第一章 空间向量与立体几何（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何（单元测试）（含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 943.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 17:32:33 | ||
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文档简介
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第一章 空间向量与立体几何
一．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，D是BC的中点，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）点O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
4．（5分）已知（2，﹣3，1），则下列向量中与平行的是（ ）
A．（1，1，1） B．（﹣4，6，﹣2） C．（2，﹣3，5） D．（﹣2，﹣3，5）
5．（5分）已知（λ+1，0，1），（3，2μ﹣1，2），其中λ，μ∈R，若∥，则λ+μ＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（5分）已知点A（1﹣t，1﹣t，t），B（2，t，t），则A，B两点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知（2，﹣1，3），（﹣1，4，﹣2），（3，2，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（5分）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则异面直线AC与BC1之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点B1的坐标为（4，5，3）
B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3）
C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）
10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若为空间的一组基底，则A，B，C三点共线
B．若ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，则
C．若，则A，B，C，D四点共面
D．若A﹣BCD为正四面体，G为△BCD的重心，则
11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．
D．向量与向量的夹角是60°
12．（5分）如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥A﹣PB1D1的体积不变
B．DP∥平面AB1D1
C．A1P⊥BD1
D．平面A1CP⊥平面PBD
三．填空题（每题5分，4题共20分）
13．（5分）（2，﹣3，5），（﹣3，1，﹣4），则||＝ ．
14．（5分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，1），C（1，﹣1，3），四边形ABCD是平行四边形，其中AC，BD为对角线，则|BD|＝ ．
15．（5分）已知点A（1，﹣1，3），B（2λ，0，0），C（3，μ﹣3，9）三点共线，则λ＝ ，μ＝ ．
16．（5分）已知空间向量，则|＝ ；向量与的夹角为 ．
四．解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）
17．（10分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点D，N，M的坐标；
（2）求线段MD，MN的长度；
（3）判断直线DN与直线MN是否互相垂直，说明理由．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1．E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
19．（12分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，，平面CC1D⊥平面ACC1A1．
（1）求证：AC⊥DC1；
（2）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1．
20．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在BD上，且BEBD，点F在CB1上，且CF．求证：
（1）EF⊥BD；
（2）EF⊥CB1．
21．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，2AB＝AA1＝4，CE＝EC1，AF＝3FA1．
（1）证明：BE⊥平面B1EF；
（2）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．
第一章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，D是BC的中点，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由D为BC的中点，可得（），将，代入即可得出．
【解答】解：因为D为BC的中点，
所以（），
又，，
所以[（）+（）]．
故选：C．
【点评】本题主要考查了空间向量及其线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量加法法则直接求解．
【解答】解：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
