln330≈5.8，2.225＜e0.8＜2.226．
22．已知函数f（x）＝2x
（1）试求函数F（x）＝f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（﹣∞，0），使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；
（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围．
第四章 指数函数与对数函数
参考答案与试题解析
一、单选题
1．设a＝30.1，b＝lg5﹣lg2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【答案】C
【分析】利用指数，对数的性质即可比较得解．
【解答】解：由题意可得：a＝30.1＞30＝1，
b＝lg5﹣lg2∈（0，1），
c＝log30，
则a＞b＞c．
故选：C．
【点评】本题主要考查了指数，对数的性质的应用，属于基础题．
2．若log4（3a+4b）＝log2，则a+b的最小值是（　　）
A．6+2 B．7+2 C．6+4 D．7+4
【答案】D
【分析】利用对数的运算法则可得0，a＞4，再利用基本不等式即可得出
【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，
∴a＞0．b＞0
∵log4（3a+4b）＝log2，
∴log4（3a+4b）＝log4（ab）
∴3a+4b＝ab，a≠4，a＞0．b＞0
∴0，
∴a＞4，
则a+b＝aaa+3（a﹣4）77＝47，当且仅当a＝4+2取等号．
故选：D．
【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．
3．函数f（x）＝x﹣2+|lnx|在定义域内的零点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】函数的零点个数，转化为两个函数的图象的交点个数利用数形结合求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝x﹣2+|lnx|在定义域内零点的个数就是方程2﹣x＝|lnx|的解的个数，也就是函数y＝2﹣x与y＝|lnx|图象交点个数，
在同一坐标系中画出：两个函数的图象如图：
可知两个函数有两个交点，原函数的零点有两个．
故选：C．
【点评】本题考查函数的零点个数的判断，数形结合的应用，考查计算能力．
4．若f（x）是R上的减函数，那么a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（0，） C．[，） D．[，1）
【答案】C
【分析】利用分段函数是减函数，列出不等式组求解即可．
【解答】解：因为f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，
所以有，解得a，
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的性质，函数单调性的性质，属中档题．
5．设函数f（x）＝ex﹣1+4x﹣4，g（x）＝lnx．若f（x1）＝g（x2）＝0，则（　　）
A．0＜g（x1）＜f（x2） B．g（x1）＜0＜f（x2）
C．f（x2）＜0＜g（x1） D．f（x2）＜g（x1）＜0
【答案】B
【分析】根据函数零点的存在定理，求出f（x）和g（x）的零点存在区间，利用函数的单调性即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）＝ex﹣1+4x﹣4为增函数，g（x）＝lnx在（0，+∞）上单调递增．
∴f（1）＝1＞0，f（0），g（1）＝﹣1＜0，g（2）＝ln2，
∵f（x1）＝g（x2）＝0，
∴0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴g（x1）＜0＜f（x2），
故选：B．
【点评】本题主要考查函数零点判断和应用，注意利用函数的单调性去解决．
6．若函数f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，4] B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．
【解答】解：设g（x）＝x2﹣ax+1，
则要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，
则满足，即，
得a，
即实数a的取值范围是，
故选：C．
【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键．
7．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（　　）
A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0
C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0
【答案】D
【分析】根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1进行判断即可．
【解答】解：若a＞1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，
若0＜a＜1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，
综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础．
8．已知函数f（x）＝x2﹣2mx+m﹣1，g（x），若函数y＝f（g（x））有5个零点，则实数m的范围为（　　）
A．（，+∞） B．（1，） C．（0，] D．（1，]
【答案】D
【分析】令t＝g（x），作出g（x）的图象，由函数y＝f（t）有5个零点，那么f（x）必有两值t1，t2，结合g（x），可得t1，t2，从而即可求解实数m的范围．
【解答】解：g（x），作出g（x）的图象，