∵，，，，
∴
（）
（）
．
故选：A．
【点评】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是基础题．
3．（5分）点O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
【答案】B
【分析】由共面向量基本定理直接求解．
【解答】解：∵点O为空间任意一点，
，
1，
∴由共面向量基本定理得A，B，C，P四点一定共面．
故选：B．
【点评】本题考查四点是否共面的判断，考查共面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4．（5分）已知（2，﹣3，1），则下列向量中与平行的是（ ）
A．（1，1，1） B．（﹣4，6，﹣2） C．（2，﹣3，5） D．（﹣2，﹣3，5）
【答案】B
【分析】根据空间向量平行的坐标公式可判断出结果．
【解答】解：（2，﹣3，1），
对于A，∵，故A错误；
对于B，∵，故B正确；
对于C，∵，故C错误；
对于D，∵，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查向量的运算，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）已知（λ+1，0，1），（3，2μ﹣1，2），其中λ，μ∈R，若∥，则λ+μ＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据可得出，然后即可得出，从而解出λ，μ即可．
【解答】解：∵∥，
∴设，
∴（3，2μ﹣1，2）＝（kλ+k，0，k），
∴，解得，
∴λ+μ＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，相等向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）已知点A（1﹣t，1﹣t，t），B（2，t，t），则A，B两点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由两点之间的距离公式求得AB之间的距离用表示出来，建立关于t的函数，转化为求函数的最小值．
【解答】解：因为点A（1﹣t，1﹣t，t），B（2，t，t），
所以|AB|2＝（1+t）2+（2t﹣1）2+（t﹣t）2＝5t2﹣2t+2，
由二次函数易知，当时，取得最小值为，
∴|AB|的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考査了两点之间的距离公式，建立函数关系求最值，属于基础题型．
7．（5分）已知（2，﹣1，3），（﹣1，4，﹣2），（3，2，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由于与不共线，且、、三向量共面，利用平面向量基本定理可知：存在实数λ1，λ2使得．解出即可．
【解答】解：∵与不共线，
∴可取作此平面的一个基向量．
∵、、三向量共面，∴存在实数λ1，λ2使得．
∴，
解得
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量基本定理，属于基础题．
8．（5分）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则异面直线AC与BC1之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，然后再求出直线CA和BC1的公垂线的方向向量，利用异面直线AC与BC1之间的距离公式求解即可．
【解答】解：以O为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则O（0，0，0），A（2，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），C1（0，1，3），
所以，
设CA和BC1的公垂线的方向向量为，
则有，即，
所以，
又，
所以异面直线AC与BC1之间的距离．
故选：D．
【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，涉及了异面直线之间的距离计算，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点B1的坐标为（4，5，3）
B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3）
C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）
【答案】ACD
【分析】利用空间点的对称性即可得出．
【解答】解：由图形及其已知可得：点B1的坐标为（4，5，3），故A正确；
点C1（0，5，3）关于点B对称的点为（8，5，﹣3），故B错误；
长方体中，AD1＝BC15＝AB，
∴四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，
即点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），故C正确；
点C（0，5，0）关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）．故D正确，
因此ACD正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了空间点的对称性、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若为空间的一组基底，则A，B，C三点共线
B．若ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，则
C．若，则A，B，C，D四点共面
D．若A﹣BCD为正四面体，G为△BCD的重心，则
【答案】CD
【分析】直接利用空间向量的基底判断A的结论，利用向量的线性运算判断B的结论，利用共面向量基本定理的应用判定C的结论，利用向量的共线和向量的线性运算的应用判定D的结论．
【解答】解：对于A：若为空间的一组基底，则不共面，与点A、B、C之间共线没有关系，故A错误；