令t＝g（x），由函数y＝f（t）有5个零点，
那么f（x）必有两值t1，t2，
结合g（x）的图象，可得1≤t1≤3，0＜t2＜1．
根据函数f（x）＝x2﹣2mx+m﹣1的图象及性质，
可得，即，
解得，
故选：D．
【点评】本题考查了复合函数的方程的根与函数的图象的应用，属于中档题．
二、多选题
9．下列计算正确的是（　　）
A．
B．，a＞0，b＞0
C．
D．已知x2+x﹣2＝2，则x+x﹣1＝2
【答案】BC
【分析】选项A，B，C利用有理数指数幂的运算性质化简，即可判断出正误，选项D利用完全平方公式得到（x+x﹣1）＝4，所以x+x﹣1＝±2，从而判断出错误．
【解答】解：对于选项A：，所以选项A错误，
对于选项B：99a，（a＞0，b＞0），所以选项B正确，
对于选项C：，所以选项C正确，
对于选项D：∵（x+x﹣1）2＝x2+2+x﹣2＝4，∴x+x﹣1＝±2，所以选项D错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了完全平方公式的应用，是基础题．
10．已知函数f（x）＝lg（x2+ax﹣a﹣1），给出下述论述，其中正确的是（　　）
A．当a＝0时，f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B．f（x）一定有最小值
C．当a＝0时，f（x）的值域为R
D．若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥﹣4}
【答案】AC
【分析】此题是一道多选题，主要考查了复合函数的定义域，值域和单调性，属于中档题．
【解答】解：对于A选项，∵a＝0，∴f（x）＝lg（x2﹣1），即x2﹣1＞0，∴x＜﹣1或x＞1．∴A正确；
对于B选项，令u（x）＝x2+ax﹣a﹣1，则复合函数y＝f（x）是由y＝lgu，u＝x2+ax﹣a﹣1 复合而成的
∵y＝lgu是单调递增的，而u＝x2+ax﹣a﹣1（u＞0）无最小值，∴f（x） 没有最小值．∴B选项错误；
对于选项C，当a＝0时，f（x）＝lg（x2﹣1）中的u＝x2﹣1 中的u能够取到所有的正数，∴f（x）的值域为R，∴C选项是正确的；
对于选项D，∵复合函数y＝lg（x2+ax﹣a﹣1）是由y＝lgu，u＝x2+ax﹣a﹣1复合而成的，而y＝lgu在定义域内是单调递增的，又∵y＝f（x）在区间[2，+∞）上单调递增的，由复合函数的单调性可知，
∴u＝x2+ax﹣a﹣1在区间[2，+∞）上是单调递增的，则有，即a≥﹣4．（1）
又∵x2+ax﹣a﹣1＞0在区间[2，+∞）上是恒成立的，则有22+2a﹣a﹣1＞0即a＞﹣3．（2）
∴a＞﹣3，所以，选项D是错误的．
故选：AC．
【点评】此题是一道易错题，对于D 选项，若没有考虑对数的真数大于0，会误认为选项D是正确的！
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数，则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（　　）
A．g（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．g（x）的值域是{﹣1，0} D．g（x）在R上是增函数
【答案】BC
【分析】由已知结合函数的相关性质分别对各选项进行检验即可判断．
【解答】解：因为，
g（1）＝[f（1）]＝[]＝0，g（﹣1）＝[f（﹣1）]＝[]＝﹣1，g（1）≠g（﹣1），故g（x）不是偶函数，
因为，所以f（﹣x）f（x），
所以f（x）为奇函数，
又在R上单调递增，
又1+ex＞1，
所以，g（x）＝[f（x）]的值域{﹣1，0}，
因为g（0）＝[f（0）]＝[0]＝0，g（1）＝[f（1）]＝[]＝0，
故g（x）不单调．
故选：BC．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，试题具有一定的综合性．
12．已知正数x，y，z满足3x＝2y＝6z，下列结论正确的有（　　）
A．6z＞2y＞3x B． C．x+y＞4z D．xy＜4z2
【答案】ABC
【分析】表示出x，y，z的值，对各个选项进行判断即可．
【解答】解：由x＞0，y＞0，z＞0，
令3x＝2y＝6z＝m＞1，
则x＝log3m，y＝log2m，z＝log6m，
对于A：1，则6z＞2y，
1，则2y＞3x，
故6z＞2y＞3x，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：x+y﹣4z＝log3m+log2m﹣4log6m
lgm（）＝lgm 0，故C正确；
对于D：xy﹣4z2＝log3m log2m﹣4 （lgm）2 0，
故xy＞4z2，故D错误；
故选：ABC．
【点评】本题考查了对数函数以及指数幂的运算性质，考查转化思想，是一道中档题．
三、填空题
13．若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a＝　1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可得，f（﹣x）＝f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝xln（x）为偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x）＝xln（x），
∴﹣ln（﹣x）＝ln（x），
∴ln（﹣x）+ln（x）＝0，
∴ln（x）（x）＝0，
∴lna＝0，
∴a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．
14．已知函数（a＞0且a≠1）．若a＝3，则f（x）的单调递增区间是 　（5，+∞）　 ；若f（x）的值域为R，值a的取值范围是 　[2，+∞）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，本题即求即t＝（x﹣1）（x﹣5）在满足t＞0的条件下，函数t的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．若函数（a＞0且a≠1）的值域为R，则y＝x2﹣2ax+a+2 能取遍所有的正实数，故t满足△≥0，由此求得a的取值范围．