对于B：四棱柱底面是平行四边形的时候，也就是四棱柱为平行六面体的时候才满足条件，如果底面不是平行四边形，则条件不成立，故B错误．
对于C：当λ＝0时，点A、B、D共线，则A、B、C、D一定共面．C选项如果加上AC与AD不共线的话，就是共面向量定理的内容了，ABCD四点肯定共面，但是如果AC与AD共线，ABCD四点也一定共面，故C正确．
对于D：设G为△BCD的重心，得到，
所以，故，故D正确；
故选：CD．
【点评】本题考查的知识要点：向量的共线问题，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．
D．向量与向量的夹角是60°
【答案】BC
【分析】对于A，DD1∥CC1，AF与CC1相交但不垂直，由此判断；对于B，由A1G∥D1F，得A1G∥平面AEF；对于C，由，进行判断；对于D，向量与向量的夹角是120°．
【解答】解：对于A，∵DD1∥CC1，AF与CC1相交但不垂直，∴D1D与AF不垂直，故A错误；
对于B，∵A1G∥D1F，A1G 平面AEF，D1F 平面AEF，∴A1G∥平面AEF，故B正确；
对于C，∵，∴0，故C正确；
对于D，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1）
，则（0，1，﹣1），（﹣1，0，1），
所以cos，，
所以向量与向量的夹角是120°，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力等数学核心素养，是中档题．
12．（5分）如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥A﹣PB1D1的体积不变
B．DP∥平面AB1D1
C．A1P⊥BD1
D．平面A1CP⊥平面PBD
【答案】ABD
【分析】对于A，△AB1D1的面积是定值，AD1∥BC1，P到平面AB1D1的距离为定值，从而三棱锥A﹣PB1D1的体积不变；对于B，AD1∥BC1，B1D1∥BD，从而平面AB1D1∥平面BDC1，进而DP∥平面AB1D1；对于C，以D1为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出A1P和BD1不垂直；对于D，由A1C⊥BC1，A1C⊥BD，得A1C⊥平面PBD，从而平面A1CP⊥平面PBD．
【解答】解：对于A，∵△AB1D1的面积是定值，AD1∥BC1，
AD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，
∴P到平面AB1D1的距离为定值，∴三棱锥A﹣PB1D1的体积不变，故A正确；
对于B，∵AD1∥BC1，B1D1∥BD，AD1∩B1D1＝D1，BC1∩BD＝B，
∴平面AB1D1∥平面BDC1，
∵DP 平面BDC1，∴DP∥平面AB1D1，故B正确；
对于C，以D1为原点，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
设P（a，2，c），0≤a≤2，0≤c≤2，
则A1（2，0，0），B（2，2，2），D1（0，0，0），
（a﹣2，2，c），（﹣2，﹣2，﹣2），
则2a+4﹣4﹣2c＝﹣2a﹣2c≠0，
∴A1P和BD1不垂直，故C错误；
对于D，由题意得A1C⊥BC1，A1C⊥BD，BC1、BD 平面PBD，
∴A1C⊥平面PBD，
∵A1C 平面A1CP，∴平面A1CP⊥平面PBD，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
三．填空题（每题5分，4题共20分）
13．（5分）（2，﹣3，5），（﹣3，1，﹣4），则||＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出（8，﹣5，13），然后由向量的模的公式求其模．
【解答】解：∵（2，﹣3，5），（﹣3，1，﹣4），（8，﹣5，13），
∴||．
故答案为：
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算以及向量模的求法．
14．（5分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，1），C（1，﹣1，3），四边形ABCD是平行四边形，其中AC，BD为对角线，则|BD|＝ ．
【答案】．
【分析】设D（x，y，z），根据，求出点D的坐标，可得，即可求出|BD|．
【解答】解：空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，1），C（1，﹣1，3），四边形ABCD是平行四边形，
设D（x，y，z），
∵，
∴﹣2＝1﹣x，﹣1＝﹣1﹣y，﹣2＝3﹣z，
解得x＝3，y＝0，z＝5，
∴D（3，0，5），
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间中两点间距离的计算，属于基础题．
15．（5分）已知点A（1，﹣1，3），B（2λ，0，0），C（3，μ﹣3，9）三点共线，则λ＝ 0 ，μ＝ 0 ．
【答案】0；0．
【分析】首先求出的坐标，由三点共线，则，即，即可得到方程组，解得即可；
【解答】解：因为A（1，﹣1，3），B（2λ，0，0），C（3，μ﹣3，9），
所以，
因为A，B，C三点共线，
所以，所以，即（2λ﹣1，1，﹣3）＝k（2，μ﹣2，6），
即，解得 ，
故答案为：0；0．
【点评】本题考查了共线向量的应用，属于基础题．
16．（5分）已知空间向量，则|＝ 3 ；向量与的夹角为 ．
【答案】3；．
【分析】利用向量坐标运算法则和向量的模能求出||，利用向量夹角余弦公式能求出向量与的夹角．
【解答】解：空间向量，
∴（3，0，3），
则|3，
cos，
0π，
∴向量与的夹角为．
故答案为：3；．
【点评】本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量的模、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）
17．（10分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点D，N，M的坐标；
（2）求线段MD，MN的长度；
（3）判断直线DN与直线MN是否互相垂直，说明理由．
【答案】（1）D（0，0，0），N（2，1，0），M（1，2，3）；
（2）|MD|，|MN|；
（3）直线DN与直线MN不垂直，理由见解析．
【分析】（1）直接由题意写出点D，N，M的坐标；
（2）利用向量的模求对应线段的长度；
（3）由数量积是否为0判断直线DN与直线MN是否互相垂直．
【解答】解：（1）由|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，
可知：D（0，0，0），N（2，1，0），M（1，2，3）；
（2）由（1）知，，，
∴|MD|，|MN|；
（3）∵，，
∴，则直线DN与直线MN不垂直．
【点评】本题考查空间向量的应用，训练了利用空间向量的模求线段的长度，由向量的数量积是否为0判断直线是否垂直，是基础题．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1．E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
【答案】证明见解析．
【分析】以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由法向量垂直得证平面垂直．
【解答】证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面AA1C1C的一个法向量为（x1，y1，z1），
则，
令x1＝1，得y1＝1，∴（1，1，0），
设平面AEC1的一个法向量为（x2，y2，z2），
则，
令z2＝4，得x2＝1，y2＝﹣1，∴（1，﹣1，4），
∵，
∴，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
【点评】本题考查了面面垂直的证明，属于中档题．
19．（12分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，，平面CC1D⊥平面ACC1A1．
（1）求证：AC⊥DC1；
（2）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1．
【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．
【分析】（1）证明AC⊥CC1，得到AC⊥平面CC1D，即可证明AC⊥DC1．
（2）易得∠BAC＝90°，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量求得AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．
【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC⊥CC1，
由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1＝CC1，
所以AC⊥平面CC1D，
又C1D 平面CC1D，所以AC⊥DC1．
（2）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，
又∠BAC＝90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，
依据已知条件可得A（0，0，0），C（0，，0），C1（2，，0），B（0，0，1），B1（2，0，1），D（1，，2），
所以（2，0，0），（1，，1），
设平面DBB1的法向量为（x，y，z），
由，
令y＝1，则z，x＝0，于是（0，1，），
因为M为DC1中点，所以M（，，1），所以（，，1），
由 （，，1） （0，1，）＝0，可得⊥，
所以AM与平面DBB1所成角为0，AM 平面DBB1．
即AM∥平面DBB1．
【点评】题考查了空间线线垂直、线面平行的判定．属于中档题．
20．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在BD上，且BEBD，点F在CB1上，且CF．求证：
（1）EF⊥BD；
（2）EF⊥CB1．
【答案】（1）（2）证明过程见解析．
【分析】以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，分别求出的坐标，然后利用数量积为0证明（1）（2）．
【解答】证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，
则D（0，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），B1（3，3，3），
E（2，2，0），F（1，3，1），
则，，．
（1）∵，∴，即EF⊥BD；
（2）∵，∴，即EF⊥CB1．
【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间向量的应用，是基础题．
21．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，2AB＝AA1＝4，CE＝EC1，AF＝3FA1．
（1）证明：BE⊥平面B1EF；
（2）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．
【答案】（1）证明过程见解答；（2）．
【分析】（1）根据题意，结合勾股定理，分别证明EF⊥BE与BE⊥B1E，进一步得到BE⊥平面B1EF；
（2）根据已知条件，建立适当的空间直角坐标系，将问题转化为求空间向量的夹角即可．
【解答】解：（1）由条件，可知 ，，，
满足 BF2＝BE2+EF2，∴EF⊥BE．
又，BB1＝4，满足 ，
∴BE⊥B1E，又∵B1E∩EF＝E，
∴BE⊥平面 B1EF．
（2）以 AC 的中点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz，
则 ，E（﹣1，0，2），F（1，0，3）．
∴，，
设平面 BEF 的法向量为 ，
∵，∴取 ，得 ．