【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），
若a＝3，则f（x）log3（x﹣1）（x﹣5）的单调递增区间，
即t＝（x﹣1）（x﹣5）在满足t＞0的条件下，函数t的增区间，故它的增区间是（5，+∞）．
若函数（a＞0且a≠1）的值域为R，
则y＝x2﹣2ax+a+2 能取遍所有的正实数，故t满足Δ＝4a2﹣4（a+2）≥0，求得 a≥2，或a≤﹣1 （不满足题意，舍去），
故答案为：（5，+∞）；[2，+∞）．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．
15．已知函数恰有两个零点，则λ的取值范围为　[1，2）∪[3，+∞）　 ．
【答案】[1，2）∪[3，+∞）．
【分析】分段求零点，根据恰有两个零点，结合图象可得答案．
【解答】解：令x2﹣2x﹣3＝0，可得x＝﹣1或x＝3，
令ln（x﹣1）＝0，可得x＝2，
∵x﹣1＞0，可得x＞1．
则λ≥1．
作出图象，
结合图象可得1≤λ＜2或λ≥3时，f（x）恰有两零点．
故答案为：[1，2）∪[3，+∞）．
【点评】本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．
16．设f（x），若方程f（x）＝m有四个不相等的实根xi（i＝1，2，3，4），则m的取值范围为 　（0，ln3）　 ；的最小值为 　50　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可知函数f（x）关于直线x＝3对称，画出函数f（x）的大致图象，因为方程f（x）＝m有四个不相等的实根，所以函数f（x）与y＝m有4个交点，进而求出m的取值范围，由函数f（x）的图象可知：x1+x4＝6，x2+x3＝6，且lnx1＝﹣m，lnx2＝m，所以2e﹣2m+2e2m﹣12（em+e﹣m）+72，令t＝em+e﹣m，则，且2t2﹣12t+68，再利用二次函数的性质即可求出的最小值．
【解答】解：当3＜x＜6时，∵f（x）＝f（6﹣x），∴函数f（x）关于直线x＝3对称，
画出函数f（x）的图象，如图所示，
∵方程f（x）＝m有四个不相等的实根，
∴函数f（x）与y＝m有4个交点，
∴由函数f（x）的图象可知0＜m＜ln3，
即m的取值范围为：（0，ln3），
由函数f（x）的图象可知：x1+x4＝6，x2+x3＝6，且lnx1＝﹣m，lnx2＝m，
∴，，，，
∴e﹣2m+e2m+（6﹣em）2+（6﹣e﹣m）2＝2e﹣2m+2e2m﹣12（em+e﹣m）+72，
令t＝em+e﹣m，
∵0＜m＜ln3，∴1＜em＜3，
∴，
又∵2t2﹣12t+68，
∴当t＝3时，的值最小，最小值为50，
故答案为：（0，ln3），50．
【点评】本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．
四、解答题
17．化简求值：（请写出化简步骤过程）
①；
②．
【答案】①或1.7875；
②110．
【分析】把根式化为分数指数幂，根据幂的运算法则计算即可．
【解答】解：①
1（24）﹣0.75
＝0.4﹣1﹣1+（﹣2）﹣4+2﹣3+0.1
＝2.5﹣10.1
＝1.6
或1.7875；
②
1
21+22×33
＝2+108
＝110．
【点评】本题考查了把根式化为分数指数幂以及幂的运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
18．已知函数f（x）＝log2x
（1）解关于x的不等式f（x+1）﹣f（x）＞1；
（2）设函数g（x）＝f（2x+1）+kx，若g（x）的图象关于y轴对称，求实数k的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据对数的运算性质得到关于x的不等式，解出即可；
（2）求出g（x）的解析式，根据对数的运算得到关于k的方程，求出k的值即可．
【解答】解：（1）因为f（x+1）﹣f（x）＞1，
所以log2（x+1）﹣log2x＞1，
即：，所以，
由题意，x＞0，解得0＜x＜1，
所以解集为{x|0＜x＜1}．（5分）
（2）g（x）＝f（2x+1）+kx，
由题意，g（x）是偶函数，
所以 x∈R，有g（﹣x）＝g（x），
即：成立，
所以，
即：，
所以，
所以﹣x＝2kx，（2k+1）x＝0，
所以．（12分）
【点评】本题考查了对数的运算性质以及对数函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．
19．已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）若不等式mf（x）＞3x在（0，+∞）有解，求实数m取值范围．
【答案】（1）a＝﹣1，
（2）（﹣∞，﹣23）．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝a0，解得a＝﹣1，验证f（x）是否为奇函数，即可得答案；
（2）根据题意，由（1）的结论，可得f（x）的解析式，不等式变形可得﹣m，设g（x），x∈（0，+∞），利用换元法求出g（x）的最小值，分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）为定义在R上奇函数，f（0）＝a0，解得a＝﹣1，
当a＝﹣1时，f（x）＝﹣1，f（﹣x），
满足f（﹣x）＝﹣f（﹣x），f（x）为奇函数，
故a＝﹣1；
（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝﹣1，
不等式mf（x）＞3x，即m（）＞3x，变形可得﹣m，
设g（x），x∈（0，+∞）
设t＝3x﹣1，x＞0，t＞0，则yt3，
又由t＞0，则y＝t3≥23，t时等号成立，
即g（x），x∈（0，+∞）的最小值g（x）min＝23，
若不等式mf（x）＞3x在（0，+∞）有解，即﹣m在（0，+∞）有解，必有﹣m＞23，
解可得：m＜﹣23，即m的取值范围为（﹣∞，﹣23）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数奇偶性的性质以及函数单调性的定义，将不等式进行转化是解决本题的关键．属于中档题．
20．已知函数f（x）＝loga（ax2﹣（a+1）x+1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）化简ax2﹣（a+1）x+1＞0为（ax﹣1）（x﹣1）＞0，从而求函数的定义域；
（2）讨论a＞1与0＜a＜1，从而化恒成立问题为最值问题．
【解答】解：（1）ax2﹣（a+1）x+1＞0得，
（ax﹣1）（x﹣1）＞0，
解得，a＞1时，定义域为{x|x或x＞1}，
当0＜a＜1时，定义域为{x|x＜1或x}；
（2）①当a＞1时，f（x）＞0，即ax2﹣（a+1）x+1＞1，
即ax2﹣（a+1）x＞0，
又对任意x∈[2，+∞）恒有ax2﹣（a+1）x＞0，
故a＞（）max，故a＞1；
②当0＜a＜1时，由f（x）＞0得，ax2﹣（a+1）x+1＜1，
即a＜（）min，故a≤0；
综上所述，a＞1．
【点评】本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题的处理方法，属于基础题．
21．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度vm/s，其中v0m/s是喷流相对速度，mkg是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
（Ⅰ）当总质比为330时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（Ⅱ）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加800m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
参考数据：ln330≈5.8，2.225＜e0.8＜2.226．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）当总质比为330时，v＝2000ln330≈2000×5.8＝11600m/s，所以当总质比为330时，A型火箭的最大速度约为11600m/s；．
（Ⅱ）由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为3000m/s，总质比变为，要使火箭的最大速度至少增加800m/s，则需，整理得，则，由参考数据，知2.225＜e0.8＜2.226，所以278.125＜125×e0.8＜278.25，从而材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为279．
【解答】解：（Ⅰ）当总质比为330时，v＝2000ln330，
由参考数据得v≈2000×5.8＝11600m/s，
∴当总质比为330时，A型火箭的最大速度约为11600m/s；
（Ⅱ）由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为3000m/s，总质比变为，
要使火箭的最大速度至少增加800m/s，则需，
化简，得，
∴，整理得，
∴，则，
由参考数据，知2.225＜e0.8＜2.226，
∴278.125＜125×e0.8＜278.25，
∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为279．
【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．
22．已知函数f（x）＝2x
（1）试求函数F（x）＝f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（﹣∞，0），使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；
（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把f（x）代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式求出F（x）的最大值即可；
（2）可设2x＝t，存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，讨论求出解集，让a大于其最小，小于其最大即可得到a的取值范围；
（3）不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立即为恒成立即要，根据二次函数求最值的方法求出最值即可列出关于a的不等式，求出解集即可．
【解答】解：（1）∵x∈（﹣∞，0]，F（x）＝f（x）+af（2x）＝2x+a 4x，令2x＝t，（0＜t≤1），
即有g（t）＝at2+t，
当a＝0时，F（x）有最大值为1；
当a≠0时，对称轴为t，讨论对称轴和区间的关系，
若1，即a＜0，F（x）max＝g（1）＝a+1；
若01，即 a，F（x）max＝g（）；
若0，即a＞0，F（x）max＝g（1）＝a+1．
综上可得，F（x）max．
（2）令2x＝t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1
∴存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1，或t2﹣at＜﹣1．
即存在t∈（0，1）使得，∴a＜0，或a＞2；
（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立
∵a＞0，且x∈[0，15]，∴问题即为恒成立，∴．
设m（x）令，
∴．
∴当t＝1时，m（x）max＝h（1）＝1，∴a≥1，
∴a的取值范围为[1，+∞）．
【点评】考查学生利用整体代换的数学思想解决数学问题的能力，以及不等式恒成立的证明方法，属于中档题．
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