易得平面 ABF 的一个法向量为 ，
，
由图可知，二面角 E﹣BF＝A 的平面角是 ， 夹角的补角，
故二面角 E﹣BF﹣A 的余弦值为 ．
【点评】本题主要考查线面垂直的证明，二面角的相关计算，空间向量的应用等知识，属于中等题．
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第一章 空间向量与立体几何
一．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，D是BC的中点，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）点O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
4．（5分）已知（2，﹣3，1），则下列向量中与平行的是（ ）
A．（1，1，1） B．（﹣4，6，﹣2） C．（2，﹣3，5） D．（﹣2，﹣3，5）
5．（5分）已知（λ+1，0，1），（3，2μ﹣1，2），其中λ，μ∈R，若∥，则λ+μ＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（5分）已知点A（1﹣t，1﹣t，t），B（2，t，t），则A，B两点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知（2，﹣1，3），（﹣1，4，﹣2），（3，2，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（5分）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则异面直线AC与BC1之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点B1的坐标为（4，5，3）
B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3）
C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）
10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若为空间的一组基底，则A，B，C三点共线
B．若ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，则
C．若，则A，B，C，D四点共面
D．若A﹣BCD为正四面体，G为△BCD的重心，则
11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．
D．向量与向量的夹角是60°
12．（5分）如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥A﹣PB1D1的体积不变
B．DP∥平面AB1D1
C．A1P⊥BD1
D．平面A1CP⊥平面PBD
三．填空题（每题5分，4题共20分）
13．（5分）（2，﹣3，5），（﹣3，1，﹣4），则||＝ ．
14．（5分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，1），C（1，﹣1，3），四边形ABCD是平行四边形，其中AC，BD为对角线，则|BD|＝ ．
15．（5分）已知点A（1，﹣1，3），B（2λ，0，0），C（3，μ﹣3，9）三点共线，则λ＝ ，μ＝ ．
16．（5分）已知空间向量，则|＝ ；向量与的夹角为 ．
四．解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）
17．（10分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点D，N，M的坐标；
（2）求线段MD，MN的长度；
（3）判断直线DN与直线MN是否互相垂直，说明理由．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1．E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
19．（12分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，，平面CC1D⊥平面ACC1A1．
（1）求证：AC⊥DC1；
（2）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1．
20．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在BD上，且BEBD，点F在CB1上，且CF．求证：
（1）EF⊥BD；
（2）EF⊥CB1．
21．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，2AB＝AA1＝4，CE＝EC1，AF＝3FA1．
（1）证明：BE⊥平面B1EF；
（2）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．
第一章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，D是BC的中点，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由D为BC的中点，可得（），将，代入即可得出．
【解答】解：因为D为BC的中点，
所以（），
又，，
所以[（）+（）]．
故选：C．
【点评】本题主要考查了空间向量及其线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量加法法则直接求解．
【解答】解：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
∵，，，，
∴
（）
（）
．
故选：A．
【点评】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是基础题．
3．（5分）点O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
【答案】B
【分析】由共面向量基本定理直接求解．
【解答】解：∵点O为空间任意一点，
，
1，
∴由共面向量基本定理得A，B，C，P四点一定共面．
故选：B．
【点评】本题考查四点是否共面的判断，考查共面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4．（5分）已知（2，﹣3，1），则下列向量中与平行的是（ ）
A．（1，1，1） B．（﹣4，6，﹣2） C．（2，﹣3，5） D．（﹣2，﹣3，5）
【答案】B
【分析】根据空间向量平行的坐标公式可判断出结果．
【解答】解：（2，﹣3，1），
对于A，∵，故A错误；
对于B，∵，故B正确；
对于C，∵，故C错误；
对于D，∵，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查向量的运算，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）已知（λ+1，0，1），（3，2μ﹣1，2），其中λ，μ∈R，若∥，则λ+μ＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据可得出，然后即可得出，从而解出λ，μ即可．
【解答】解：∵∥，
∴设，
∴（3，2μ﹣1，2）＝（kλ+k，0，k），
∴，解得，
∴λ+μ＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，相等向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）已知点A（1﹣t，1﹣t，t），B（2，t，t），则A，B两点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由两点之间的距离公式求得AB之间的距离用表示出来，建立关于t的函数，转化为求函数的最小值．
【解答】解：因为点A（1﹣t，1﹣t，t），B（2，t，t），
所以|AB|2＝（1+t）2+（2t﹣1）2+（t﹣t）2＝5t2﹣2t+2，
由二次函数易知，当时，取得最小值为，
∴|AB|的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考査了两点之间的距离公式，建立函数关系求最值，属于基础题型．
7．（5分）已知（2，﹣1，3），（﹣1，4，﹣2），（3，2，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由于与不共线，且、、三向量共面，利用平面向量基本定理可知：存在实数λ1，λ2使得．解出即可．
【解答】解：∵与不共线，
∴可取作此平面的一个基向量．
∵、、三向量共面，∴存在实数λ1，λ2使得．
∴，
解得
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量基本定理，属于基础题．
8．（5分）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则异面直线AC与BC1之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，然后再求出直线CA和BC1的公垂线的方向向量，利用异面直线AC与BC1之间的距离公式求解即可．
【解答】解：以O为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则O（0，0，0），A（2，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），C1（0，1，3），
所以，
设CA和BC1的公垂线的方向向量为，
则有，即，
所以，
又，
所以异面直线AC与BC1之间的距离．
故选：D．
【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，涉及了异面直线之间的距离计算，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点B1的坐标为（4，5，3）
B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3）
C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）
【答案】ACD
【分析】利用空间点的对称性即可得出．
【解答】解：由图形及其已知可得：点B1的坐标为（4，5，3），故A正确；
点C1（0，5，3）关于点B对称的点为（8，5，﹣3），故B错误；
长方体中，AD1＝BC15＝AB，
∴四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，
即点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），故C正确；
点C（0，5，0）关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）．故D正确，
因此ACD正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了空间点的对称性、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若为空间的一组基底，则A，B，C三点共线
B．若ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，则
C．若，则A，B，C，D四点共面
D．若A﹣BCD为正四面体，G为△BCD的重心，则
【答案】CD
【分析】直接利用空间向量的基底判断A的结论，利用向量的线性运算判断B的结论，利用共面向量基本定理的应用判定C的结论，利用向量的共线和向量的线性运算的应用判定D的结论．
【解答】解：对于A：若为空间的一组基底，则不共面，与点A、B、C之间共线没有关系，故A错误；
对于B：四棱柱底面是平行四边形的时候，也就是四棱柱为平行六面体的时候才满足条件，如果底面不是平行四边形，则条件不成立，故B错误．
对于C：当λ＝0时，点A、B、D共线，则A、B、C、D一定共面．C选项如果加上AC与AD不共线的话，就是共面向量定理的内容了，ABCD四点肯定共面，但是如果AC与AD共线，ABCD四点也一定共面，故C正确．
对于D：设G为△BCD的重心，得到，
所以，故，故D正确；
故选：CD．
【点评】本题考查的知识要点：向量的共线问题，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A．D1D⊥AF
B．A1G∥平面AEF
C．
D．向量与向量的夹角是60°
【答案】BC
【分析】对于A，DD1∥CC1，AF与CC1相交但不垂直，由此判断；对于B，由A1G∥D1F，得A1G∥平面AEF；对于C，由，进行判断；对于D，向量与向量的夹角是120°．
【解答】解：对于A，∵DD1∥CC1，AF与CC1相交但不垂直，∴D1D与AF不垂直，故A错误；
对于B，∵A1G∥D1F，A1G 平面AEF，D1F 平面AEF，∴A1G∥平面AEF，故B正确；
对于C，∵，∴0，故C正确；
对于D，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1）
，则（0，1，﹣1），（﹣1，0，1），
所以cos，，
所以向量与向量的夹角是120°，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力等数学核心素养，是中档题．
12．（5分）如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥A﹣PB1D1的体积不变
B．DP∥平面AB1D1
C．A1P⊥BD1
D．平面A1CP⊥平面PBD
【答案】ABD
【分析】对于A，△AB1D1的面积是定值，AD1∥BC1，P到平面AB1D1的距离为定值，从而三棱锥A﹣PB1D1的体积不变；对于B，AD1∥BC1，B1D1∥BD，从而平面AB1D1∥平面BDC1，进而DP∥平面AB1D1；对于C，以D1为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出A1P和BD1不垂直；对于D，由A1C⊥BC1，A1C⊥BD，得A1C⊥平面PBD，从而平面A1CP⊥平面PBD．
【解答】解：对于A，∵△AB1D1的面积是定值，AD1∥BC1，
AD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，
∴P到平面AB1D1的距离为定值，∴三棱锥A﹣PB1D1的体积不变，故A正确；
对于B，∵AD1∥BC1，B1D1∥BD，AD1∩B1D1＝D1，BC1∩BD＝B，
∴平面AB1D1∥平面BDC1，
∵DP 平面BDC1，∴DP∥平面AB1D1，故B正确；
对于C，以D1为原点，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
设P（a，2，c），0≤a≤2，0≤c≤2，
则A1（2，0，0），B（2，2，2），D1（0，0，0），
（a﹣2，2，c），（﹣2，﹣2，﹣2），
则2a+4﹣4﹣2c＝﹣2a﹣2c≠0，
∴A1P和BD1不垂直，故C错误；
对于D，由题意得A1C⊥BC1，A1C⊥BD，BC1、BD 平面PBD，
∴A1C⊥平面PBD，
∵A1C 平面A1CP，∴平面A1CP⊥平面PBD，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
三．填空题（每题5分，4题共20分）
13．（5分）（2，﹣3，5），（﹣3，1，﹣4），则||＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出（8，﹣5，13），然后由向量的模的公式求其模．
【解答】解：∵（2，﹣3，5），（﹣3，1，﹣4），（8，﹣5，13），
∴||．
故答案为：
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算以及向量模的求法．
14．（5分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，1），C（1，﹣1，3），四边形ABCD是平行四边形，其中AC，BD为对角线，则|BD|＝ ．
【答案】．
【分析】设D（x，y，z），根据，求出点D的坐标，可得，即可求出|BD|．
【解答】解：空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，1），C（1，﹣1，3），四边形ABCD是平行四边形，
设D（x，y，z），
∵，
∴﹣2＝1﹣x，﹣1＝﹣1﹣y，﹣2＝3﹣z，
解得x＝3，y＝0，z＝5，
∴D（3，0，5），
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间中两点间距离的计算，属于基础题．
15．（5分）已知点A（1，﹣1，3），B（2λ，0，0），C（3，μ﹣3，9）三点共线，则λ＝ 0 ，μ＝ 0 ．
【答案】0；0．
【分析】首先求出的坐标，由三点共线，则，即，即可得到方程组，解得即可；
【解答】解：因为A（1，﹣1，3），B（2λ，0，0），C（3，μ﹣3，9），
所以，
因为A，B，C三点共线，
所以，所以，即（2λ﹣1，1，﹣3）＝k（2，μ﹣2，6），
即，解得 ，
故答案为：0；0．
【点评】本题考查了共线向量的应用，属于基础题．
16．（5分）已知空间向量，则|＝ 3 ；向量与的夹角为 ．
【答案】3；．
【分析】利用向量坐标运算法则和向量的模能求出||，利用向量夹角余弦公式能求出向量与的夹角．
【解答】解：空间向量，
∴（3，0，3），
则|3，
cos，
0π，
∴向量与的夹角为．
故答案为：3；．
【点评】本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量的模、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）
17．（10分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点D，N，M的坐标；
（2）求线段MD，MN的长度；
（3）判断直线DN与直线MN是否互相垂直，说明理由．
【答案】（1）D（0，0，0），N（2，1，0），M（1，2，3）；
（2）|MD|，|MN|；
（3）直线DN与直线MN不垂直，理由见解析．
【分析】（1）直接由题意写出点D，N，M的坐标；
（2）利用向量的模求对应线段的长度；
（3）由数量积是否为0判断直线DN与直线MN是否互相垂直．
【解答】解：（1）由|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，
可知：D（0，0，0），N（2，1，0），M（1，2，3）；
（2）由（1）知，，，
∴|MD|，|MN|；
（3）∵，，
∴，则直线DN与直线MN不垂直．
【点评】本题考查空间向量的应用，训练了利用空间向量的模求线段的长度，由向量的数量积是否为0判断直线是否垂直，是基础题．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1．E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
【答案】证明见解析．
【分析】以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由法向量垂直得证平面垂直．
【解答】证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面AA1C1C的一个法向量为（x1，y1，z1），
则，
令x1＝1，得y1＝1，∴（1，1，0），
设平面AEC1的一个法向量为（x2，y2，z2），
则，
令z2＝4，得x2＝1，y2＝﹣1，∴（1，﹣1，4），
∵，
∴，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
【点评】本题考查了面面垂直的证明，属于中档题．
19．（12分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，，平面CC1D⊥平面ACC1A1．
（1）求证：AC⊥DC1；
（2）若M为DC1中点，求证：AM∥平面DBB1．
【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．
【分析】（1）证明AC⊥CC1，得到AC⊥平面CC1D，即可证明AC⊥DC1．
（2）易得∠BAC＝90°，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量求得AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．
【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC⊥CC1，
由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1＝CC1，
所以AC⊥平面CC1D，
又C1D 平面CC1D，所以AC⊥DC1．
（2）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，
又∠BAC＝90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，
依据已知条件可得A（0，0，0），C（0，，0），C1（2，，0），B（0，0，1），B1（2，0，1），D（1，，2），
所以（2，0，0），（1，，1），
设平面DBB1的法向量为（x，y，z），
由，
令y＝1，则z，x＝0，于是（0，1，），
因为M为DC1中点，所以M（，，1），所以（，，1），
由 （，，1） （0，1，）＝0，可得⊥，
所以AM与平面DBB1所成角为0，AM 平面DBB1．
即AM∥平面DBB1．
【点评】题考查了空间线线垂直、线面平行的判定．属于中档题．
20．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在BD上，且BEBD，点F在CB1上，且CF．求证：
（1）EF⊥BD；
（2）EF⊥CB1．
【答案】（1）（2）证明过程见解析．
【分析】以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，分别求出的坐标，然后利用数量积为0证明（1）（2）．
【解答】证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，
则D（0，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），B1（3，3，3），
E（2，2，0），F（1，3，1），
则，，．
（1）∵，∴，即EF⊥BD；
（2）∵，∴，即EF⊥CB1．
【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间向量的应用，是基础题．
21．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，2AB＝AA1＝4，CE＝EC1，AF＝3FA1．
（1）证明：BE⊥平面B1EF；
（2）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．
【答案】（1）证明过程见解答；（2）．
【分析】（1）根据题意，结合勾股定理，分别证明EF⊥BE与BE⊥B1E，进一步得到BE⊥平面B1EF；
（2）根据已知条件，建立适当的空间直角坐标系，将问题转化为求空间向量的夹角即可．
【解答】解：（1）由条件，可知 ，，，
满足 BF2＝BE2+EF2，∴EF⊥BE．
又，BB1＝4，满足 ，
∴BE⊥B1E，又∵B1E∩EF＝E，
∴BE⊥平面 B1EF．
（2）以 AC 的中点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz，
则 ，E（﹣1，0，2），F（1，0，3）．
∴，，
设平面 BEF 的法向量为 ，
∵，∴取 ，得 ．
易得平面 ABF 的一个法向量为 ，
，
由图可知，二面角 E﹣BF＝A 的平面角是 ， 夹角的补角，
故二面角 E﹣BF﹣A 的余弦值为 ．
【点评】本题主要考查线面垂直的证明，二面角的相关计算，空间向量的应用等知识，属于中等题．
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